Maths autrement : Le paradoxe de Bertrand

Joseph Bertrand (1822-1900) est un mathématicien français. Enfant prodige, il suit à onze ans les cours de l’École polytechnique, une des plus prestigieuses écoles d’ingénieurs, en candidat libre ! Il est notamment connu pour le postulat de Bertrand : il y a toujours un nombre premier compris entre un nombre et son double. Il a aussi mis en évidence un paradoxe de la théorie des probabilités à partir de l’énoncé suivant :

• On choisit au hasard une corde dans un cercle donné.
• On cherche avec quelle probabilité la longueur de cette corde est supérieure au côté du triangle équilatéral inscrit dans le cercle, c’est-à-dire dont les 3 sommets sont sur le cercle.

Exercice 1 : Étape 1 : Avec deux points au hasard

On place B au hasard sur le cercle. On trace le triangle équilatéral de sommet A et le cercle qui passe par les trois sommets du triangle.

1

Quelles sont les positions du point B pour lesquelles la corde [AB] aura une longueur supérieure au côté du triangle ?

2

Déduisez-en la probabilité cherchée.

Envie d’en savoir plus ? Visualisez le paradoxe de Bertrand à travers cette activité.

Exercice 2 : Étape 2 : Avec un point particulier

On choisit tout dʼabord un rayon [OE] du cercle de centre O puis un point M au hasard sur ce rayon. On trace la corde du cercle dont le milieu est M.

1

Pour quelles positions du point M la corde aura une longueur supérieure au côté du triangle ?

2

Déduisez-en la probabilité dʼobtenir une corde supérieure au côté du triangle équilatéral.

3

On place au hasard un point P dans le disque. On trace la corde dont P est le milieu et perpendiculaire au rayon passant par P. Quelles sont les positions du point P pour lesquelles la corde aura une longueur supérieure au côté du triangle ?

4

Calculez les aires des deux disques et déduisez-en la probabilité dʼobtenir une corde supérieure au côté du triangle équilatéral.