Problèmes résolus

Exercice 62 : Développer une aire.

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Quand on multiplie la longueur et la largeur dʼun rectangle par 3, par combien multiplie-t-on son aire ?

Quand on fait face à un problème, le plus simple est souvent de le représenter à l’aide d’un schéma afin de mieux nous représenter le phénomène pour pouvoir passer de l’écriture naturelle à l'écriture mathématique.

• Dessinez un rectangle quelconque.
  
• Multipliez sa longueur par 3. Cela revient à aligner 3 rectangles en longueur.
  
• Multipliez sa largeur par 3. Cela revient à aligner 3 rectangles en largeur.
  
• Il ne reste plus qu'à compléter le dessin pour obtenir un rectangle complet.
  
• Le nouveau rectangle est formé de 9 fois le rectangle initial.
  L'aire a donc été multipliée par 9.

Quand on fait face à un problème, le plus rapide est de le transformer en une expression littérale qui permette de répondre à la question en utilisant le langage mathématique. Pour cela, il faut déterminer :

• les informations dont on dispose ;
• les informations qui ne sont pas à notre disposition mais dont on a besoin.

On les remplace alors par des lettres.

• Exprimez la situation de départ.
  Posez $l$ la largeur d'un rectangle quelconque, et $L$ sa longueur. Son aire $A$ vaut : $A = L \times l$.
• Exprimez la situation d'arrivée.
  Puisque l'on multiplie la largeur et la longueur par 3, la nouvelle aire $A^{\prime}$ vaut maintenant : $A^{\prime} = 3 \times L + 3 \times l$.
  Dans une multiplication de plusieurs facteurs, on peut changer les facteurs de place. Donc : 
  $A^{\prime} = 3 \times 3 \times L \times l$
  $A^{\prime} = 9 \times L \times l$
  $A^{\prime} = 9 \times A$
• L'aire a donc été multipliée par 9.