1. Définitions

  Repérage
Sur une droite graduée orientée, on représente les nombres positifs à droite de zéro et négatifs à gauche de zéro.
Remarques :

• Le nombre zéro est à la fois de signe positif et négatif.
• Chaque point sur la droite graduée est associé à un nombre appelé « abscisse » de ce point.

Exemple :

• L'abscisse du point M est $-4\text{,}5$, il est à gauche de $0$ donc $-4\text{,}5<0$.
• Le point N d'abscisse $-2$ est à droite de M donc $-2>-4\text{,}5$.

  Définition
On écrit un nombre relatif avec un signe (+ : signe positif ; – : signe négatif) et un nombre appelé « distance à zéro ». Quand le signe nʼest pas mentionné, il sʼagit du signe « + ».
Exemple :
$-7\text{,}8$ est un nombre relatif :

• il est négatif (signe « − ») ;
• sa distance à zéro est $7\text{,}8$.
• $-\frac{1}{3}$ est également un nombre négatif ; sa distance à zéro est $\frac{1}{3}$.

  Définition
Lʼopposé dʼun nombre est le nombre de signe contraire qui est à la même distance de zéro.
Exemple : $-3\text{,}2$ est lʼopposé de $3\text{,}2$.
$3\text{,}2$ est lʼopposé de $-3\text{,}2$.

Remarques : 

• Lʼopposé de zéro est zéro.
• Sur une droite graduée, deux points dʼabscisses opposées sont symétriques par rapport à lʼorigine du repère.

2. Se repérer avec les nombres relatifs 

  Repérage
Pour construire un repère orthonormé du plan :

• On trace deux axes perpendiculaires :
• Un axe (Ox), souvent horizontal, orienté vers la droite. Cʼest lʼaxe des abscisses.
• Un axe (Oy), souvent vertical, orienté vers le haut. Cʼest lʼaxe des ordonnées.
• Lʼintersection de ces deux axes est lʼorigine du repère, quʼon appelle généralement O.

• On définit une unité. On place un point I sur lʼaxe des abscisses et un point J sur lʼaxe des ordonnées afin de définir lʼunité de longueur OI = OJ = 1. Ce repère est noté le repère (O, I, J).

Pour placer un point dans un repère, on utilise $2$ nombres : lʼabscisse et lʼordonnée. Si un point A a pour abscisse le nombre $a$ et pour ordonnée le nombre $b$, on le note A$(a;b)$.

Exemple :
Le point A$(3;-2)$ a pour abscisse 3 et pour ordonnée -2.

3. Comparer des nombres relatifs

  Définition
Comparer deux nombres, cʼest dire si lʼun est strictement inférieur ou supérieur à lʼautre, ou sʼils sont égaux.

  Méthode
Ces règles de comparaison sont toujours vraies :

• Les nombres positifs sont plus grands que les nombres négatifs.
• Parmi les nombres positifs, le plus grand est celui qui est à la plus grande distance de zéro.
• Parmi les nombres négatifs, le plus grand est celui qui est à la plus petite distance de zéro.
• De manière générale, sur une droite graduée orientée vers la droite, le nombre le plus petit est toujours celui qui est le plus à gauche, et le plus grand le plus à droite.

Exemple :
Pour comparer ces nombres, on lit de gauche à droite sur la droite orientée. On a donc $-2\text{,}5<-1<0<1<3\text{,}2$.

1. Addition

  Méthode
Pour additionner deux nombres relatifs, on procède ainsi :

• si les deux nombres sont de même signe, alors on conserve le signe commun et on additionne les distances à zéro ;
• si les deux nombres sont de signes opposés, alors on prend le signe de celui qui a la plus grande distance à zéro et on soustrait les distances à zéro.

  J'applique :
Consigne :
Additionnez $(-3)$ et $(-8)$.
Correction :

• Le signe commun est « $-$ », donc la somme sera un nombre négatif.
• $3+8=11$, donc la distance à zéro sera égale à 11.
• On place devant la distance à zéro obtenue le signe déterminé précédemment.
  Donc $(-8)+(-3)=(-11)$.

Consigne :
Effectuez lʼaddition de $3$ et $(-7)$.
Correction :

• Les deux distances à zéro sont 3 et 7.
  Le nombre qui est à la plus grande distance à zéro est −7, dont le signe est « − ».
  La somme obtenue sera donc un nombre négatif.
• $7-3=4$, donc la distance à zéro sera égale à 4.
• On place devant la distance à zéro obtenue le signe déterminé précédemment.
  Donc $3+(-7)=-4$.

Remarque : Lʼaddition dʼun nombre et de son opposé donne toujours $0$

2. Soustraction

  Méthode
Soustraire un nombre relatif, cʼest additionner son opposé.
$a-(-b)=a+(+b)=a+b$ et $a-b=a-(+b)=a+(-b)$.

  J'applique :
Consigne :
Faites la soustraction de $(-2)$ par $(-7)$.
Correction :

• On veut calculer $-2-(-7)$.
• Lʼopposé de $(-7)$ est $+7$.
  Donc $-2-(-7)=-2+(+7)$
      $=-2+7$
      $=7-2$
      $=5$

Remarques :

• Lʼaddition est commutative, cʼest-à-dire que lʼon peut additionner dans lʼordre que lʼon veut : $a+b=b+a$.
  $(-3)+5=5+(-3)$
• La soustraction nʼest pas commutative : $a-b\ne b-a$.
  $7-3=4$
  $3-7=-4$
  $7-3\ne 3-7$
• Enlever les signes « − », « + », et les parenthèses inutiles dʼune expression, cʼest simplifier son écriture.

Propriété

La règle des signes : le signe dʼun produit de nombres relatifs dépend du nombre de facteurs négatifs.

• Si le nombre de facteurs négatifs est pair, alors le produit est positif.
• Si le nombre de facteurs négatifs est impair, alors le produit est négatif.

Pour obtenir le signe du résultat dʼune division, on applique la même règle que pour la multiplication.

  J'applique :

Consigne :
Quel est le résultat de la multiplication suivante ?
$(-1)\times (-4)\times 2\times (-0\text{,}5)\times (-7)$
Correction :
Il y a quatre signes « − ». Puisquʼil y a un nombre pair de nombres négatifs, le résultat est donc positif :
$(-1)\times (-4)\times 2\times (-0\text{,}5)\times (-7)=1\times 4\times 2\times 0\text{,}5\times 7$
                      $=28$

Le produit de deux nombres relatifs de même signe est positif.
Le produit de deux nombres relatifs de signes contraires est négatif.