Joseph Bertrand

Joseph Bertrand (1822-1900) est un mathématicien français. Enfant prodige, il suit à onze ans les cours de l'École polytechnique, une des plus prestigieuses écoles d'ingénieurs, en candidat libre ! Il est notamment connu pour le postulat de Bertrand : il y a toujours un nombre premier compris entre un nombre et son double. Il a aussi mis en évidence un paradoxe de la théorie des probabilités à partir de l'énoncé suivant :

• On choisit au hasard une corde dans un cercle donné.
• On cherche avec quelle probabilité la longueur de cette corde est supérieure au côté du triangle équilatéral inscrit dans le cercle, c'est-à-dire dont les 3 sommets sont sur le cercle.

On place $\text{B}$ au hasard sur le cercle. On trace le triangle équilatéral de sommet $\text{A}$ et le cercle qui passe par les trois sommets du triangle.

1. Quelles sont les positions du point $\text{B}$ pour lesquelles la corde $\text{[AB]}$ aura une longueur supérieure au côté du triangle ?

2. Déduisez-en la probabilité cherchée.

1. Pour quelles positions du point $\text{M}$ la corde aura une longueur supérieure au côté du triangle ? Vous pouvez utiliser le triangle équilatéral $T$.

2. Déduisez-en la probabilité dʼobtenir une corde supérieure au côté du triangle équilatéral.

3. On place au hasard un point $\text{P}$ dans le disque. On trace la corde dont $\text{P}$ est le milieu et perpendiculaire au rayon passant par $\text{P}$.
a. Quelles sont les positions du point $\text{P}$ pour lesquelles la corde aura une longueur supérieure au côté du triangle ? Vous pouvez utiliser le cercle $C^{\prime }$.

b. Calculez les aires des deux disques et déduisez-en la probabilité dʼobtenir une corde supérieure au côté du triangle équilatéral.