Mathématiques Cycle 4
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Thème 1 : Nombres et calculs
Ch. 1
Arithmétique
Ch. 2
Nombres relatifs
Ch. 3
Nombres fractionnaires
Ch. 4
Calcul littéral
Ch. 5
Équations et inéquations
Ch. 6
Proportionnalité
Ch. 7
Puissances
Thème 2 : Organisation et gestion de données
Ch. 8
Statistiques
Ch. 9
Probabilités
Ch. 10
Fonctions
Thème 3 : Grandeurs et mesures
Ch. 11
Grandeurs et mesures
Thème 4 : Espace et géométrie
Ch. 12
Transformations dans le plan
Ch. 13
Triangles
Ch. 14
Angles et droites parallèles
Ch. 15
Géometrie dans l'espace
Ch. 16
Théorème de pythagore
Ch. 17
Agrandissements - réductions
Ch. 18
Trigonométrie
Annexes
Livret algorithmique et programmation
Pistes EPI
Dossier brevet
Chapitre 9
Les maths autrement

Le paradoxe de Bertrand

Présentation

Joseph Bertrand
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Joseph Bertrand


Joseph Bertrand (1822-1900) est un mathématicien français. Enfant prodige, il suit à onze ans les cours de l'École polytechnique, une des plus prestigieuses écoles d'ingénieurs, en candidat libre ! Il est notamment connu pour le postulat de Bertrand : il y a toujours un nombre premier compris entre un nombre et son double. Il a aussi mis en évidence un paradoxe de la théorie des probabilités à partir de l'énoncé suivant :
  • On choisit au hasard une corde dans un cercle donné.
  • On cherche avec quelle probabilité la longueur de cette corde est supérieure au côté du triangle équilatéral inscrit dans le cercle, c'est-à-dire dont les 3 sommets sont sur le cercle.

Compétences travaillées

  • J'utilise des cas particuliers pour orienter ma démarche de résolution
  • Je comprends la modélisation numérique ou géométrique d'une situation
  • Je participe à une recherche collective de résolution de problème

Étape 1
Avec deux points au hasard

On place au hasard sur le cercle. On trace le triangle équilatéral de sommet et le cercle qui passe par les trois sommets du triangle.

1. Quelles sont les positions du point pour lesquelles la corde aura une longueur supérieure au côté du triangle ?
2. Déduisez-en la probabilité cherchée.
Graphique d'un cercle et un triangle
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Étape 2
Avec un point particulier

On choisit tout dʼabord un rayon du cercle de centre puis un point au hasard sur ce rayon. On trace la corde du cercle dont le milieu est .
Graphique d'un cercle et un triangle
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Graphique d'un cercle et un triangle
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1. Pour quelles positions du point la corde aura une longueur supérieure au côté du triangle ? Vous pouvez utiliser le triangle équilatéral .
2. Déduisez-en la probabilité dʼobtenir une corde supérieure au côté du triangle équilatéral.
3. On place au hasard un point dans le disque. On trace la corde dont est le milieu et perpendiculaire au rayon passant par .
a. Quelles sont les positions du point pour lesquelles la corde aura une longueur supérieure au côté du triangle ? Vous pouvez utiliser le cercle .
b. Calculez les aires des deux disques et déduisez-en la probabilité dʼobtenir une corde supérieure au côté du triangle équilatéral.

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