Mathématiques Cycle 4
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Thème 1 : Nombres et calculs
Ch. 1
Arithmétique
Ch. 2
Nombres relatifs
Ch. 3
Nombres fractionnaires
Ch. 4
Calcul littéral
Ch. 5
Équations et inéquations
Ch. 6
Proportionnalité
Ch. 7
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Thème 2 : Organisation et gestion de données
Ch. 8
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Ch. 9
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Ch. 10
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Thème 3 : Grandeurs et mesures
Ch. 11
Grandeurs et mesures
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Ch. 12
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Ch. 13
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Ch. 14
Angles et droites parallèles
Ch. 15
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Théorème de pythagore
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Agrandissements - réductions
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Trigonométrie
Annexes
Livret algorithmique et programmation
Pistes EPI
Dossier brevet
Chapitre 13

Problèmes résolus

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Symétriques et médiatrices.

Je structure mon raisonnement
Je fais appel à mes connaissances pour comprendre et résoudre un problème

ABC est un triangle rectangle et isocèle en B. On construit le symétrique de ABC par rapport à la droite (AC). Le symétrique du point B est appelé B'. Puis on place le point D à lʼintersection du segment [AC] et du segment [BB'].
carré ABCB' où ses diagonales se coupent en D. On sait que AD = DC = BD = DB' et AB' = B'C = CB = BA
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Tracer la figure est très utile pour se représenter le problème et trouver la solution.Pensez à bien coder la figure pour synthétiser toutes les données.
Aide
Montrez que (AD) est une médiatrice du triangle ABB'.
Méthode 1
Pour démontrer des propriétés de figures de géométrie plane, il peut être efficace dʼutiliser des propriétés de la symétrie axiale.

B' est le symétrique de B par rapport à (AC), donc (AC) est la médiatrice de [BB'].
D appartient à (AC) donc (AD) et (AC) sont confondues. Donc (AD) est aussi la médiatrice de [BB']. (AD) est donc une médiatrice de ABB'.
Corrigé 1
Méthode 2
Il est également possible de repérer les figures particulières et dʼutiliser leurs propriétés pour résoudre le problème.

  • ABC est un triangle isocèle et rectangle en B, donc AB = BC. La symétrie axiale conserve les longueurs, donc AB = BC = AB' = B'C, donc ABCB' est un losange.
  • On sait que lʼangle est droit, puisque ABC est rectangle en B.
    ABCB' est donc un losange avec un angle droit, cʼest donc un carré.
  • Or les diagonales dʼun carré se coupent perpendiculairement et en leur milieu. Donc D est le milieu de [BB'] et [BB'] est perpendiculaire à [AD].
On en déduit donc que (AD) coupe [BB'] en son milieu et perpendiculairement, cʼest donc la médiatrice de [BB'].
Donc (AD) une médiatrice de ABB'.
Corrigé 2

31
Problème similaire
Triangle équilatéral et symétrique.

ABC est un triangle équilatéral. D est le symétrique de A par rapport à (BC). E est le point dʼintersection de (AD) et (BC).

Montrez que [BE] est une hauteur et une médiatrice du triangle ABD.

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