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Je résous des problèmes
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Mathématiques - Je résous des problèmes


Je résous des problèmes




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Exercice 49 : Le vivant et les longueurs.

Graphique lié à l'exercice 2


Graphique lié à l'exercice 1
Le streptocoque est une bactérie en forme de boule. Son diamètre peut mesurer jusquʼà 1,5×1091\text{,}5 \times 10^{-9} m. La paramécie est un petit organisme unicellulaire. Sa longueur peut mesurer jusquʼà 3×1073 \times 10^{-7} m.

1
Par quel facteur faut-il multiplier le diamètre dʼun streptocoque pour obtenir la longueur dʼune paramécie ?



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Doc. 3
Ce tableau servira aux exercices 50 à 54.

Objet Masse (valeurs exemplaires/arrondies/estimées)
neutrino 3,6×10363\text{,}6 \times 10^{-36} kg
électron 9,11×10319\text{,}11 \times 10^{-31} kg
proton 1,67×10271\text{,}67 \times 10^{-27} kg
atome d'argent 1,79 ×10251\text{,}79 \times 10^{-25} kg
virus de la grippe 6×10196 \times 10^{-19} kg
bactérie E.coli 1 ×10151 \times 10^{-15} kg
grain de pollen de bouleau 8 ×10128 \times 10^{-12} kg
ovule humain 3,6×1093\text{,}6 \times 10^{-9} kg
moustique 1,5×1061\text{,}5 \times 10^{-6} kg
CD 1,5 ×1021\text{,}5 \times 10^{-2} kg
homme adulte 8×1018\times 10^1 kg 
baleine bleue (masse record) 1,77×1051\text{,}77\times 10^5 kg 
la grande pyramide de Gizeh 6×1096\times 10^9 kg 
tous les poissons de la Terre 1,5×10121\text{,}5\times 10^{12} kg 
l'atmosphère de la Terre 5,×10185\text{,}\times 10^{18} kg 
la Lune 7,35×10227\text{,}35\times 10^{22} kg 
la Terre 5,97×10245\text{,}97\times 10^{24} kg 
Jupiter 1,9×10271\text{,}9\times 10^{27} kg 
le Soleil 2×10302\times 10^{30} kg 
la Voie lactée 2×10422\times 10^{42} kg 
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Exercice 50 : Neutrino, Terre et Voie lactée.

1
Par quel facteur faut-il multiplier la masse de la Terre pour obtenir celle du Soleil ?



2
Quel est le pourcentage de la masse de la Voie lactée représenté par la Terre ?



3
Par quel facteur faut-il multiplier la masse dʼun neutrino pour obtenir celle de la Voie lactée ?



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Exercice 51 : Planètes.

1
Comparez la masse de Jupiter avec la somme des masses de la Terre et de la Lune.



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Exercice 52 : Du neutrino à la baleine bleue.

1
Par quel facteur faut-il multiplier la masse dʼun neutrino pour obtenir celle dʼun proton ?



2
Par quel facteur faut-il multiplier la masse dʼune bactérie E. coli pour obtenir celle dʼun moustique ?



3
Par quel facteur faut-il multiplier la masse dʼun électron pour obtenir celle dʼun grain de pollen de bouleau ?



4
Par quel facteur faut-il multiplier la masse dʼun moustique pour obtenir celle dʼune baleine bleue ?



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Exercice 53 : La grande pyramide de Gizeh.

<stamp theme='maths-blue1'>Doc. 4</stamp> La grande pyramide de Gizeh.
1
Quel pourcentage de la masse de la Terre a-t-il fallu pour construire la grande pyramide de Gizeh ?



2
Quel pourcentage de lʼatmosphère représente la masse de la Terre ?



3
Combien de baleines bleues faudrait-il pour que leur masse soit égale à celle de tous les poissons ?



4
Combien de grandes pyramides de Gizeh pourrait-on construire si on utilisait la Lune comme carrière gigantesque ?



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Exercice 54 : À vous de jouer !

1
Formulez une question et une réponse à partir du calcul suivant. 5,97×10247,35×1022=5,977,35×1020,81224×10081,224\dfrac{5\text{,}97 \times 10^{24}}{7\text{,}35 \times 10^{22}} = \dfrac{5\text{,}97}{7\text{,}35} \times 10^2 \approx 0\text{,}81224 \times 100 \approx 81\text{,}224



2
Posez dʼautres questions en rapport avec lʼordre de grandeur des objets de notre univers et répondez-y.



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Exercice 55 : Une famille de jumeaux.

Jeanne et Marcel ont eu des jumeaux en 1900. Leurs deux enfants (1re génération) ont à leur tour eu des jumeaux en 1925 et, par la suite, tous leurs descendants, à chaque génération, ont eu des jumeaux.

1
Une génération représente 25 ans. Combien dʼenfants compte la génération de 1975 ? De 2000 ? De 2025 ? De 2100 ?



2
À partir de quelle date les générations compteront-elles plus de 1 000 personnes ? Plus de 10 000 ? Plus de 100 000 ?



