Mathématiques Cycle 4
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Thème 1 : Nombres et calculs
Ch. 1
Arithmétique
Ch. 2
Nombres relatifs
Ch. 3
Nombres fractionnaires
Ch. 4
Calcul littéral
Ch. 5
Équations et inéquations
Ch. 6
Proportionnalité
Ch. 7
Puissances
Thème 2 : Organisation et gestion de données
Ch. 8
Statistiques
Ch. 9
Probabilités
Ch. 10
Fonctions
Thème 3 : Grandeurs et mesures
Ch. 11
Grandeurs et mesures
Thème 4 : Espace et géométrie
Ch. 12
Transformations dans le plan
Ch. 13
Triangles
Ch. 14
Angles et droites parallèles
Ch. 15
Géometrie dans l'espace
Ch. 16
Théorème de pythagore
Ch. 17
Agrandissements - réductions
Ch. 18
Trigonométrie
Annexes
Livret algorithmique et programmation
Pistes EPI
Dossier brevet
Chapitre 2
J'apprends

Nombres relatifs

A
Nombres relatifs et repérage

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1
Définitions

Repérage
Sur une droite graduée orientée, on représente les nombres positifs à droite de zéro et négatifs à gauche de zéro.

Droite graduée
Le zoom est accessible dans la version Premium.
Exercices n° p. 38
Remarques : 
  • Le nombre zéro est à la fois de signe positif et négatif.
  • Chaque point sur la droite graduée est associé à un nombre appelé « abscisse » de ce point.

Exemple :
Droite graduée
Le zoom est accessible dans la version Premium.
  • L'abscisse du point M est , il est à gauche de donc .
  • Le point N d'abscisse est à droite de M donc .

Définition
On écrit un nombre relatif avec un signe (+ : signe positif ; – : signe négatif) et un nombre appelé « distance à zéro ». Quand le signe nʼest pas mentionné, il sʼagit du signe « + ».

Signe négatif Distance à zero

Absence de signe, donc positif Distance à zero

Exercices n° p. 38

Exemple :
est un nombre relatif :
  • il est négatif (signe « − ») ;
  • sa distance à zéro est .
  •  est également un nombre négatif ; sa distance à zéro est .

Définition
Lʼopposé dʼun nombre est le nombre de signe contraire qui est à la même distance de zéro.

Exercices n° p. 38 et 41

Exemple :
Droite graduée
Le zoom est accessible dans la version Premium.


est lʼopposé de .
est lʼopposé de .

Remarques : 
  • Lʼopposé de zéro est zéro.
  • Sur une droite graduée, deux points dʼabscisses opposées sont symétriques par rapport à lʼorigine du repère.

2
Se repérer avec les nombres relatifs 

Repérage
Pour construire un repère orthonormé du plan :
  • On trace deux axes perpendiculaires :
    • Un axe (Ox), souvent horizontal, orienté vers la droite. Cʼest lʼaxe des abscisses.
    • Un axe (Oy), souvent vertical, orienté vers le haut. Cʼest lʼaxe des ordonnées.
    • Lʼintersection de ces deux axes est lʼorigine du repère, quʼon appelle généralement O.

  • On définit une unité. On place un point I sur lʼaxe des abscisses et un point J sur lʼaxe des ordonnées afin de définir lʼunité de longueur OI = OJ = 1. Ce repère est noté le repère (O, I, J).
Pour placer un point dans un repère, on utilise nombres : lʼabscisse et lʼordonnée. Si un point A a pour abscisse le nombre  et pour ordonnée le nombre , on le note A.
Repère orthonorm�é
Le zoom est accessible dans la version Premium.
Repère orthonormé
Le zoom est accessible dans la version Premium.

Exercices n° p. 38 et 39
Exemple :
Le point A a pour abscisse 3 et pour ordonnée -2.

3
 Comparer des nombres relatifs

Définition
Comparer deux nombres, cʼest dire si lʼun est strictement inférieur ou supérieur à lʼautre, ou sʼils sont égaux.
Exercices n° p. 38 et 39

Méthode
Ces règles de comparaison sont toujours vraies :
  • Les nombres positifs sont plus grands que les nombres négatifs.
  • Parmi les nombres positifs, le plus grand est celui qui est à la plus grande distance de zéro.
  • Parmi les nombres négatifs, le plus grand est celui qui est à la plus petite distance de zéro.
  • De manière générale, sur une droite graduée orientée vers la droite, le nombre le plus petit est toujours celui qui est le plus à gauche, et le plus grand le plus à droite.

Exercices n° p. 39
Exemple :
Pour comparer ces nombres, on lit de gauche à droite sur la droite orientée. On a donc
.
Le zoom est accessible dans la version Premium.

B
Addition et soustraction

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1
Définitions

Méthode
Pour additionner deux nombres relatifs, on procède ainsi :
  • si les deux nombres sont de même signe, alors on conserve le signe commun et on additionne les distances à zéro ;
  • si les deux nombres sont de signes opposés, alors on prend le signe de celui qui a la plus grande distance à zéro et on soustrait les distances à zéro.

Exercices n° p. 39 et 41

J'applique

Consigne :
Additionnez et .

Correction :
  • Le signe commun est « », donc la somme sera un nombre négatif.
  • , donc la distance à zéro sera égale à 11.
  • On place devant la distance à zéro obtenue le signe déterminé précédemment.
    Donc .
Consigne :
Effectuez lʼaddition de et .

Correction :
  • Les deux distances à zéro sont 3 et 7.
    Le nombre qui est à la plus grande distance à zéro est −7, dont le signe est « − ».
    La somme obtenue sera donc un nombre négatif.
  • , donc la distance à zéro sera égale à 4.
  • On place devant la distance à zéro obtenue le signe déterminé précédemment.
    Donc .
Remarque : Lʼaddition dʼun nombre et de son opposé donne toujours

2
Soustraction

Méthode
Soustraire un nombre relatif, cʼest additionner son opposé.
et .

Exercices n° p. 39 et 41

J'applique

Consigne :
Faites la soustraction de par .

Correction :
  • On veut calculer .
  • Lʼopposé de est .
    Donc
        
        
        

Remarques : 
  • Lʼaddition est commutative, cʼest-à-dire que lʼon peut additionner dans lʼordre que lʼon veut :
    .
  • La soustraction nʼest pas commutative :
    .


  • Enlever les signes « − », « + », et les parenthèses inutiles dʼune expression, cʼest simplifier son écriture.

C
Multiplication et division

J'approfondis
Propriété
La règle des signes : le signe dʼun produit de nombres relatifs dépend du nombre de facteurs négatifs.
  • Si le nombre de facteurs négatifs est pair, alors le produit est positif.
  • Si le nombre de facteurs négatifs est impair, alors le produit est négatif.
Pour obtenir le signe du résultat dʼune division, on applique la même règle que pour la multiplication.

Exercices n° p. 41 et 43

J'applique

Consigne :
Quel est le résultat de la multiplication suivante ?


Correction :
Il y a quatre signes « − ». Puisquʼil y a un nombre pair de nombres négatifs, le résultat est donc positif :


Le produit de deux nombres relatifs de même signe est positif.
Le produit de deux nombres relatifs de signes contraires est négatif.
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