L'abscisse du point M est -4\text{,}5, il est à gauche de 0 donc -4\text{,}5~\text{\textless}~0.
Le point N d'abscisse -2 est à droite de M donc -2 > -4\text{,}5.

Définition

On écrit un nombre relatif avec un signe (+ : signe positif ; – : signe négatif) et un nombre appelé « distance à zéro ». Quand le signe nʼest pas mentionné, il sʼagit du signe « + ».

Signe négatif \to \undergroup {-}~\undergroup {5,2} \gets Distance à zero

Absence de signe, donc positif \to \undergroup {}~\undergroup {3} \gets Distance à zero

Exercices n°1 à 3
p. 38

Exemple :
-7\text{,}8 est un nombre relatif :

il est négatif (signe « − ») ;
sa distance à zéro est 7\text{,}8.
-\dfrac{1}{3} est également un nombre négatif ; sa distance à zéro est \dfrac{1}{3}.

Définition

Lʼopposé dʼun nombre est le nombre de signe contraire qui est à la même distance de zéro.

Exercices n°3 à 32
p. 38 et 41

Exemple :

Diagramme: droite graduée avec points A(3,2) et B(-3,2)

-3\text{,}2 est lʼopposé de 3\text{,}2.
3\text{,}2 est lʼopposé de -3\text{,}2.

Remarques :

Lʼopposé de zéro est zéro.
Sur une droite graduée, deux points dʼabscisses opposées sont symétriques par rapport à lʼorigine du repère.

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2
Se repérer avec les nombres relatifs

Repérage

Pour construire un repère orthonormé du plan :

On trace deux axes perpendiculaires :

Un axe (Ox), souvent horizontal, orienté vers la droite. Cʼest lʼaxe des abscisses.
Un axe (Oy), souvent vertical, orienté vers le haut. Cʼest lʼaxe des ordonnées.
Lʼintersection de ces deux axes est lʼorigine du repère, quʼon appelle généralement O.

On définit une unité. On place un point I sur lʼaxe des abscisses et un point J sur lʼaxe des ordonnées afin de définir lʼunité de longueur OI = OJ = 1. Ce repère est noté le repère (O, I, J).

Pour placer un point dans un repère, on utilise 2 nombres : lʼabscisse et lʼordonnée. Si un point A a pour abscisse le nombre a et pour ordonnée le nombre b, on le note A(a ; b).

Exercices n°4 à 6
p. 38 et 39

Exemple :
Le point A(3 ; -2) a pour abscisse 3 et pour ordonnée -2.

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3
Comparer des nombres relatifs

Définition

Comparer deux nombres, cʼest dire si lʼun est strictement inférieur ou supérieur à lʼautre, ou sʼils sont égaux.

Exercices n°4 à 6
p. 38 et 39

Méthode

Ces règles de comparaison sont toujours vraies :

Les nombres positifs sont plus grands que les nombres négatifs.
Parmi les nombres positifs, le plus grand est celui qui est à la plus grande distance de zéro.
Parmi les nombres négatifs, le plus grand est celui qui est à la plus petite distance de zéro.
De manière générale, sur une droite graduée orientée vers la droite, le nombre le plus petit est toujours celui qui est le plus à gauche, et le plus grand le plus à droite.

Exercices n°7 à 12
p. 39

Exemple :

Pour comparer ces nombres, on lit de gauche à droite sur la droite orientée. On a donc
-2~\text{,}5~\text{\textless}-1~\text{\textless}~0~\text{\textless}~1~\text{\textless}~3\text{,}2.

Diagramme: droite numérique avec les nombres -2,5; -1; 0; 1; 3,2

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B
Addition et soustraction

Je découvre

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1
Définitions

Méthode

Pour additionner deux nombres relatifs, on procède ainsi :

si les deux nombres sont de même signe, alors on conserve le signe commun et on additionne les distances à zéro ;
si les deux nombres sont de signes opposés, alors on prend le signe de celui qui a la plus grande distance à zéro et on soustrait les distances à zéro.

Exercices n°13 à 33
p. 39 et 41

J'applique

Consigne :
Additionnez (-3) et (-8).

Correction :

Le signe commun est « - », donc la somme sera un nombre négatif.
3 + 8 = 11, donc la distance à zéro sera égale à 11.
On place devant la distance à zéro obtenue le signe déterminé précédemment.
Donc (-8) + (-3) = (-11).

Consigne :
Effectuez lʼaddition de 3 et (-7).

Correction :

Les deux distances à zéro sont 3 et 7.
Le nombre qui est à la plus grande distance à zéro est −7, dont le signe est « − ».
La somme obtenue sera donc un nombre négatif.
7 - 3 = 4, donc la distance à zéro sera égale à 4.
On place devant la distance à zéro obtenue le signe déterminé précédemment.
Donc 3 + (-7) = -4.

Remarque : Lʼaddition dʼun nombre et de son opposé donne toujours 0

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2
Soustraction

Méthode

Soustraire un nombre relatif, cʼest additionner son opposé.
a - (-b) = a + (+b) = a + b et a - b = a - (+b) = a + (-b).

Exercices n°13 à 33
p. 39 et 41

J'applique

Consigne :
Faites la soustraction de (-2) par (-7).

Correction :

On veut calculer -2 - (-7).
Lʼopposé de (-7) est +7.
Donc -2 - (-7) = -2 + (+7)
= -2 + 7
= 7 - 2
= 5

Remarques :

Lʼaddition est commutative, cʼest-à-dire que lʼon peut additionner dans lʼordre que lʼon veut :
a + b = b + a.
(-3) + 5 = 5 + (-3)
La soustraction nʼest pas commutative :
a - b \neq b - a.
7 - 3 = 4
3 - 7 = -4
7 - 3 \neq 3 - 7
Enlever les signes « − », « + », et les parenthèses inutiles dʼune expression, cʼest simplifier son écriture.

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C
Multiplication et division

J'approfondis

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Propriété

La règle des signes : le signe dʼun produit de nombres relatifs dépend du nombre de facteurs négatifs.

Si le nombre de facteurs négatifs est pair, alors le produit est positif.
Si le nombre de facteurs négatifs est impair, alors le produit est négatif.

Pour obtenir le signe du résultat dʼune division, on applique la même règle que pour la multiplication.

Exercices n°34 à 49
p. 41 et 43

J'applique

Consigne :
Quel est le résultat de la multiplication suivante ?
(-1) \times (-4) \times 2 \times (-0 \text{,} 5) \times (-7)

Correction :
Il y a quatre signes « − ». Puisquʼil y a un nombre pair de nombres négatifs, le résultat est donc positif :
(-1) \times (-4) \times 2 \times (-0 \text{,} 5) \times (-7) = 1 \times 4 \times 2 \times 0 \text{,} 5 \times 7 = 28

Aide

Le produit de deux nombres relatifs de même signe est positif.
Le produit de deux nombres relatifs de signes contraires est négatif.

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Mathématiques Cycle 4

Nombres relatifs

ANombres relatifs et repérage

1 Définitions

2 Se repérer avec les nombres relatifs

3 Comparer des nombres relatifs

BAddition et soustraction

1 Définitions

J'applique

2 Soustraction

J'applique

C Multiplication et division

J'applique

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A
Nombres relatifs et repérage

1
Définitions

2
Se repérer avec les nombres relatifs

3
Comparer des nombres relatifs

B
Addition et soustraction

1
Définitions

2
Soustraction

C
Multiplication et division