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Dossier d'actualité
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Chapitre 2
J'apprends

Nombres relatifs

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A
Nombres relatifs et repérage

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1
Définitions

Repérage
Sur une droite graduée orientée, on représente les nombres positifs à droite de zéro et négatifs à gauche de zéro.

Droite graduée
Exercices n°
1 à 3
 p. 38
Remarques : 
  • Le nombre zéro est à la fois de signe positif et négatif.
  • Chaque point sur la droite graduée est associé à un nombre appelé « abscisse » de ce point.

Exemple :
Placeholder pour Diagramme: droite graduée de -5 à 5, points M=-4,5, N=-2, O=0Diagramme: droite graduée de -5 à 5, points M=-4,5, N=-2, O=0
  • L'abscisse du point M est -4\text{,}5, il est à gauche de 0 donc -4\text{,}5~\text{\textless}~0.
  • Le point N d'abscisse -2 est à droite de M donc -2 > -4\text{,}5.

Définition
On écrit un nombre relatif avec un signe (+ : signe positif ; – : signe négatif) et un nombre appelé « distance à zéro ». Quand le signe nʼest pas mentionné, il sʼagit du signe « + ».

Signe négatif \to \undergroup {-}~\undergroup {5,2} \gets Distance à zero

Absence de signe, donc positif \to \undergroup {}~\undergroup {3} \gets Distance à zero

Exercices n°
1 à 3
 p. 38

Exemple :
-7\text{,}8 est un nombre relatif :
  • il est négatif (signe « − ») ;
  • sa distance à zéro est 7\text{,}8.
  • -\dfrac{1}{3} est également un nombre négatif ; sa distance à zéro est \dfrac{1}{3}.

Définition
Lʼopposé dʼun nombre est le nombre de signe contraire qui est à la même distance de zéro.

Exercices n°
3 à 32
 p. 38 et 41

Exemple :
Placeholder pour Diagramme: droite graduée avec points A(3,2) et B(-3,2)Diagramme: droite graduée avec points A(3,2) et B(-3,2)


-3\text{,}2 est lʼopposé de 3\text{,}2.
3\text{,}2 est lʼopposé de -3\text{,}2.

Remarques : 
  • Lʼopposé de zéro est zéro.
  • Sur une droite graduée, deux points dʼabscisses opposées sont symétriques par rapport à lʼorigine du repère.
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2
Se repérer avec les nombres relatifs 

Repérage
Pour construire un repère orthonormé du plan :
  • On trace deux axes perpendiculaires :
    • Un axe (Ox), souvent horizontal, orienté vers la droite. Cʼest lʼaxe des abscisses.
    • Un axe (Oy), souvent vertical, orienté vers le haut. Cʼest lʼaxe des ordonnées.
    • Lʼintersection de ces deux axes est lʼorigine du repère, quʼon appelle généralement O.

  • On définit une unité. On place un point I sur lʼaxe des abscisses et un point J sur lʼaxe des ordonnées afin de définir lʼunité de longueur OI = OJ = 1. Ce repère est noté le repère (O, I, J).
Pour placer un point dans un repère, on utilise 2 nombres : lʼabscisse et lʼordonnée. Si un point A a pour abscisse le nombre a et pour ordonnée le nombre b, on le note A(a ; b).
Repère orthonormé
Repère orthonormé

Exercices n°
4 à 6
 p. 38 et 39
Exemple :
Le point A(3 ; -2) a pour abscisse 3 et pour ordonnée -2.
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3
 Comparer des nombres relatifs

Définition
Comparer deux nombres, cʼest dire si lʼun est strictement inférieur ou supérieur à lʼautre, ou sʼils sont égaux.
Exercices n°
4 à 6
 p. 38 et 39

Méthode
Ces règles de comparaison sont toujours vraies :
  • Les nombres positifs sont plus grands que les nombres négatifs.
  • Parmi les nombres positifs, le plus grand est celui qui est à la plus grande distance de zéro.
  • Parmi les nombres négatifs, le plus grand est celui qui est à la plus petite distance de zéro.
  • De manière générale, sur une droite graduée orientée vers la droite, le nombre le plus petit est toujours celui qui est le plus à gauche, et le plus grand le plus à droite.

