Mathématiques Cycle 4
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Thème 1 : Nombres et calculs
Ch. 1
Arithmétique
Ch. 2
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Ch. 3
Nombres fractionnaires
Ch. 4
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Ch. 5
Équations et inéquations
Ch. 6
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Ch. 7
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Thème 3 : Grandeurs et mesures
Ch. 11
Grandeurs et mesures
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Ch. 12
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Ch. 13
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Ch. 14
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Ch. 15
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Théorème de pythagore
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Agrandissements - réductions
Ch. 18
Trigonométrie
Annexes
Livret algorithmique et programmation
Pistes EPI
Dossier brevet
Chapitre 13

Problèmes résolus

32
Triangles équilatéraux et semblables.

Je reconnais une situation de proportionnalité
Je représente des objets et des figures géométriques

ABC est un triangle équilatéral. D est le milieu du segment [AB].
Démontrez que ADC et CDB sont semblables.
Méthode 1
Pour démontrer que deux triangles sont semblables, il est possible de montrer que les angles de ces triangles ont les mêmes mesures.

Le zoom est accessible dans la version Premium.
  • ABC est équilatéral, donc tous ses angles mesurent . Donc C est équidistant de A et B. De plus, D est le milieu du segment [AB], il est donc lui aussi équidistant de A et B. Donc C et D appartiennent à la médiatrice de [AB].
  • Or la médiatrice est perpendiculaire à [AB], donc les triangles ADC et CDB sont rectangles en D. Ces deux triangles ont donc un angle droit et un angle qui mesure ( pour le triangle CDA et pour le triangle CDB).
  • Donc pour ces deux triangles, le troisième angle mesure . Les triangles CDB et ADC ont donc tous deux des angles valant , et , ils sont donc semblables.
Corrigé 1
Méthode 2
Pour démontrer que deux triangles sont semblables, il est possible de montrer que la longueur des côtés de lʼun est proportionnelle à celle des côtés de lʼautre.

ABC est équilatéral et D est le milieu de [AB]. Donc AC = BC et AD = BD. Les deux triangles CDB et ADC ont un côté en commun : [DC].
Les deux triangles ont des côtés de longueurs égales deux à deux, ils sont donc égaux. Et puisque des triangles égaux sont aussi semblables, CDB et ADC sont des triangles semblables.
Corrigé 2

33
Problème similaire
Symétrie centrale et triangles semblables.

Je choisis un cadre adapté (numérique, algébrique ou géométrique) pour traiter un problème

ABC est un triangle rectangle isocèle en A. D est le symétrique de B par rapport à A.
Montrez que ACD et ABC sont semblables.

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