Mathématiques Cycle 4

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Thème 1 : Nombres et calculs
Ch. 1
Arithmétique
Ch. 2
Nombres relatifs
Ch. 3
Nombres fractionnaires
Ch. 4
Calcul littéral
Ch. 5
Équations et inéquations
Ch. 6
Proportionnalité
Ch. 7
Puissances
Thème 2 : Organisation et gestion de données
Ch. 8
Statistiques
Ch. 9
Probabilités
Ch. 10
Fonctions
Thème 3 : Grandeurs et mesures
Ch. 11
Grandeurs et mesures
Thème 4 : Espace et géométrie
Ch. 12
Transformations dans le plan
Ch. 13
Triangles
Ch. 14
Angles et droites parallèles
Ch. 15
Géometrie dans l'espace
Ch. 16
Théorème de pythagore
Ch. 17
Agrandissements - réductions
Ch. 18
Trigonométrie
Annexes
Livret algorithmique et programmation
Pistes EPI
Dossier brevet
Chapitre 4
Exercices

Je résous des problèmes

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65
Cadeaux.

Lucile veut offrir des cadeaux à ses 3 frères et sœurs. Elle décide de leur donner des cadeaux qui coutent le même prix que l'âge qu'ils ont. Zoé a deux ans de plus que Juliette, qui a trois ans de moins que Paul. est l'âge de Paul.

1. Donnez l'expression littérale du prix total qu'elle va payer.
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66
À la boulangerie.

Stéphane veut acheter 4 croissants et 2 pains au chocolat. Il introduit les lettres pour le prix d'un croissant et pour le prix d'un pain au chocolat.

1. Modélisez le prix à payer par une expression littérale.
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67
Le cahier de Céline.

Le cahier de maths de Céline a 96 pages. Elle utilise son cahier pour noter son cours et pour faire ses exercices. Elle écrit une demi-page de cours et une page d'exercices par heure de cours de maths. Elle a 3 h 30 de cours de maths par semaine.

1. Combien de pages utilise-t elle en une semaine ? En heures ?

2. Une année de cours compte 36 semaines. Céline aura-t-elle assez de place dans son cahier ?
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68
Spirale de Fibonacci.

Spirale de Fibonacci
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Photo de l'intérieur d'un nautile
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Crédits : Jitze Couperus/Flickr
Dans la forme d'un nautile se cache une régularité mathématique. On peut reproduire la forme d'un nautile à l'aide d'une figure dont toutes les parties sont des carrés auxquels on ajoute des quarts de cercle.

1. Reproduisez cette spirale.

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2. Quelle est la longueur du côté du carré violet si celle du carré vert est de cm ?
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69
Savoir refaire
Thomas dessine les hexagones suivants.

Dessin d'hexagones
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1. Combien d'hexagones faut-il ajouter pour obtenir l'étape suivante ?

2. Combien d'hexagones y a-t-il dans le dessin de la 4 étape ?
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70
Argent de poche.

Mme Dory a deux enfants. Cette année l'un est deux fois plus vieux que l'autre. Tous les mois, chacun reçoit le double de son âge en euros comme argent de poche.

1. Donnez une expression littérale qui corresponde à l'argent que Mme Dory donne chaque mois à ses enfants.

2. Donnez une expression littérale qui correspond à l'argent que Mme Dory donnera chaque mois aux deux enfants l'année prochaine.
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71
Kangourou 2009.

Solide formé de 6 faces triangulaires.
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La figure montre un solide formé de 6 faces triangulaires. On écrit un nombre à chaque sommet. Deux nombres, 1 et 5, sont déjà placés.

1. Placez 3 autres nombres tels que les sommes des 3 nombres aux sommets de chacune des faces soient égales.

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72
Enclos à canards.

Représentation schématique de l'enclos à canard d'une longueur de 5m et d'une largeur de 1,5m, appuyé contre un mur.
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Christian veut construire un enclos en forme de rectangle pour ses canards. Dans son garage, il a trouvé 8 m de clôture et il y a un long mur dans son jardin. Il a une bonne idée : « Si j'utilise le mur comme limite de mon enclos, j'économise la clôture pour ce côté ! » Christian a calculé qu'il lui reste 5 m pour la longueur de l'enclos s'il choisit une largeur de 1,5 m.

