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Problèmes résolus
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Mathématiques - Problèmes résolus


Problèmes résolus




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Exercice 47 : Prolifération de lapins.

Cette solution peut être facilitée par lʼutilisation dʼun tableur.La Méthode 2 est beaucoup plus rapide que lʼautre ! Et le tâtonnement nʼa pas besoin dʼêtre présent dans votre réponse, il peut se faire au brouillon pour aller encore plus vite. Il suffit de justifier en donnant les valeurs de 12×22512 \times 2^{25} et de 12×22612 \times 2^{26}.

1
Lʼintroduction de 12 lapins en Australie fut un désastre écologique. Nʼayant aucun prédateur naturel, ils ont pu proliférer au point de menacer la faune et la flore locale. Avant que leur progression ne soit freinée, la population de lapins avait atteint 600 000 000 dʼindividus. En supposant que la population de lapins doublait tous les deux ans, combien de temps a-t-il fallu au moins pour que la population atteigne ce nombre étourdissant ?



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Méthode 1

La méthode la plus élémentaire, mais très longue, est dʼenchainer les opérations (multiplications, divisions ou additions) jusquʼà arriver à la valeur que lʼon vise.

Corrigé 1

Nous partons de 12, et multiplions 12 par 2 jusquʼà atteindre un nombre supérieur à 600 000 000.
Il faut multiplier 12 par 2 vingt-six fois pour dépasser 600 000 000.
La population double tous les deux ans, il a donc fallu entre 2×252 \times 25, soit 50 ans, et 2×262 \times 26 ans, soit 52 ans, pour que la population de lapins atteigne 600 000 000 dʼindividus.

Méthode 2

On peut aussi tâtonner pour se rapprocher petit à petit du résultat.

Corrigé 2

Le nombre de lapins au bout de nn périodes de 2 ans correspond à lʼexpression 12×2n12 \times 2^n.
On cherche donc le plus petit nn tel que : 12×2n60000000012 \times 2^n \geq 600\:000\:000
  • Essayons des coefficients augmentant de 10 en 10, donc calculons : 12×21012 \times 2^{10}, 12×22012 \times 2^{20}, 12×23012 \times 2^{30}.
    On a 12×220<600000000<12×23012 \times 2^{20} < 600\:000\:000 < 12 \times 2^{30}.
  • nn est donc compris entre 20 et 30. Testons 25.
    12×225=402653184<60000000012 \times 2^{25} = 402\:653\:184 < 600\:000\:000.
    nn est donc compris entre 25 et 30.
  • Il ne reste plus beaucoup de valeurs possibles. Essayons avec n=26n = 26.
    12×226=80530636812 \times 2^{26} = 805\:306\:368
    Donc 12×225<600000000<12×22612 \times 2^{25} < 600\:000\:000 < 12 \times 2^{26}.
Il faut donc 26 périodes de 2 ans pour que la population dépasse 600 000 000 dʼindividus.
Il a donc fallu entre 2×252 \times 25 ans, soit 50 ans, et 2×262 \times 26 ans, soit 52 ans, pour quʼil y ait 600 000 000 de lapins.
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Exercice 48 : Balle rebondissante.

On lâche une balle rebondissante à une hauteur de 500 m. On suppose que la balle ne rencontre aucun obstacle une fois au sol. La hauteur dʼun rebond est égale aux deux tiers de la hauteur du rebond précédent.

1
Calculez la hauteur du dixième rebond au m près.



2
Au bout de combien de rebonds la hauteur sera-t-elle inférieure à 2 cm ? Justifiez.



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