Joseph Bertrand (1822-1900) est un mathématicien français. Enfant prodige, il suit à onze ans les cours de l’École polytechnique, une des plus prestigieuses écoles d’ingénieurs, en candidat libre ! Il est notamment connu pour le postulat de Bertrand : il y a toujours un nombre premier compris entre un nombre et son double. Il a aussi mis en évidence un paradoxe de la théorie des probabilités à partir de l’énoncé suivant :
On choisit au hasard une corde dans un cercle donné.
On cherche avec quelle probabilité la longueur de cette corde est supérieure au côté du triangle équilatéral inscrit dans le cercle, c’est-à-dire dont les 3 sommets sont sur le cercle.
Joseph Bertrand
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Exercice 1 : Étape 1 : Avec deux points au hasard
On place B au hasard sur le cercle. On trace le triangle équilatéral de sommet A et le cercle qui passe par les trois sommets du triangle.
1
Quelles sont les positions du point B pour lesquelles la corde [AB] aura une longueur supérieure au côté du triangle ?
On choisit tout dʼabord un rayon [OE] du cercle de centre O puis un point M au hasard sur ce rayon. On trace la corde du cercle dont le milieu est M.
1
Pour quelles positions du point M la corde aura une longueur supérieure au côté du triangle ?
2
Déduisez-en la probabilité dʼobtenir une corde supérieure au côté du triangle équilatéral.
3
On place au hasard un point P dans le disque. On trace la corde dont P est le milieu et perpendiculaire au rayon passant par P. Quelles sont les positions du point P pour lesquelles la corde aura une longueur supérieure au côté du triangle ?
4
Calculez les aires des deux disques et déduisez-en la probabilité dʼobtenir une corde supérieure au côté du triangle équilatéral.
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