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Maths autrement : Des aires surprenantes !
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Mathématiques - Les maths autrement


Maths autrement : Des aires surprenantes !





Vincenzo Viviani (1622-1703) est un savant italien, disciple de Galilée. Il est à la fois mathématicien, physicien et astronome. Il est notamment connu pour avoir amélioré l’estimation de la vitesse du son en mesurant le délai entre l’étincelle et le bruit lors d’un tir de canon. Un théorème de géométrie sur les triangles équilatéraux porte également son nom.

Vincenzo Viviani

Vincenzo Viviani

100% Numérique

Envie d’en savoir plus ? Découvrez une animation de la démonstration à l’aide de triangles équilatéraux.
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Étape 1 : Observation du théorème

Graphique lié à l'exercice 1
1
Avec un logiciel de géométrie dynamique, construisez un triangle équilatéral ABC. Placez un point M à lʼintérieur de ce triangle.



2
Construisez dd, ee et ff, trois droites passant par le point M et respectivement perpendiculaires aux côtés [AB], [BC] et [AC]. Nommez D, E et F les points dʼintersection respectifs de dd et [AB], de ee et [BC] et de ff et [AC].



3
À lʼaide du logiciel, mesurez les longueurs MD, ME et MF



4
Dans la ligne de saisie, créez un nombre nn égal à la somme de ces trois longueurs.



5
Déplacez le point M. Que remarquez-vous quant à la valeur de cette somme ?

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Étape 2 : Une démonstration

On nomme hh la longueur de la hauteur du triangle relative au côté [AB].

1
Écrivez une expression permettant de calculer lʼaire du triangle ABC en fonction des longueurs AB et hh.



2
Écrivez trois expressions permettant de calculer les aires des triangles AMB, BMC et AMC à l'aide respectivement des mesures MD, MF et ME.



3
Écrivez une expression permettant de calculer lʼaire du triangle ABC à lʼaide des aires des triangles AMB, BMC et AMC.



4
Déduisez-en que MD+ME+MF=h\text{MD} + \text{ME} + \text{MF} = h.



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Vous avez montré que la somme des distances aux trois côtés dʼun point intérieur à un triangle équilatéral est toujours égale à la hauteur du triangle.
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