1. Validez le calcul de Christian.

2. Il se demande si l'aire de l'enclos sera plus grande s'il choisit une autre largeur. Complétez le tableau.

Largeur (m) 0,25 0,5 0,75 1 1,25 1,75 2
Longueur (m)
Périmètre (m)
Aire (m)

3. Christian introduit la variable pour la largeur de l'enclos. Exprimez la longueur du côté parallèle au mur en fonction de . Exprimez l'aire de l'enclos en fonction de .

4. Christian pense que le plus efficace serait de construire l'enclos en forme de carré. Expliquez le plus précisément possible pourquoi il se trompe.
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73
Un problème dʼallumettes.

On forme un rectangle de longueur 3 allumettes et de largeur 1 allumette que l'on agrandit pas à pas en ajoutant à chaque étape une allumette à chacun de ses côtés.

Trois rectangles d'allumettes de plus en plus gros
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1. Représentez l'étape 4.

Dessinez ici

2. Quel est le nombre d'allumettes dont on a besoin pour construire un rectangle de 30 allumettes de largeur ?

3. Donnez une expression littérale qui exprime le nombre d'allumettes dont on a besoin pour construire un rectangle de largeur allumettes.
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74
Construction dʼune chaine de triangles isocèles.

Chaine de triangles isocèles
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Position initiale : Former un triangle avec 3 allumettes.  1re étape : Ajouter 2 allumettes à gauche et 2 allumettes à droite pour obtenir 3 triangles.  2e étape : Ajouter 2 allumettes à gauche et 2 allumettes à droite pour obtenir 5 triangles, etc.

1. Combien d'allumettes faut-il pour conclure 9 étapes ?

2. Combien d'étapes peut-on terminer avec 100 allumettes ?

3. Combien d'allumettes faut-il pour former 33 triangles ?
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75
Max a construit une pyramide.

Représentation d'une pyramide construite avec des boules et des tiges
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Il a placé le même nombre de boules sur chaque arête. Sur le dessin, on voit qu'il obtient 13 boules quand il met 3 boules par arête. Combien de boules y aura-t-il en tout s'il met...

1. 4 boules par arête ?

2. 12 boules par arête ?

3. boules par arête ?
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76
Volume dʼun parallélépipède.

1. Comment change le volume d'un parallélépipède rectangle quand on double la longueur de chaque arête ? Justifiez votre hypothèse par des formules.
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77
Parallélépipède rectangle.

1. Calculez la surface d'un parallélépipède rectangle dont les longueurs des arêtes sont 7 cm ; 2,2 cm et 4 cm. Conseil : dessinez d'abord un patron.

2. Exprimez la surface d'un parallélépipède rectangle en fonction de la longueur de ses arêtes.
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78
La figure ci-contre est composée de deux cubes.

Figure composée de deux cubes, un gros et un petit
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1. Exprimez le volume de cette figure à l'aide d'une expression littérale.

2. Exprimez l'aire de cette figure à l'aide d'une expression littérale.

3. Calculez l'aire et le volume de la figure pour a = 2 cm.
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79
« Tapis fractal ».

Carré vert.
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Carré découpé en 9 carrés, dont 8 sont verts et un blanc.
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Carré découpé en 9 carrés, dont 8 sont verts et un blanc. Les 8 carrés verts sont eux-mêmes percés chacun par un petit carré blanc.
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1. Le carré vert de la position initiale est de côté . Exprimez l'aire de la surface verte dans la 2e étape à l'aide d'une expression littérale.

2. Faites un dessin correspondant à la prochaine étape et exprimez l'aire de la nouvelle surface verte à l'aide d'une expression littérale.

3. Calculez l'aire de la surface verte pour un tapis de côté 3 m dans la 3e étape.
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80
Savoir refaire
La magicienne.

