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Problèmes résolus
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Mathématiques - Problèmes résolus


Problèmes résolus




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Exercice 32 : Triangles équilatéraux et semblables.

1
ABC est un triangle équilatéral. D est le milieu du segment [AB]. Démontrez que ADC et CDB sont semblables.

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Méthode 1

Pour démontrer que deux triangles sont semblables, il est possible de montrer que les angles de ces triangles ont les mêmes mesures.

Corrigé 1

  • ABC est équilatéral, donc tous ses angles mesurent . Donc C est équidistant de A et B. De plus, D est le milieu du segment [AB], il est donc lui aussi équidistant de A et B. Donc C et D appartiennent à la médiatrice de [AB].
  • Or la médiatrice est perpendiculaire à [AB], donc les triangles ADC et CDB sont rectangles en D. Ces deux triangles ont donc un angle droit et un angle qui mesure ( pour le triangle CDA et pour le triangle CDB).
  • Donc pour ces deux triangles, le troisième angle mesure . Les triangles CDB et ADC ont donc tous deux des angles valant , et , ils sont donc semblables.

Méthode 2

Pour démontrer que deux triangles sont semblables, il est possible de montrer que la longueur des côtés de lʼun est proportionnelle à celle des côtés de lʼautre.

Corrigé 2

ABC est équilatéral et D est le milieu de [AB]. Donc AC = BC et AD = BD. Les deux triangles CDB et ADC ont un côté en commun : [DC].
Les deux triangles ont des côtés de longueurs égales deux à deux, ils sont donc égaux. Et puisque des triangles égaux sont aussi semblables, CDB et ADC sont des triangles semblables.
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Exercice 33 : Symétrie centrale et triangles semblables.

ABC est un triangle rectangle isocèle en A. D est le symétrique de B par rapport à A.

1
Montrez que ACD et ABC sont semblables.



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