Exercices n°
7 à 12
 p. 39
Exemple :
Pour comparer ces nombres, on lit de gauche à droite sur la droite orientée. On a donc
-2~\text{,}5~\text{\textless}-1~\text{\textless}~0~\text{\textless}~1~\text{\textless}~3\text{,}2.
Placeholder pour Diagramme: droite numérique avec les nombres -2,5; -1; 0; 1; 3,2Diagramme: droite numérique avec les nombres -2,5; -1; 0; 1; 3,2
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B
Addition et soustraction

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1
Définitions

Méthode
Pour additionner deux nombres relatifs, on procède ainsi :
  • si les deux nombres sont de même signe, alors on conserve le signe commun et on additionne les distances à zéro ;
  • si les deux nombres sont de signes opposés, alors on prend le signe de celui qui a la plus grande distance à zéro et on soustrait les distances à zéro.

Exercices n°
13 à 33
 p. 39 et 41
 

J'applique

Consigne :
Additionnez (-3) et (-8).

Correction :
  • Le signe commun est « - », donc la somme sera un nombre négatif.
  • 3 + 8 = 11, donc la distance à zéro sera égale à 11.
  • On place devant la distance à zéro obtenue le signe déterminé précédemment.
    Donc (-8) + (-3) = (-11).
Consigne :
Effectuez lʼaddition de 3 et (-7).

Correction :
  • Les deux distances à zéro sont 3 et 7.
    Le nombre qui est à la plus grande distance à zéro est −7, dont le signe est « − ».
    La somme obtenue sera donc un nombre négatif.
  • 7 - 3 = 4, donc la distance à zéro sera égale à 4.
  • On place devant la distance à zéro obtenue le signe déterminé précédemment.
    Donc 3 + (-7) = -4.
Remarque : Lʼaddition dʼun nombre et de son opposé donne toujours 0
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2
Soustraction

Méthode
Soustraire un nombre relatif, cʼest additionner son opposé.
a - (-b) = a + (+b) = a + b et a - b = a - (+b) = a + (-b).

Exercices n°
13 à 33
 p. 39 et 41

J'applique

Consigne :
Faites la soustraction de (-2) par (-7).

Correction :
  • On veut calculer -2 - (-7).
  • Lʼopposé de (-7) est +7.
    Donc -2 - (-7) = -2 + (+7)
        = -2 + 7
        = 7 - 2
        = 5

Remarques : 
  • Lʼaddition est commutative, cʼest-à-dire que lʼon peut additionner dans lʼordre que lʼon veut :
    a + b = b + a.
    (-3) + 5 = 5 + (-3)
  • La soustraction nʼest pas commutative :
    a - b \neq b - a.
    7 - 3 = 4
    3 - 7 = -4
    7 - 3 \neq 3 - 7
  • Enlever les signes « − », « + », et les parenthèses inutiles dʼune expression, cʼest simplifier son écriture.
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C
Multiplication et division

J'approfondis
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Propriété
La règle des signes : le signe dʼun produit de nombres relatifs dépend du nombre de facteurs négatifs.
  • Si le nombre de facteurs négatifs est pair, alors le produit est positif.
  • Si le nombre de facteurs négatifs est impair, alors le produit est négatif.
Pour obtenir le signe du résultat dʼune division, on applique la même règle que pour la multiplication.

Exercices n°
34 à 49
 p. 41 et 43

J'applique

Consigne :
Quel est le résultat de la multiplication suivante ?
(-1) \times (-4) \times 2 \times (-0 \text{,} 5) \times (-7)

Correction :
Il y a quatre signes « − ». Puisquʼil y a un nombre pair de nombres négatifs, le résultat est donc positif :
(-1) \times (-4) \times 2 \times (-0 \text{,} 5) \times (-7) = 1 \times 4 \times 2 \times 0 \text{,} 5 \times 7 = 28

Aide
Le produit de deux nombres relatifs de même signe est positif.
Le produit de deux nombres relatifs de signes contraires est négatif.
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