Chloé affirme pouvoir lire dans l'esprit de ses camarades un nombre auquel ils pensent. Pour ce faire, elle donne les instructions suivantes et leur demande de lui donner le résultat obtenu.
  • Pense à un nombre ;
  • multiplie-le par 4 ;
  • enlève 5 ;
  • multiplie par 2 ;
  • enlève 7 fois le nombre de départ ;
  • ajoute 15.

1. Comment fait-elle pour connaitre le nombre de départ ?
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81
Un programme de calcul plus long que nécessaire.

  • Choisir un nombre ;
  • multiplier le nombre choisi par 4 ;
  • soustraire 8 au résultat ;
  • ajouter au résultat le nombre choisi ;
  • ajouter 5 à ce dernier résultat.

1. Montrez que si l'on choisit au départ le nombre 1, le résultat final du programme est 2.

2. Donnez une expression permettant de calculer le résultat du programme si l'on choisit 3,74 au départ. Calculez cette expression.

3. On note le nombre choisi au départ. Exprimez le résultat du programme en fonction de .

4. Parmi les expressions suivantes, laquelle donne le résultat final du programme : ; ; ;  ?

5. Remplacez le programme de calcul présenté au début de cet exercice par un autre qui donne les mêmes résultats que l'ancien.
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82
Hypothèses.

1. Calculez l'expression avec les valeurs . Formulez une hypothèse.

2. Exprimez votre hypothèse à l'aide d'une égalité.
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83
Un lacet.

Martin tend un lacet de 40 cm de long en forme de rectangle entre ses doigts.

1. Si Martin forme un carré avec son lacet, quelle est l'aire du carré obtenu ?

2. Martin forme un rectangle de largeur x avec ses doigts. Exprimez son aire en fonction de .

3. À l'aide d'un tableur, calculez l'aire du rectangle pour valant : 1 ; 2 ; 3 ; 4 ; 5 ; 6 ; 7 ; 8 ; 9 ; 11 ; 12 ; 13 ; 14 ; 15 ; 16 ; 17 ; 18 et 19. L'une de ces aires est-elle supérieure à l'aire du carré que Martin peut former ?
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84
Factorisation.

1. Trouvez un produit qui est égal à la somme . Vous ne pouvez pas utiliser le facteur 1.
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85
Multiples.

1. Quels entiers peuvent s'écrire comme la somme de deux entiers consécutifs ?
Aidez-vous du p. 91.
Coup de pouce
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86
Le chiffre 76.

1. Montrez que le produit de deux nombres se terminant par 76 se termine lui aussi par 76.
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87
Entiers consécutifs.

1. Montrez que ( étant un entier naturel) est une autre manière de présenter le produit de trois entiers consécutifs.
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Tâche complexe
Distances de freinage et bandes blanches.

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Énoncé

Trois panneaux de sécurité routière, le premier indiquant de vérifier sa distance de sécurité, le seconde indique que un trait de distance égal danger et le dernier indique que deux traits de distance égal sécurité
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Crédits : Ministère de l'intérieur
Il est possible de voir sur toutes les autoroutes de France les panneaux ci-contre.Ces panneaux indiquent quʼil faut laisser au moins deux traits de signalisation de la bande dʼarrêt dʼurgence entre son véhicule et celui qui nous précède.

1. Expliquez pourquoi il est nécessaire de respecter ce conseil, et donnez une formule générale donnant la distance de sécurité que toute voiture doit respecter sur sol sec, quelle que soit sa vitesse.
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Doc. 1
Distance de freinage et distance dʼarrêt.

Formule de la distance de frainage () en mFormule de la distance d'arrêt () en m
Avec sur sol sec et la vitesse du véhicule en m/s distance de réaction, la distance parcourue par la voiture en deux secondes.
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Doc. 2
Distances de freinage et d'arrêt sur une autoroute.

Vitesse en km/hVitesse en m/s de A de B de B - de A
9025398950
100284810456
110315811961
120336913667
130368215472
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Doc. 3
Signalisation sur une autoroute.

Schéma d'une route vue d'en haut avec les bandes d'arrêt d'urgence et les voies de circulation
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