3
Combien de descendants toutes générations confondues Jeanne et Marcel ont-ils en 1975 ? En 2000 ? En 2100 ?



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Exercice 56 : Chaine de mails.

Laure lance une chaine de mails le jour n°1 : chaque personne qui la reçoit doit lʼenvoyer à son tour à 3 personnes le lendemain.

1
Combien de personnes reçoivent la chaine le jour n°2 ? Et le jour n°3 ? Le jour n°10 ?



2
Combien de personnes en tout ont reçu la chaine les 3 premiers jours ? Les 4 premiers jours ? Les 5 premiers jours ? Au bout de nn jours ? (On supposera que Laure envoie la chaine à trois personnes le premier jour.)



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Exercice 57 : Terre et lune.

Graphique lié à l'exercice 5
Voici les diamètres de la Terre et de la Lune : Terre : 1,27×1071\text{,}27 \times 10^7 m ; Lune : 3,48×1063\text{,}48 \times 10^6 m. Et leurs masses sont : Terre : 5,97×10245\text{,}97 \times 10^{24} kg ; Lune : 7,35×10227\text{,}35 \times 10^{22} kg.

1
Calculez le quotient entre : le diamètre de la Terre et celui de la Lune ; la superficie de la Terre et celle de la Lune, sachant que la formule de la superficie dʼune sphère est A=4πr2A = 4\pi r^2 ; la masse de la Terre et celle de la Lune.



2
Comparez ces trois quotients.



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Exercice 58 : Population de bactéries.

La masse dʼune population de bactéries est de 1 mg et peut doubler en 30 minutes, si les conditions sont favorables.

1
Dans ce cas, quelle est la masse de la population après : 30 min ? 1 heure ? 5 heures ? une journée ?



2
Exprimez tous les résultats en écriture scientifique en utilisant le kilogramme comme unité.



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Exercice 59 : Amis de Catherine.

Catherine a 20 amis sur Facebook. Chacun de ses amis a 20 amis que Catherine ne connait pas. Et ainsi de suite.

1
Combien « dʼamis dʼamis dʼamis » a Catherine ?



2
« Catherine a à peu près autant dʼamis au sixième degré quʼil y a de personnes qui vivent en France. » Expliquez le sens de cette phrase. Est-elle vraie ou fausse ?



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Exercice 60 : Nénufar.

Graphique lié à l'exercice 6
Un nénufar couvre 0,5 % dʼun lac. Mais sa surface peut tripler en une semaine, si les conditions sont favorables.

1
Dans ce cas, après combien de semaines le lac sera-t-il complètement couvert ?



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Exercice 61 : Nicolas a un coffre-fort.

Le verrou est un code à cinq chiffres.

1
Combien de codes possibles peut-il choisir ?



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Exercice 62 : Cadenas.

Walid a oublié le code de son cadenas. Il se rappelle que le dernier chiffre est un 8 mais il a complètement oublié le reste.

1
Sachant que la combinaison comprend 5 chiffres, combien de combinaisons devra-t-il tester dans le pire des cas ?



2
Quelle probabilité que Walid réussisse à ouvrir le cadenas dès le premier essai ?



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Exercice 63 : Puissance.

1
Formulez une règle qui permet de déduire le signe dʼune puissance.



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Exercice 64 : Poumons.

La surface dʼune alvéole est dʼenviron 0,125 mm2. Chacun de nos poumons contient environ 10810^8 alvéoles.

1
Quelle est la surface totale des alvéoles dans les deux poumons ? Exprimez le résultat en m2^2.



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Exercice 65 : Un peu dʼarithmétique.

1
Quel est le chiffre des unités de 22012222\:012^2 ? Justifiez votre réponse.



2
Quel est le chiffre des unités de 22013222\:013^2 ? Justifiez votre réponse.



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Exercice 66 : Démontrons.

1
Démontrez que tous les entiers pairs sont de la forme 2n2n avec nn un entier relatif.



2
Montrez que le carré dʼun entier pair est un entier pair.



3
pp est un entier naturel supérieur ou égal à 1. Montrez quʼun entier pair élevé à la puissance pp est un entier pair.



4
Démontrez que tous les entiers impairs sont de la forme 2n+12n + 1 avec nn un entier relatif.



5
Montrez que le carré dʼun entier impair est un entier impair.



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Exercice 67 : Division cellulaire.

Lors du processus de reproduction animale, après fécondation, les cellules de lʼembryon se multiplient par division cellulaire à partir dʼune cellule. Une première division se produit immédiatement après la fécondation, puis les divisions en deux se poursuivent au rythme dʼune toutes les dix heures.

1
Combien lʼembryon compte-t-il de cellules après la première division ?



2
Combien de cellules lʼembryon compte-t-il au bout de 24 heures ? Au bout de 5 jours ? Au bout de deux mois ? À la naissance ?



3
Combien de divisions successives se sont produites entre la fécondation et la naissance ?



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Exercice 68 : Numéro de téléphone.

En France métropolitaine, depuis le 18 octobre 1996, les numéros de téléphone commencent par 0, suivi dʼun indicatif de région ou de type de téléphone.

1
À votre avis, pourquoi a-t-on ajouté le chiffre 0 et lʼindicatif régional devant les anciens numéros de téléphone ?



