Mathématiques Cycle 4

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Thème 1 : Nombres et calculs
Ch. 1
Arithmétique
Ch. 2
Nombres relatifs
Ch. 3
Nombres fractionnaires
Ch. 5
Équations et inéquations
Ch. 6
Proportionnalité
Ch. 7
Puissances
Thème 2 : Organisation et gestion de données
Ch. 8
Statistiques
Ch. 9
Probabilités
Ch. 10
Fonctions
Thème 3 : Grandeurs et mesures
Ch. 11
Grandeurs et mesures
Thème 4 : Espace et géométrie
Ch. 12
Transformations dans le plan
Ch. 13
Triangles
Ch. 14
Angles et droites parallèles
Ch. 15
Géometrie dans l'espace
Ch. 16
Théorème de pythagore
Ch. 17
Agrandissements - réductions
Ch. 18
Trigonométrie
Annexes
Livret algorithmique et programmation
Pistes EPI
Dossier brevet
Chapitre 4
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Calcul littéral

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A
Expression littérale

Je découvre
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1
Définitions

Définition
Dans une expression mathématique, on remplace parfois les nombres par des lettres. On parle alors d'expression littérale.

Exercices n°  p.84-87
Remarque :  En utilisant une expression littérale, refaire un calcul avec de nouvelles valeurs numériques est facile et rapide.
Aide
Retranscrire une situation réelle sous la forme d'une expression littérale s'appelle modéliser une situation. Il faut toujours définir les lettres introduites.

J'applique

Consigne :
ABCD est un rectangle.

a. Combien vaut le périmètre de ABCD ?
b. Faites le calcul si AB = 1 et AD = 10.
c. . Combien vaut l'aire du rectangle ?

Correction :
a. Le périmètre de ABCD vaut a + b + a + b = 2 \times a + 2 \times b.
b. AB = 1 et AD = 10, alors a = 1 et b = 10, donc le périmètre de ABCD vaut 2 \times 1 + 2 \times 10 = 22.
c. Son aire vaut a \times b.

Définition
Dans une expression littérale, les lettres que l'on utilise à la place des nombres sont appelées variables.

Exercices n°  p.84-87
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2
Simplification

Notations
Dans une expression littérale, il est possible de simplifier la notation, notamment en supprimant le signe « x » de la multiplication lorsqu'il est placé entre : 
  • 2 variables ;
  • un chiffre et une variable ; 
  • un chiffre et une parenthèse ; 
  • deux parenthèses.
On note aussi x^2 le produit de x \times x et x^3 le produit de x \times x \times x.


Exemples :
  • a \times b = ab

  • b \times 10 = 10 \times b = 10b

  • 3 \times (a + 5) = 3 (a + 5)

  • (2 - a) \times (b + 5) = (2 - a)(b +5)

  • 2 \times \pi \times r = 2\pi r
Remarque : On essaye toujours de noter 10b plutôt que b10.  
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3
Utilisation des expressions littérales

Définition
Deux expressions littérales sont égales si elles prennent toujours la même valeur quand on remplace les lettres par n'importe quel nombre.
Pour montrer que deux expressions littérales ne sont pas égales, il suffit de donner un contre-exemple.

Exercices n°  p.84-85

Attention
Pour a = 0, on a bien 5(3 + 0) = 0 + 15. Pourtant, ces expressions sont bien différentes.

J'applique

Consigne :
Les expressions suivantes sont-elles égales ?

  • (a + 5) + 3 et a + 8 ;
  • 5 (3 + a) et a +15.
Correction :
  • Pour tout nombre a, d'après les règles sur les parenthèses : 
    (a + 5) + 3 = a + 5 + 3
    (a + 5) + 3 = a + 8
    Donc les expressions sont égales.

  • Pour tout a = 1, on a 5 (3 + a) = 5 (3 + 1) = 20 et a + 15 = 1 + 15 = 16.
    a \neq 20
    Donc ces expressions sont différentes.

Notation
Dans les formules, on utilise le signe « = » pour indiquer que plusieurs grandeurs sont les mêmes.

J'applique

Consigne :
Si un objet se déplace à une vitesse moyenne v sur une distance d en un temps t, alors v = \dfrac{d}{t}
Un coureur de marathon parcourt 28 km en deux heures. À quelle vitesse court-il ?

Correction :
d = 28, t = 2 et v = \dfrac{d}{t} donc v = \dfrac {28}{2} = 14. Le coureur a donc une vitesse de 14 km/h.
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B
Développement et factorisation

J'approfondis
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1
Distributivité

Propriété
Pour tout nombre {\color{#ab4657}k}, {\color{#648e82}m} et {\color{#648e82}n}.
On a toujours {\color{#ab4657}{\color{#ab4657}k}} \times ({\color{#648e82}m} + {\color{#648e82}n}) = {\color{#ab4657}k} \times {\color{#648e82}m} + {\color{#ab4657}k} \times {\color{#648e82}n}

Exercices n°  p.87-88

 Cette propriété se transpose aussi en géométrie :
Placeholder pour Développement et factorisationDéveloppement et factorisation
Le zoom est accessible dans la version Premium.
Remarque :  La propriété de distributivité permet de transformer une somme en produit, ou un produit en somme.
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2
Développement et factorisation

Définition
Développer une expression, c'est transformer un produit en somme grâce à la propriété de distributivité.

