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Thème 1 : Nombres et calculs
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Thème 2 : Organisation et gestion de données
Thème 3 : Grandeurs et mesures
Thème 4 : Espace et géométrie
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Chapitre 4

Problèmes résolus

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62
Développer une aire

✔ Je modélise une situation à l'aide d'une expression mathématique
✔ Je choisis un cadre adapté (numérique, algébrique ou géométrique) pour traiter un problème

Quand on multiplie la longueur et la largeur dʼun rectangle par 3, par combien multiplie-t-on son aire ?
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Méthode 1
Quand on fait face à un problème, le plus simple est souvent de le représenter à l'aide d'un schéma afin de mieux nous représenter le phénomène pour pouvoir passer de l'écriture naturelle à l'écriture mathématique.

Corrigé 1
  • Dessinez un rectangle quelconque.
    Placeholder pour Image numérique : rectangle rouge uni avec bordure noire.Image numérique : rectangle rouge uni avec bordure noire.
  • Multipliez sa longueur par 3. Cela revient à aligner 3 rectangles en longueur.
    Placeholder pour Schéma : trois rectangles juxtaposés, rouge, blanc, blanc.Schéma : trois rectangles juxtaposés, rouge, blanc, blanc.
  • Multipliez sa largeur par 3. Cela revient à aligner 3 rectangles en largeur.
    Placeholder pour Schéma: cinq rectangles formant un L, un rouge, quatre blancs.Schéma: cinq rectangles formant un L, un rouge, quatre blancs.
  • Il ne reste plus qu'à compléter le dessin pour obtenir un rectangle complet.
    Placeholder pour Schéma : carré rouge sur fond blanc, divisé en 9 cases.Schéma : carré rouge sur fond blanc, divisé en 9 cases.
  • Le nouveau rectangle est formé de 9 fois le rectangle initial.
    L'aire a donc été multipliée par 9.
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Méthode 2
Quand on fait face à un problème, le plus rapide est de le transformer en une expression littérale qui permette de répondre à la question en utilisant le langage mathématique. Pour cela, il faut déterminer :
  • les informations dont on dispose ;
  • les informations qui ne sont pas à notre disposition mais dont on a besoin.
On les remplace alors par des lettres.

Corrigé 2
  • Exprimez la situation de départ.
    Posez \color{00a65f}l la largeur d'un rectangle quelconque, et \color{c21546} L sa longueur. Son aire A vaut : A = {\color{c21546}L} \times {\color{00a65f}l}.
  • Exprimez la situation d'arrivée.
    Puisque l'on multiplie la largeur et la longueur par 3, la nouvelle aire A^{\prime} vaut maintenant : A^{\prime} = {\color{c21546}3} \times {\color{c21546}L} \times {\color{00a65f}3} \times {\color{00a65f}l}.
    Dans une multiplication de plusieurs facteurs, on peut changer les facteurs de place. Donc : 
    A^{\prime} = {\color{c21546}3} \times {\color{00a65f}3} \times {\color{c21546}L} \times {\color{00a65f}l}
    A^{\prime} = 9 \times {\color{c21546}L} \times {\color{00a65f}l}
    A^{\prime} = 9 \times A
  • L'aire a donc été multipliée par 9.
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Problème similaire
Voir
68
 p. 94 : Spirale de Fibonnaci.

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