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J'apprends
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Mathématiques - J'apprends


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A. Nombres relatifs et repérage


1. Définitions

 Repérage
Sur une droite graduée orientée, on représente les nombres positifs à droite de zéro et négatifs à gauche de zéro.
Remarques :
  • Le nombre zéro est à la fois de signe positif et négatif.
  • Chaque point sur la droite graduée est associé à un nombre appelé « abscisse » de ce point.

Exemple :

  • L'abscisse du point M est , il est à gauche de donc .
  • Le point N d'abscisse est à droite de M donc .

  Définition
On écrit un nombre relatif avec un signe (+ : signe positif ; – : signe négatif) et un nombre appelé « distance à zéro ». Quand le signe nʼest pas mentionné, il sʼagit du signe « + ».
Exemple :
est un nombre relatif :
  • il est négatif (signe « − ») ;
  • sa distance à zéro est .
  •  est également un nombre négatif ; sa distance à zéro est .

 Définition
Lʼopposé
dʼun nombre est le nombre de signe contraire qui est à la même distance de zéro.
Exemple : est lʼopposé de .
est lʼopposé de .

Remarques : 
  • Lʼopposé de zéro est zéro.
  • Sur une droite graduée, deux points dʼabscisses opposées sont symétriques par rapport à lʼorigine du repère.

2. Se repérer avec les nombres relatifs 

  Repérage
Pour construire un repère orthonormé du plan :
  • On trace deux axes perpendiculaires :
    • Un axe (Ox), souvent horizontal, orienté vers la droite. Cʼest lʼaxe des abscisses.
    • Un axe (Oy), souvent vertical, orienté vers le haut. Cʼest lʼaxe des ordonnées.
    • Lʼintersection de ces deux axes est lʼorigine du repère, quʼon appelle généralement O.

  • On définit une unité. On place un point I sur lʼaxe des abscisses et un point J sur lʼaxe des ordonnées afin de définir lʼunité de longueur OI = OJ = 1. Ce repère est noté le repère (O, I, J).
Pour placer un point dans un repère, on utilise nombres : lʼabscisse et lʼordonnée. Si un point A a pour abscisse le nombre  et pour ordonnée le nombre , on le note A.

Exemple :

Le point A a pour abscisse 3 et pour ordonnée -2.

3. Comparer des nombres relatifs

  Définition
Comparer deux nombres, cʼest dire si lʼun est strictement inférieur ou supérieur à lʼautre, ou sʼils sont égaux.

  Méthode
Ces règles de comparaison sont toujours vraies :
  • Les nombres positifs sont plus grands que les nombres négatifs.
  • Parmi les nombres positifs, le plus grand est celui qui est à la plus grande distance de zéro.
  • Parmi les nombres négatifs, le plus grand est celui qui est à la plus petite distance de zéro.
  • De manière générale, sur une droite graduée orientée vers la droite, le nombre le plus petit est toujours celui qui est le plus à gauche, et le plus grand le plus à droite.

Exemple :
Pour comparer ces nombres, on lit de gauche à droite sur la droite orientée. On a donc .

B. Addition et soustraction


1. Addition

  Méthode
Pour additionner deux nombres relatifs, on procède ainsi :
  • si les deux nombres sont de même signe, alors on conserve le signe commun et on additionne les distances à zéro ;
  • si les deux nombres sont de signes opposés, alors on prend le signe de celui qui a la plus grande distance à zéro et on soustrait les distances à zéro.
  J'applique :
Consigne :
Additionnez et .
Correction :
  • Le signe commun est « », donc la somme sera un nombre négatif.
  • , donc la distance à zéro sera égale à 11.
  • On place devant la distance à zéro obtenue le signe déterminé précédemment.
    Donc .

Consigne :
Effectuez lʼaddition de et .
Correction :
  • Les deux distances à zéro sont 3 et 7.
    Le nombre qui est à la plus grande distance à zéro est −7, dont le signe est « − ».
    La somme obtenue sera donc un nombre négatif.
  • , donc la distance à zéro sera égale à 4.
  • On place devant la distance à zéro obtenue le signe déterminé précédemment.
    Donc .

Remarque : Lʼaddition dʼun nombre et de son opposé donne toujours

2. Soustraction

  Méthode
Soustraire un nombre relatif, cʼest additionner son opposé.
et .

  J'applique :
Consigne :
Faites la soustraction de par .
Correction :
  • On veut calculer .
  • Lʼopposé de est .
    Donc
        
        
        

Remarques :
  • Lʼaddition est commutative, cʼest-à-dire que lʼon peut additionner dans lʼordre que lʼon veut : .
  • La soustraction nʼest pas commutative : .


  • Enlever les signes « − », « + », et les parenthèses inutiles dʼune expression, cʼest simplifier son écriture.

C. Multiplication et division


Propriété

La règle des signes : le signe dʼun produit de nombres relatifs dépend du nombre de facteurs négatifs.
  • Si le nombre de facteurs négatifs est pair, alors le produit est positif.
  • Si le nombre de facteurs négatifs est impair, alors le produit est négatif.
Pour obtenir le signe du résultat dʼune division, on applique la même règle que pour la multiplication.

  J'applique :

Consigne :
Quel est le résultat de la multiplication suivante ?

Correction :
Il y a quatre signes « − ». Puisquʼil y a un nombre pair de nombres négatifs, le résultat est donc positif :

                      

Le produit de deux nombres relatifs de même signe est positif.
Le produit de deux nombres relatifs de signes contraires est négatif.