Définition Dans une expression mathématique, on remplace parfois les nombres par des lettres. On parle alors d’expression littérale.
Remarque : En utilisant une expression littérale, refaire un calcul avec de nouvelles valeurs numériques est facile et rapide.
J'applique Consigne : ABCD est un rectangle.
a. Combien vaut le périmètre de ABCD ? b. Faites le calcul si AB =1 et AD =10. c. Combien vaut l'aire du rectangle ? Correction : a. Le périmètre de ABCD vaut a+b+a+b=2×a+2×b. b. AB =1 et AD =10, alors a=1 et b=10, donc le périmètre de ABCD vaut 2×1+2×10=22. c. Son aire vaut a×b.
Retranscrire une situation réelle sous la forme d’une expression littérale s’appelle modéliser une situation. Il faut toujours définir les lettres introduites.
Définition Dans une expression littérale, les lettres que l’on utilise à la place des nombres sont appelées variables.
2. Simplification
Notations Dans une expression littérale, il est possible de simplifier la notation, notamment en supprimant le signe « x » de la multiplication lorsqu'il est placé entre :
2 variables ;
un chiffre et une variable ;
un chiffre et une parenthèse ;
deux parenthèses.
On note aussi x2 le produit de x×x et x3 le produit de x×x×x.
Exemple : a×b=ab b×10=10×b=10b 3×(a+5)=3(a+5) (2−a)×(b+5)=(2−a)(b+5) 2×π×r=2πr
Remarque : On essaye toujours de noter 10b plutôt que b10.
3. Utilisation des expressions littérales
Définition Deux expressions littérales sont égales si elles prennent toujours la même valeur quand on remplace les lettres par n’importe quel nombre. Pour montrer que deux expressions littérales ne sont pas égales, il suffit de donner un contre-exemple.
J'applique Consigne : Les expressions suivantes sont-elles égales ?
(a+5)+3 et a+8 ;
5(3+a) et a+15.
Correction :
Pour tout nombre a, d'après les règles sur les parenthèses : (a+5)+3=a+5+3 (a+5)+3=a+8 Donc les expressions sont égales.
Pour tout a=1, on a 5(3+a)=5(3+1)=20 et a+15=1+15=16. a=20 donc ces expressions sont différentes.
Pour a=0, on a bien 5(3+0)=0+15. Pourtant, ces expressions sont bien différentes.
Notation Dans les formules, on utilise le signe « = » pour indiquer que plusieurs grandeurs sont les mêmes.
J'applique Consigne : Si un objet se déplace à une vitesse moyenne v sur une distance d en un temps t, alors v=td. Un coureur de marathon parcourt 28 km en deux heures. À quelle vitesse court-il ? Correction : d=28, t=2 et v=td donc v=228=14. Le coureur a donc une vitesse de 14 km/h.
B. Développement et factorisation
1. Distributivité
Propriété Pour tout nombre k, m et n. On a toujours k×(m+n)=k×m+k×n
Cette propriété se transpose aussi en géométrie :
Remarque : La propriété de distributivité permet de transformer une somme en produit, ou un produit en somme.
2. Développement et factorisation
Définition Développer une expression, c’est transformer un produit en somme grâce à la propriété de distributivité.
Remarques :
Développer permet de calculer de tête : 8×16=8×(10+6) 8×16=8×10+8×6 8×16=80+48 8×16=128
Développer permet aussi de simplifier des expressions : −(a+b)=(−1)×(a+b) −(a+b)=(−1)×a+(−1)×n −(a+b)=−a+(−b) −(a+b)=−a−b
On peut démontrer ces propriétés avec la géométrie. Aire =(a+b)2 Aire =a2+ab+ab+b2 Aire =(a−b)2 Aire =a2−ab−ab+b2
C. Démontrer une propriété par le calcul littéral
Utilisation On peut montrer que deux expressions littérales sont égales à l'aide d'un calcul littéral.
J'applique Consigne : Montrez que pour tous nombres a, b, c avec c=0 : ca+cb=ca+b. Correction : À l'aide de la propriété de distributivité, nous obtenons : (ca+cb)×c=ca×c+cb×c=a+b donc (ca+cb)×cc=ca+b On a donc bien ca+cb=ca+b.
Le fait d'utiliser des lettres permet de montrer que les égalités sont vraies tout le temps et pas seulement dans des cas particuliers.
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