Mathématiques Cycle 4
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Thème 1 : Nombres et calculs
Ch. 1
Arithmétique
Ch. 2
Nombres relatifs
Ch. 3
Nombres fractionnaires
Ch. 4
Calcul littéral
Ch. 5
Équations et inéquations
Ch. 6
Proportionnalité
Ch. 7
Puissances
Thème 2 : Organisation et gestion de données
Ch. 8
Statistiques
Ch. 9
Probabilités
Ch. 10
Fonctions
Thème 3 : Grandeurs et mesures
Ch. 11
Grandeurs et mesures
Thème 4 : Espace et géométrie
Ch. 12
Transformations dans le plan
Ch. 13
Triangles
Ch. 14
Angles et droites parallèles
Ch. 15
Géometrie dans l'espace
Ch. 16
Théorème de pythagore
Ch. 17
Agrandissements - réductions
Ch. 18
Trigonométrie
Annexes
Livret algorithmique et programmation
Pistes EPI
Dossier brevet
Chapitre 4
J'apprends

Calcul littéral

A
Expression littérale

Je découvre

1
Définitions

Définition
Dans une expression mathématique, on remplace parfois les nombres par des lettres. On parle alors d'expression littérale.

Exercices n°  p.84-87
Remarque :  En utilisant une expression littérale, refaire un calcul avec de nouvelles valeurs numériques est facile et rapide.
Retranscrire une situation réelle sous la forme d'une expression littérale s'appelle modéliser une situation. Il faut toujours définir les lettres introduites.
Aide

J'applique

Consigne :
ABCD est un rectangle.

a. Combien vaut le périmètre de ABCD ?
b. Faites le calcul si AB et AD .
c. . Combien vaut l'aire du rectangle ?

Correction :
a. Le périmètre de ABCD vaut .
b. AB et AD , alors et , donc le périmètre de ABCD vaut .
c. Son aire vaut .

Définition
Dans une expression littérale, les lettres que l'on utilise à la place des nombres sont appelées variables.

Exercices n°  p.84-87

2
Simplification

Notations
Dans une expression littérale, il est possible de simplifier la notation, notamment en supprimant le signe « x » de la multiplication lorsqu'il est placé entre : 
  • 2 variables ;
  • un chiffre et une variable ; 
  • un chiffre et une parenthèse ; 
  • deux parenthèses.
On note aussi le produit de et le produit de .


Exemples :




Remarque : On essaye toujours de noter plutôt que .  

3
Utilisation des expressions littérales

Définition
Deux expressions littérales sont égales si elles prennent toujours la même valeur quand on remplace les lettres par n'importe quel nombre.
Pour montrer que deux expressions littérales ne sont pas égales, il suffit de donner un contre-exemple.

Exercices n°  p.84-85

Attention
Pour , on a bien . Pourtant, ces expressions sont bien différentes.

J'applique

Consigne :
Les expressions suivantes sont-elles égales ?

  • et  ;
  • et .
Correction :
  • Pour tout nombre , d'après les règles sur les parenthèses : 


    Donc les expressions sont égales.

  • Pour tout , on a et .

    Donc ces expressions sont différentes.

Notation
Dans les formules, on utilise le signe « » pour indiquer que plusieurs grandeurs sont les mêmes.

J'applique

Consigne :
Si un objet se déplace à une vitesse moyenne sur une distance en un temps , alors
Un coureur de marathon parcourt 28 km en deux heures. À quelle vitesse court-il ?

Correction :
, et donc . Le coureur a donc une vitesse de 14 km/h.

B
Développement et factorisation

J'approfondis

1
Distributivité

Propriété
Pour tout nombre , et .
On a toujours

Exercices n°  p.87-88

 Cette propriété se transpose aussi en géométrie :
Développement et factorisation
Le zoom est accessible dans la version Premium.
Remarque :  La propriété de distributivité permet de transformer une somme en produit, ou un produit en somme.

2
Développement et factorisation

Définition
Développer une expression, c'est transformer un produit en somme grâce à la propriété de distributivité.

Exercices n°  p.87-88
Remarques : 
  • Développer permet de calculer de tête :




  • Développer permet aussi de simplifier des expressions : 



J'applique

Consigne :
Développez l'expression .

Correction :
Définition
Factoriser une expression, c'est transformer une somme en produit grâce à la propriété de distributivité.

Exercices n°  p.42-56
Pour factoriser, il faut trouver le facteur commun dans les différents termes de la somme.
Aide
Remarque : Développer ou factoriser permet de réduire une expression. On l'écrit avec le moins de nombres et de symboles possibles.

J'applique

Consigne :
Factorisez l'expression
.

Correction :

3
Je perfectionne
Développement double

Propriété
On a toujours : 


Exercices n°  p.88-89
Développement double
Le zoom est accessible dans la version Premium.

4
Je perfectionne
Les identités remarquables

Propriété
Ces égalités sont toujours vraies, pour tous nombres et :



Exercices n°  p.91
On peut démontrer ces propriétés avec la géométrie.
Aide
Figure d'application géométrie des identités remarquables 1
Le zoom est accessible dans la version Premium.
Aire
Aire
Figure d'application géométrie des identités remarquables 2
Le zoom est accessible dans la version Premium.
Aire
Aire

J'applique

Consigne :
Factorisez l'expression .

Correction :


C
Démontrer une propriété par le calcul littéral

Je perfectionne
Utilisation
On peut montrer que deux expressions littérales sont égales à l'aide d'un calcul littéral.

Exercices n°  p.91

J'applique

Consigne :
Montrez que pour tous nombres , , avec  :

.

Le fait d'utiliser des lettres permet de montrer que les égalités sont vraies tout le temps et pas seulement dans des cas particuliers.
Aide
Correction :
À l'aide de la propriété de distributivité, nous obtenons : 



donc

On a donc bien .

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