Mathématiques Cycle 4

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Thème 1 : Nombres et calculs

Ch. 1

Arithmétique

Ch. 2

Nombres relatifs

Ch. 3

Nombres fractionnaires

Ch. 4

Calcul littéral

Ch. 5

Équations et inéquations

Ch. 6

Proportionnalité

Ch. 7

Puissances

Thème 2 : Organisation et gestion de données

Ch. 8

Statistiques

Ch. 9

Probabilités

Ch. 10

Fonctions

Thème 3 : Grandeurs et mesures

Ch. 11

Grandeurs et mesures

Thème 4 : Espace et géométrie

Ch. 12

Transformations dans le plan

Ch. 13

Triangles

Ch. 14

Angles et droites parallèles

Ch. 15

Géometrie dans l'espace

Ch. 16

Théorème de pythagore

Ch. 17

Agrandissements - réductions

Ch. 18

Trigonométrie

Annexes

Livret algorithmique et programmation

Pistes EPI

Dossier brevet

Chapitre 4

J'apprends

Calcul littéral

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A
Expression littérale

Je découvre

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1
Définitions

Définition

Dans une expression mathématique, on remplace parfois les nombres par des lettres. On parle alors d'expression littérale.

Exercices n° 1 à 25
p.84-87

Remarque : En utilisant une expression littérale, refaire un calcul avec de nouvelles valeurs numériques est facile et rapide.

Retranscrire une situation réelle sous la forme d'une expression littérale s'appelle modéliser une situation. Il faut toujours définir les lettres introduites.

Aide

J'applique

Consigne :
ABCD est un rectangle.

a. Combien vaut le périmètre de ABCD ?
b. Faites le calcul si AB

= 1

et AD

= 10

.
c. . Combien vaut l'aire du rectangle ?

Correction :
a. Le périmètre de ABCD vaut

a + b + a + b = 2 \times a + 2 \times b

.
b. AB

= 1

et AD

= 10

, alors

a = 1

b = 10

, donc le périmètre de ABCD vaut

2 \times 1 + 2 \times 10 = 22

.
c. Son aire vaut

a \times b

Définition

Dans une expression littérale, les lettres que l'on utilise à la place des nombres sont appelées variables.

Exercices n° 1 à 25
p.84-87

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2
Simplification

Notations

Dans une expression littérale, il est possible de simplifier la notation, notamment en supprimant le signe « x » de la multiplication lorsqu'il est placé entre :

2 variables ;
un chiffre et une variable ;
un chiffre et une parenthèse ;
deux parenthèses.

On note aussi

x^{2}

le produit de

x \times x

x^{3}

le produit de

x \times x \times x

Exemples :

$a \times b = a b$

$b \times 10 = 10 \times b = 10 b$

$3 \times (a + 5) = 3 (a + 5)$

$(2 - a) \times (b + 5) = (2 - a) (b + 5)$

$2 \times π \times r = 2 π r$

Remarque : On essaye toujours de noter

10 b

plutôt que

b 10

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3
Utilisation des expressions littérales

Définition

Deux expressions littérales sont égales si elles prennent toujours la même valeur quand on remplace les lettres par n'importe quel nombre.
Pour montrer que deux expressions littérales ne sont pas égales, il suffit de donner un contre-exemple.

Exercices n° 1 à 4
p.84-85

Attention

Pour

a = 0

, on a bien

5 (3 + 0) = 0 + 15

. Pourtant, ces expressions sont bien différentes.

J'applique

Consigne :
Les expressions suivantes sont-elles égales ?

$(a + 5) + 3$ et $a + 8$ ;
$5 (3 + a)$ et $a + 15$ .

Correction :

Pour tout nombre $a$ , d'après les règles sur les parenthèses :
$(a + 5) + 3 = a + 5 + 3$
$(a + 5) + 3 = a + 8$
Donc les expressions sont égales.

Pour tout $a = 1$ , on a $5 (3 + a) = 5 (3 + 1) = 20$ et $a + 15 = 1 + 15 = 16$ .
$a \neq = 20$
Donc ces expressions sont différentes.

Notation

Dans les formules, on utilise le signe «

=

» pour indiquer que plusieurs grandeurs sont les mêmes.

J'applique

Consigne :
Si un objet se déplace à une vitesse moyenne

v

sur une distance

d

en un temps

t

, alors

v = \frac{d}{t}

.
Un coureur de marathon parcourt 28 km en deux heures. À quelle vitesse court-il ?

