Problèmes résolus

Exercice 63 : Démontrer une égalité.

Il est souvent plus facile de développer une expression que de la factoriser.Un contre-exemple suffit à montrer qu'une égalité est fausse mais un exemple ne suffit pas à montrer qu'elle est vraie.

1

Démontrez que $(a +b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Pour prouver une égalité entre deux équations, il est souvent possible et plus simple d’utiliser les propriétés du cours pour passer d’une écriture à une autre.

En développant l'expression $(a + b)^2$, on trouve :
$(a +b)^2 = (a + b)(a +b)$
$(a +b)^2 = a \times a + a \times b + b \times a + b \times b$
$(a + b)^2 = a^2 + 2ab +b^2$
Donc $(a +b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Pour prouver une égalité entre deux équations, il est parfois possible de représenter des égalités avec un schéma, ce qui permet de repérer tout de suite pourquoi une égalité est vraie.

Représentons un carré de côté $(a + b)$. Il est possible de calculer son aire de deux façons : 

• en multipliant directement la longueur de ses côtés : $(a +b)(a + b) = (a + b)^2$
• en additionnant les aires des deux carrés et des deux rectangles qui le composent : 
  $a \times a + a \times b + b \times a + b \times b = a^2 + ab + ba + b^2 = a^2 + 2ab + b^2$

Ces deux façons de calculer donnent la même aire, celle du grand carré.
Donc $(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$.

Exercice 64 : Démontrez les égalités suivantes de manière numérique puis de manière géométrique.

1

$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$

2

$(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$