Le paradoxe de Bertrand

Joseph Bertrand

Joseph Bertrand (1822-1900) est un mathématicien français. Enfant prodige, il suit à onze ans les cours de l'École polytechnique, une des plus prestigieuses écoles d'ingénieurs, en candidat libre ! Il est notamment connu pour le postulat de Bertrand : il y a toujours un nombre premier compris entre un nombre et son double. Il a aussi mis en évidence un paradoxe de la théorie des probabilités à partir de l'énoncé suivant :

• On choisit au hasard une corde dans un cercle donné.
• On cherche avec quelle probabilité la longueur de cette corde est supérieure au côté du triangle équilatéral inscrit dans le cercle, c'est-à-dire dont les 3 sommets sont sur le cercle.

On place \text{B} au hasard sur le cercle. On trace le triangle équilatéral de sommet \text{A} et le cercle qui passe par les trois sommets du triangle.

1. Quelles sont les positions du point \text{B} pour lesquelles la corde \text{[AB]} aura une longueur supérieure au côté du triangle ?

2. Déduisez-en la probabilité cherchée.

1. Pour quelles positions du point \text{M} la corde aura une longueur supérieure au côté du triangle ? Vous pouvez utiliser le triangle équilatéral T.

2. Déduisez-en la probabilité dʼobtenir une corde supérieure au côté du triangle équilatéral.

3. On place au hasard un point \text{P} dans le disque. On trace la corde dont \text{P} est le milieu et perpendiculaire au rayon passant par \text{P}.
a. Quelles sont les positions du point \text{P} pour lesquelles la corde aura une longueur supérieure au côté du triangle ? Vous pouvez utiliser le cercle C'.

b. Calculez les aires des deux disques et déduisez-en la probabilité dʼobtenir une corde supérieure au côté du triangle équilatéral.