Correction :

d = 28

t = 2

v = \frac{d}{t}

donc

v = \frac{2 8}{2} = 14

. Le coureur a donc une vitesse de 14 km/h.

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B
Développement et factorisation

J'approfondis

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1
Distributivité

Propriété

Pour tout nombre

k

m

n

.
On a toujours

k \times (m + n) = k \times m + k \times n

Exercices n° 26 à 37
p.87-88

Cette propriété se transpose aussi en géométrie :

Le zoom est accessible dans la version Premium.

Remarque : La propriété de distributivité permet de transformer une somme en produit, ou un produit en somme.

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2
Développement et factorisation

Définition

Développer une expression, c'est transformer un produit en somme grâce à la propriété de distributivité.

Exercices n° 26 à 37
p.87-88

Remarques :

Développer permet de calculer de tête :
$8 \times 16 = 8 \times (10 + 6)$
$8 \times 16 = 8 \times 10 + 8 \times 6$
$8 \times 16 = 80 + 48$
$8 \times 16 = 128$

Développer permet aussi de simplifier des expressions :
$- (a + b) = (- 1) \times (a + b)$
$- (a + b) = (- 1) \times a + (- 1) \times n$
$- (a + b) = - a + (- b)$
$- (a + b) = - a - b$

J'applique

Consigne :
Développez l'expression

3 (5 + x)

.

Correction :

$3 (5 + x) = 3 \times (5 + x)$
$3 (5 + x) = 3 \times 5 + 3 \times x$
$3 (5 + x) = 15 + 3 x$

Définition

Factoriser une expression, c'est transformer une somme en produit grâce à la propriété de distributivité.

Exercices n°

1 à 25

p.42-56

Pour factoriser, il faut trouver le facteur commun dans les différents termes de la somme.

Aide

Remarque : Développer ou factoriser permet de réduire une expression. On l'écrit avec le moins de nombres et de symboles possibles.

J'applique

Consigne :
Factorisez l'expression

8 z + 5 z

.

Correction :

$8 z + 5 z = z \times + z \times 5$
$8 z + 5 z = z \times (8 + 5)$
$8 z + 5 z = z \times 13$
$8 z + 5 z = 13 z$

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3
Je perfectionne
Développement double

Propriété

On a toujours :

(a + b) (c + d) = a \times c + a \times d + b \times c + b \times d

Exercices n° 38 à 41
p.88-89

Le zoom est accessible dans la version Premium.

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4
Je perfectionne
Les identités remarquables

Propriété

Ces égalités sont toujours vraies, pour tous nombres

a

b

(a + b)^{2} = a^{2} + 2 a b + b^{2} (a - b)^{2} = a^{2} - 2 a b + b^{2} (a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}

Exercices n° 58 à 61
p.91

On peut démontrer ces propriétés avec la géométrie.

Aide

Figure d'application géométrie des identités remarquables 1

Le zoom est accessible dans la version Premium.

Aire

= (a + b)^{2}

Aire

= a^{2} + a b + a b + b^{2}

Figure d'application géométrie des identités remarquables 2

Le zoom est accessible dans la version Premium.

Aire

= (a - b)^{2}

Aire

= a^{2} - a b - a b + b^{2}

J'applique

Consigne :
Factorisez l'expression

4 a^{2} + 20 a + 25

.

Correction :

4 a^{2} + 20 a + 25 = (2 a)^{2} + 2 \times 2 a \times 5 + 5 \times 5

4 a^{2} + 20 a + 25 = (2 a + 5)^{2}

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C
Démontrer une propriété par le calcul littéral

Je perfectionne

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Utilisation

On peut montrer que deux expressions littérales sont égales à l'aide d'un calcul littéral.

Exercices n° 58 à 61
p.91

J'applique

Consigne :
Montrez que pour tous nombres

a

b

c

avec

c \neq = 0

\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a + b}{c}

Le fait d'utiliser des lettres permet de montrer que les égalités sont vraies tout le temps et pas seulement dans des cas particuliers.

Aide

Correction :
À l'aide de la propriété de distributivité, nous obtenons :

(\frac{a}{c} + \frac{b}{c}) \times c = \frac{a}{c} \times c + \frac{b}{c} \times c = a + b

donc

(\frac{a}{c} + \frac{b}{c}) \times \frac{c}{c} = \frac{a + b}{c}

On a donc bien

\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a + b}{c}

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Calcul littéral

A
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Simplification

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Utilisation des expressions littérales

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B
Développement et factorisation

1
Distributivité

2
Développement et factorisation

J'applique

J'applique

3
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Développement double

4
Je perfectionne
Les identités remarquables

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