Mathématiques Cycle 4

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Thème 1 : Nombres et calculs

Ch. 1

Arithmétique

Ch. 2

Nombres relatifs

Ch. 3

Nombres fractionnaires

Ch. 4

Calcul littéral

Ch. 5

Équations et inéquations

Ch. 6

Proportionnalité

Ch. 7

Puissances

Thème 2 : Organisation et gestion de données

Ch. 8

Statistiques

Ch. 9

Probabilités

Ch. 10

Fonctions

Thème 3 : Grandeurs et mesures

Ch. 11

Grandeurs et mesures

Thème 4 : Espace et géométrie

Ch. 12

Transformations dans le plan

Ch. 13

Triangles

Ch. 14

Angles et droites parallèles

Ch. 15

Géometrie dans l'espace

Ch. 16

Théorème de pythagore

Ch. 17

Agrandissements - réductions

Ch. 18

Trigonométrie

Annexes

Livret algorithmique et programmation

Pistes EPI

Dossier brevet

Chapitre 4

Problèmes résolus

63

Démontrer une égalité

✔ Je mène à bien un calcul littéral
✔ Je structure mon raisonnement

Il est souvent plus facile de développer une expression que de la factoriser.Un contre-exemple suffit à montrer qu'une égalité est fausse mais un exemple ne suffit pas à montrer qu'elle est vraie.

Démontrez que $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ .

Méthode 1

Pour prouver une égalité entre deux équations, il est souvent possible et plus simple d'utiliser les propriétés du cours pour passer d'une écriture à une autre.

En développant l'expression

(a + b)^{2}

, on trouve :

(a + b)^{2} = (a + b) (a + b)

(a + b)^{2} = a \times a + a \times b + b \times a + b \times b

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}

Donc $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ .

Corrigé 1

Méthode 2

Pour prouver une égalité entre deux équations, il est parfois possible de représenter des égalités avec un schéma, ce qui permet de repérer tout de suite pourquoi une égalité est vraie.

Représentons un carré de côté

(a + b)

. Il est possible de calculer son aire de deux façons :

en multipliant directement la longueur de ses côtés : $(a + b) (a + b) = (a + b)^{2}$
en additionnant les aires des deux carrés et des deux rectangles qui le composent :
$a \times a + a \times b + b \times a + b \times b = a^{2} + a b + b a + b^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$

Ces deux façons de calculer donnent la même aire, celle du grand carré.
Donc $(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2}$ .

Corrigé 2

64

Problème similaire
Démontrez les égalités suivantes de manière numérique puis de manière géométrique

✔ J'envisage plusieurs méthodes de résolution

(a - b)^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2}

(a - b) (a + b) = a^{2} - b^{2}

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