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Problèmes résolus
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Mathématiques - Problèmes résolus


Problèmes résolus




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Exercice 30 : Symétriques et médiatrices.

1
ABC est un triangle rectangle et isocèle en B. On construit le symétrique de ABC par rapport à la droite (AC). Le symétrique du point B est appelé B'. Puis on place le point D à lʼintersection du segment [AC] et du segment [BB']. Montrez que (AD) est une médiatrice du triangle ABB'.



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<stamp theme='maths-blue1'>Doc. 1</stamp>

Méthode 1

Pour démontrer des propriétés de figures de géométrie plane, il peut être efficace dʼutiliser des propriétés de la symétrie axiale.

Corrigé 1

B' est le symétrique de B par rapport à (AC), donc (AC) est la médiatrice de [BB'].
D appartient à (AC) donc (AD) et (AC) sont confondues. Donc (AD) est aussi la médiatrice de [BB']. (AD) est donc une médiatrice de ABB'.

Méthode 2

Il est également possible de repérer les figures particulières et dʼutiliser leurs propriétés pour résoudre le problème.

Corrigé 2

  • ABC est un triangle isocèle et rectangle en B, donc AB = BC. La symétrie axiale conserve les longueurs, donc AB = BC = AB' = B'C, donc ABCB' est un losange.
  • On sait que lʼangle est droit, puisque ABC est rectangle en B.
    ABCB' est donc un losange avec un angle droit, cʼest donc un carré.
  • Or les diagonales dʼun carré se coupent perpendiculairement et en leur milieu. Donc D est le milieu de [BB'] et [BB'] est perpendiculaire à [AD].
On en déduit donc que (AD) coupe [BB'] en son milieu et perpendiculairement, cʼest donc la médiatrice de [BB'].
Donc (AD) une médiatrice de ABB'.
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Exercice 31 : Triangle équilatéral et symétrique.

ABC est un triangle équilatéral. D est le symétrique de A par rapport à (BC). E est le point dʼintersection de (AD) et (BC).

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Montrez que [BE] est une hauteur et une médiatrice du triangle ABD.



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