Mathématiques Cycle 4
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Thème 1 : Nombres et calculs
Ch. 1
Arithmétique
Ch. 2
Nombres relatifs
Ch. 3
Nombres fractionnaires
Ch. 4
Calcul littéral
Ch. 5
Équations et inéquations
Ch. 6
Proportionnalité
Ch. 7
Puissances
Thème 2 : Organisation et gestion de données
Ch. 8
Statistiques
Ch. 9
Probabilités
Ch. 10
Fonctions
Thème 3 : Grandeurs et mesures
Ch. 11
Grandeurs et mesures
Thème 4 : Espace et géométrie
Ch. 12
Transformations dans le plan
Ch. 13
Triangles
Ch. 14
Angles et droites parallèles
Ch. 15
Géometrie dans l'espace
Ch. 16
Théorème de pythagore
Ch. 17
Agrandissements - réductions
Ch. 18
Trigonométrie
Annexes
Livret algorithmique et programmation
Pistes EPI
Dossier brevet
Chapitre 15
J'apprends

Géométrie dans l'espace

A
Le pavé droit

Je découvre

1
Le pavé droit dans l'espace

Représentation
Perspective cavalière
Un parallélépipède rectangle (ou pavé droit) est un solide possédant 6 faces, dont tous les angles sont des angles droits. Il a 8 sommets et 12 arêtes.
 
représentation d'un parallélépipède rectangle
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représentation d'un parallélépipède rectangle avec vu en pointillés des arêtes normalement non visibles
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Dans la figure de gauche, on ne voit pas le point F ; il est sur la face arrière. La perspective cavalière permet de représenter ce que lʼon ne voit pas en réalité en traçant en pointillés les arêtes non visibles : [AF], [EF] et [FG].
En perspective cavalière :
  • les faces avant et arrière sont en vraie grandeur ;
  • les autres faces sont déformées par la perspective mais conservent le parallélisme.

Exercices n°  p. 334-335
Remarque :  Un pavé droit dont toutes les faces sont des carrés est un cube.
Définition
Un patron est une figure plane qui permet de fabriquer le solide par pliage.
Le patron dʼun pavé droit est constitué de 6 faces rectangulaires. Les faces parallèles par pliage ont les mêmes dimensions.

Exercices n°  p. 334
Patron d'un pavé droit déplié
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patron du pavé droit en cours de pliage
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Patron du pavé droit plié
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Patron d'un pavé droit
Remarque :  Un pavé droit peut avoir plusieurs patrons possibles.
Patron alternatif du pavé droit
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2
J'approfondis
  Se repérer dans un pavé droit

Repérage
  
Pour se repérer dans un pavé droit, il faut munir lʼespace dʼun repère composé dʼune origine et de 3 axes gradués perpendiculaires.
Les coordonnées dʼun point seront composées :
  • dʼune abscisse () ; 
  • dʼune ordonnée () ; 
  • dʼune altitude (). 
Dans la figure ci-dessous, O est lʼorigine du repère. Le point B, par exemple, a pour coordonnées (11 ; 0 ; 0) et F (11 ; 0 ; 6).
Pavé droit avec repère composé d'une origine et de 3 axes gradués perpendiculaires.
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Exercices n°  p. 335

J'applique

Consigne : En utilisant la figure précédente, quelles sont les coordonnées des points E, C et G  ?

Correction :
  • E (0 ; 0 ; 6) car E se situe sur lʼaxe z (altitude).
  • Pour aller de O à C, il faut 11 graduations en abscisse et 6 en ordonnées donc C (11 ; 6 ; 0).
  • Pour aller de O à G, il faut 11 graduations en abscisse, 6 en ordonnées et 6 en altitude donc G (11 ; 6 ; 6).

B
La sphère

Je découvre

1
La sphère dans l'espace

Représentation
Perspective cavalière
La sphère de centre O et de rayon est formée de tous les points M de lʼespace tels que OM = .
La boule de centre O et de rayon est formée de tous les points M de lʼespace tels que OM .
c415inf176-01
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Exercices n°  p. 336
En résumé, la sphère est vide et la boule est pleine.
Aide

2
Je perfectionne
Repérage sur une sphère

Repérage
Pour se repérer sur une sphère (par exemple la Terre), il faut des coordonnées géographiques : une latitude et une longitude exprimées en degrés.
Dans le cas de la Terre :
  • Horizontalement, la Terre est découpée selon des lignes parallèles qui sont utilisées pour déterminer la latitude. Le parallèle de référence est lʼéquateur (0°). Verticalement, la Terre est découpée en quartiers par des méridiens qui sont utilisés pour déterminer la longitude. Le méridien de référence est le méridien qui passe par la ville de Greenwich en Angleterre (0°).
c415inf177-01
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Exercices n°  p. 336
Remarque : 
  • La latitude est comprise entre 0° et 90° Nord ou Sud.
  • La longitude est comprise entre 0° et 180° Est ou Ouest.

J'applique

Consigne : Quelles sont les coordonnées du point M  ?

Correction : M a pour coordonnées 40° Nord (latitude) et 70° Est (longitude).
c415inf1318-01
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C
Représentations de solides usuels et de sections planes

J'approfondis
Les solides usuels
SolidesPerspective cavalièreSection
Pavé droit
Pavé droit
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La section dʼun pavé droit par un plan parallèle à une face est un rectangle de même dimension que la face.
Pavé droit
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La section dʼun pavé droit par un plan parallèle à une arête est un rectangle dont lʼune des dimensions est la longueur de cette arête.
Pavé droit
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Cylindre
Cylindre
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La section dʼun cylindre par un plan parallèle à sa base est un cercle de même rayon que la base.
Cylindre
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La section dʼun cylindre par un plan perpendiculaire à sa base est un rectangle dont une des dimensions est la hauteur du cylindre.
Cylindre
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Cône de révolution
Cône de révolution
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La section dʼun cône par un plan parallèle à sa base est une réduction de sa base, donc un cercle.
Cône de révolution
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Pyramide
Pyramide
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La section dʼune pyramide par un plan parallèle à sa base est une réduction de celle-ci, cʼest-à-dire de même forme que la base (les deux bases sont dites homothétiques).
Pyramide
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Sphère
c415inf1319m-01
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La section dʼune sphère par un plan est un cercle.
Sphère
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Exercices n°  p. 337

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