J'apprends

1. Définitions

  Définition
Dans une expression mathématique, on remplace parfois les nombres par des lettres. On parle alors d’expression littérale.

Remarque : En utilisant une expression littérale, refaire un calcul avec de nouvelles valeurs numériques est facile et rapide.

  J'applique
Consigne : ABCD est un rectangle. a. Combien vaut le périmètre de ABCD ?
b. Faites le calcul si AB $= 1$ et AD $= 10$.
c. Combien vaut l'aire du rectangle ?
Correction : 
a. Le périmètre de ABCD vaut $a + b + a + b = 2 \times a + 2 \times b$.
b. AB $= 1$ et AD $= 10$, alors $a = 1$ et $b = 10$, donc le périmètre de ABCD vaut $2 \times 1 + 2 \times 10 = 22$.
c. Son aire vaut $a \times b$.

Retranscrire une situation réelle sous la forme d’une expression littérale s’appelle modéliser une situation. Il faut toujours définir les lettres introduites.

  Définition
Dans une expression littérale, les lettres que l’on utilise à la place des nombres sont appelées variables.

2. Simplification

  Notations
Dans une expression littérale, il est possible de simplifier la notation, notamment en supprimant le signe « x » de la multiplication lorsqu'il est placé entre : 

• 2 variables ;
• un chiffre et une variable ; 
• un chiffre et une parenthèse ; 
• deux parenthèses.

On note aussi $x^2$ le produit de $x \times x$ et $x^3$ le produit de $x \times x \times x$.

Exemple : $a \times b = ab$
$b \times 10 = 10 \times b = 10b$
$3 \times (a + 5) = 3 (a + 5)$
$(2 - a) \times (b + 5) = (2 - a)(b +5)$
$2 \times \pi \times r = 2\pi r$

Remarque : On essaye toujours de noter $10b$ plutôt que $b10$.

3. Utilisation des expressions littérales

  Définition
Deux expressions littérales sont égales si elles prennent toujours la même valeur quand on remplace les lettres par n’importe quel nombre.
Pour montrer que deux expressions littérales ne sont pas égales, il suffit de donner un contre-exemple.

  J'applique
Consigne : Les expressions suivantes sont-elles égales ?

• $(a + 5) + 3$ et $a + 8$ ;
• $5 (3 + a)$ et $a +15$.

Correction :

• Pour tout nombre $a$, d'après les règles sur les parenthèses : 
  $(a + 5) + 3 = a + 5 + 3$
  $(a + 5) + 3 = a + 8$
  Donc les expressions sont égales.
• Pour tout $a = 1$, on a $5 (3 + a) = 5 (3 + 1) = 20$ et $a + 15 = 1 + 15 = 16$.
  $a \neq 20$ donc ces expressions sont différentes.

Pour $a = 0$, on a bien $5(3 + 0) = 0 + 15$. Pourtant, ces expressions sont bien différentes.
 
  Notation
Dans les formules, on utilise le signe « $=$ » pour indiquer que plusieurs grandeurs sont les mêmes.

  J'applique
Consigne :  Si un objet se déplace à une vitesse moyenne $v$ sur une distance $d$ en un temps $t$, alors $v = \dfrac{d}{t}$. 
Un coureur de marathon parcourt 28 km en deux heures. À quelle vitesse court-il ?
Correction : $d = 28$, $t = 2$ et $v = \dfrac{d}{t}$ donc $v = \dfrac {28}{2} = 14$. Le coureur a donc une vitesse de 14 km/h.

1. Distributivité

  Propriété
Pour tout nombre $k$, $m$ et $n$.
On a toujours $k \times (m + n) = k \times m + k \times n$

Cette propriété se transpose aussi en géométrie :


Remarque : La propriété de distributivité permet de transformer une somme en produit, ou un produit en somme.

2. Développement et factorisation

  Définition
Développer une expression, c’est transformer un produit en somme grâce à la propriété de distributivité.

Remarques : 

• Développer permet de calculer de tête :
  $8 \times 16 = 8 \times (10 + 6)$
  $8 \times 16 = 8 \times 10 + 8 \times 6$
  $8 \times 16 = 80 + 48$
  $8 \times 16 = 128$
• Développer permet aussi de simplifier des expressions : 
  $-(a + b) = (-1) \times (a + b)$
  $-(a + b) = (-1) \times a + (-1) \times n$
  $-(a + b) = -a + (-b)$
  $-(a + b) = -a -b$

  J'applique
Consigne : Développez l'expression $3 (5 + x)$.
Correction : 
$3 (5 + x) = 3 \times (5 + x)$
$3 (5 + x) = 3 \times 5 + 3 \times x$
$3 (5 + x) = 15 + 3x$

  Définition
Factoriser une expression, c'est transformer une somme en produit grâce à la propriété de distributivité.

  J'applique
Consigne :  Factorisez l'expression $8z + 5z$.
Correction : 
$8z + 5z = z \times  + z \times 5$
$8z + 5z = z \times (8 + 5)$
$8z + 5z = z \times 13$
$8z + 5z = 13z$

Pour factoriser, il faut trouver le facteur commun dans les différents termes de la somme.

Remarque : Développer ou factoriser permet de réduire une expression. On l'écrit avec le moins de nombres et de symboles possibles.

 3. Développement double

  Propriété
On a toujours : 
$(a + b)(c + d) = a \times c + a \times d + b \times c + b \times d$

4. Les identités remarquables

  Propriété
Ces égalités sont toujours vraies, pour tous nombres $a$ et $b$ : 
$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$
$(a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$
$(a + b)(a - b) = a^2 - b^2$

  J'applique
Consigne : Factorisez l'expression $4a^2 + 20a + 25$.
Correction : 
$4a^2 + 20a + 25 = (2a)^2 + 2 \times 2a \times 5 + 5 \times 5$
$4a^2 + 20a + 25 = (2a + 5)^2$

On peut démontrer ces propriétés avec la géométrie.
Aire $= (a + b)^2$
Aire $= a^2 + ab + ab + b^2$
Aire $= (a - b)^2$
Aire $= a^2 - ab - ab + b^2$
  

  Utilisation
On peut montrer que deux expressions littérales sont égales à l'aide d'un calcul littéral.

  J'applique
Consigne : Montrez que pour tous nombres $a$, $b$, $c$ avec $c \neq 0$ : $\dfrac {a}{c} + \dfrac {b}{c} = \dfrac {a + b}{c}$.
Correction :  À l'aide de la propriété de distributivité, nous obtenons : 
$\left(\dfrac{a}{c} + \dfrac{b}{c}\right) \times c = \dfrac{a}{c} \times c + \dfrac{b}{c} \times c = a + b$
donc $\left(\dfrac{a}{c} + \dfrac{b}{c}\right) \times \dfrac{c}{c} = \dfrac{a + b}{c}$
On a donc bien $\dfrac{a}{c} + \dfrac{b}{c} = \dfrac{a + b}{c}$.

Le fait d'utiliser des lettres permet de montrer que les égalités sont vraies tout le temps et pas seulement dans des cas particuliers.