2
À quelle région correspond un numéro en 01 ? En 02 ? En 03 ? En 04 ? En 05 ? Combien de combinaisons possibles de numéros de téléphone fixe cela représente-t-il ?



3
Depuis 2005, les numéros commençant par 09 désignent les lignes fixes issues des offres groupées téléphone – internet – télévision. Combien de numéros potentiels de lignes fixes y a-t-il désormais ?



4
À quoi correspond un numéro en 06 ? Combien y a-t-il de numéros de téléphone possibles ?



5
Au 31 mars 2012, dʼaprès lʼAutorité de régulation des communications électroniques et des postes (ARCEP), il y a 69,5 millions dʼutilisateurs de téléphones portables en France métropolitaine et dans les DROM. Quel pourcentage de la population française cela représente-t-il ?



6
Depuis 2010, on peut se voir attribuer un numéro de téléphone portable commençant par 07. Vous en avez peut-être même un ! À votre avis, pourquoi ces numéros ont-ils été créés ?



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Exercice 69 : Céline tire des boules dans une urne.

À chaque tirage, elle remet la boule dans lʼurne avant de tirer la suivante. Il y a dans cette urne 3 boules bleues, 5 boules rouges et 2 boules vertes.

1
Combien de suites de couleurs différentes peut-elle obtenir quand elle tire 10 boules ?



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Exercice 70 : Système solaire.

Voici un tableau récapitulatif des diamètres des planètes du système solaire.

Planète Diamètre Volume en m3^3
Mercure 4,880×1034\text{,}880 \times 10^3 km 6,077 ×10196\text{,}077 \times 10^{19}
Vénus 1,21 ×1071\text{,}21 \times 10^7 m 9,285 ×10209\text{,}285 \times 10^{20}
Terre 1274012\:740 km 1,084 ×10211\text{,}084 \times 10^{21}
Jupiter 142984000000000142\:984\:000\:000\:000 mm 1,525×10241\text{,}525 \times 10^{24}
Saturne 1,11464×10101\text{,}11464 \times 10^{10} cm 9,048 ×10239\text{,}048 \times 10^{23}
Uranus 5111800×1035\:111\:800\times10^3 cm 6,995 ×10226\text{,}995 \times 10^{22}
Neptune 4953249\:532 km 6,358 ×10226\text{,}358 \times 10^{22}
Soleil 13910001\:391\:000 km 1,412 ×10271\text{,}412 \times 10^{27}

1
Sachant que la distance moyenne Terre–Lune est de 384 400 km, combien de planètes pourrait-on faire rentrer entre la Terre et la Lune si les planètes étaient alignées et se touchaient ?



2
Combien de fois peut-on faire rentrer la Terre dans le Soleil ? Combien de fois de peut-on faire rentrer Mercure dans le Soleil ?



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Exercice 71 : Tweets.

Vous twittez un scoop et vous informez 30 personnes avec ce tweet. Dans les 8 minutes qui suivent, chacune de ces 30 personnes renvoie ce tweet à 30 autres personnes qui ne lʼont pas reçu et ainsi de suite.

1
Combien de personnes sont au courant une heure après lʼenvoi de votre scoop ?



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Exercice 72 : Planètes habitables dans lʼunivers.

Les scientifiques estiment quʼil y a : entre 200 et 400 milliards dʼétoiles dans une galaxie ; entre 100 et 500 milliards de galaxies dans lʼUnivers observable ; quʼil pourrait y avoir 40 milliards de planètes habitables dans notre galaxie.

1
Donnez une estimation du minimum et du maximum de planètes habitables quʼil pourrait y avoir dans lʼUnivers observable.



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Tâche complexe : Protéger ses données, protéger son identité.

Victor et Asma testent un logiciel permettant de trouver des mots de passe. Asma crée un mot de passe et Victor doit essayer de le décoder.Combien de temps, au maximum, faut-il à Victor pour trouver le mot de passe composé par Asma ?

1
Lors de la dernière tentative d'Asma.



2
En général, en posant aa le nombre de lettres et bb le nombre de chiffres qui composent le message.



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Doc. 1
Le mot de passe.

Les règles du jeu sont simples. Asma compose un mot de passe de 11 caractères avec des lettres et des chiffres. Les lettres peuvent être en majuscule ou en minuscule. Elle dit ensuite à Victor combien de lettres et combien de chiffres elle a choisi, mais pas l’ordre. Victor n’a plus alors qu’à tester toutes les combinaisons possibles avec ces nombres de lettres et de chiffres. Lors de sa dernière tentative, Asma a utilisé 7 lettres et 4 chiffres.

Doc. 2
Casser un code.

Il existe plusieurs façons de casser un mot de passe, c’est-à-dire de trouver le mot de passe de quelqu’un. La méthode la plus évidente est tout simplement d’essayer toutes les combinaisons possibles jusqu’à trouver le bon mot de passe. C’est d’ailleurs la solution utilisée par la plupart des logiciels. Un ordinateur classique, avec le bon logiciel, peut essayer un milliard de combinaisons par seconde.
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