Exercices n°  p.87-88
Remarques : 
  • Développer permet de calculer de tête :
    8 \times 16 = 8 \times (10 + 6)
    8 \times 16 = 8 \times 10 + 8 \times 6
    8 \times 16 = 80 + 48
    8 \times 16 = 128

  • Développer permet aussi de simplifier des expressions : 
    -(a + b) = (-1) \times (a + b)
    -(a + b) = (-1) \times a + (-1) \times n
    -(a + b) = -a + (-b)
    -(a + b) = -a -b

J'applique

Consigne :
Développez l'expression 3 (5 + x).

Correction :
  • 3 (5 + x) = 3 \times (5 + x)
  • 3 (5 + x) = 3 \times 5 + 3 \times x
  • 3 (5 + x) = 15 + 3x
Définition
Factoriser une expression, c'est transformer une somme en produit grâce à la propriété de distributivité.

Exercices n°  p.42-56
Aide
Pour factoriser, il faut trouver le facteur commun dans les différents termes de la somme.
Remarque : Développer ou factoriser permet de réduire une expression. On l'écrit avec le moins de nombres et de symboles possibles.

J'applique

Consigne :
Factorisez l'expression
8z + 5z.

Correction :
  • 8z + 5z = z \times  + z \times 5
  • 8z + 5z = z \times (8 + 5)
  • 8z + 5z = z \times 13
  • 8z + 5z = 13z
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3
Je perfectionne
Développement double

Propriété
On a toujours : 
({\color{#3ab4e0}a} + {\color{#6e2d88}b})({\color{#c21546}c} + {\color{#00a65f}d}) = {\color{#3ab4e0}a} \times {\color{#c21546}c} + {\color{#3ab4e0}a} \times {\color{#00a65f}d} + {\color{#6e2d88}b} \times {\color{#c21546}c} + {\color{#6e2d88}b} \times {\color{#00a65f}d}

Exercices n°  p.88-89
Placeholder pour Développement doubleDéveloppement double
Le zoom est accessible dans la version Premium.
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4
Je perfectionne
Les identités remarquables

Propriété
Ces égalités sont toujours vraies, pour tous nombres {\color{#ab4657}a} et {\color{#3ab4e0}b} :

\begin{aligned} &({\color{#ab4657}a}+{\color{#3ab4e0}b})^{2}={\color{#ab4657}a}^{2}+2 {\color{#ab4657}a} {\color{#3ab4e0}b}+{\color{#3ab4e0}b}^{2} \\ &({\color{#ab4657}a}-{\color{#3ab4e0}b})^{2}={\color{#ab4657}a}^{2}-2 {\color{#ab4657}a} {\color{#3ab4e0}b}+{\color{#3ab4e0}b}^{2} \\ &({\color{#ab4657}a}+{\color{#3ab4e0}b})({\color{#ab4657}a}-{\color{#3ab4e0}b})={\color{#ab4657}a}^{2}-{\color{#3ab4e0}b}^{2} \end{aligned}

Exercices n°  p.91
Aide
On peut démontrer ces propriétés avec la géométrie.
Placeholder pour Figure d'application géométrie des identités remarquables 1Figure d'application géométrie des identités remarquables 1
Le zoom est accessible dans la version Premium.
Aire = (a + b)^2
Aire = a^2 + ab + ab + b^2
Placeholder pour Figure d'application géométrie des identités remarquables 2Figure d'application géométrie des identités remarquables 2
Le zoom est accessible dans la version Premium.
Aire = (a - b)^2
Aire = a^2 - ab - ab + b^2

J'applique

Consigne :
Factorisez l'expression 4a^2 + 20a + 25.

Correction :
4a^2 + 20a + 25 = (2a)^2 + 2 \times 2a \times 5 + 5 \times 5
4a^2 + 20a + 25 = (2a + 5)^2
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C
Démontrer une propriété par le calcul littéral

Je perfectionne
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Utilisation
On peut montrer que deux expressions littérales sont égales à l'aide d'un calcul littéral.

Exercices n°  p.91

J'applique

Consigne :
Montrez que pour tous nombres a, b, c avec c \neq 0 :

\dfrac {a}{c} + \dfrac {b}{c} = \dfrac {a + b}{c}.

Aide
Le fait d'utiliser des lettres permet de montrer que les égalités sont vraies tout le temps et pas seulement dans des cas particuliers.
Correction :
À l'aide de la propriété de distributivité, nous obtenons : 

\left(\dfrac{a}{c} + \dfrac{b}{c}\right) \times c = \dfrac{a}{c} \times c + \dfrac{b}{c} \times c = a + b

donc \left(\dfrac{a}{c} + \dfrac{b}{c}\right) \times \dfrac{c}{c} = \dfrac{a + b}{c}

On a donc bien \dfrac{a}{c} + \dfrac{b}{c} = \dfrac{a + b}{c}.

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