Je résous des problèmes

Exercice 48 : Dessinez, si cʼest possible...

1

une figure qui admet un centre de symétrie, mais pas d’axe de symétrie.

2

une figure qui admet au moins un axe de symétrie, mais pas de centre de symétrie.

3

une figure qui admet un centre de symétrie et au moins un axe de symétrie.

Exercice 49 : Un trapèze.

ABCD est le trapèze suivant.

1

Tracez O le milieu de [AD], E et F les symétriques de C et B par rapport à O.

2

Montrez que CBEF est un rectangle.

3

Calculez l’aire du trapèze ABCD.

Exercice 50 : Triangle, symétrique et carré.

ABC est un triangle isocèle en B, O est le milieu de [AC] et D le symétrique de B par rapport à O.

1

Montrez que ABCD est un losange.

2

Quelle hypothèse faut-il ajouter sur ABC pour que ABCD soit un carré ?

Exercice 51 : Constructions.

Tracez un triangle ABC quelconque, puis construisez dans l’ordre les points suivants : Le point D, symétrique de B par rapport à A ;  Le point E, symétrique de C par rapport à A ;  Le point F, symétrique de D par rapport à E ;  Le point G, symétrique de B par rapport à C.

1

Soit F' le symétrique de F par rapport à A. Montrez que F' appartient à (BC).

2

Montrez que C est le milieu de [BF'].

3

Déduisez-en que le point F' est confondu avec le point G.

4

Montrez alors que A est le milieu de [FG].

Exercice 52 : Paris-Lyon.

Le TGV Paris-Lyon roule en ligne droite pendant 2 h à la vitesse de 235 km/h.

1

Quelle est la distance parcourue par le TGV entre Paris et Lyon ?

2

Faites un schéma du parcours du train.

3

Le train, qui va de Paris vers Lyon, a subi une translation. Quels sont les paramètres (la droite, le sens, et la longueur) qui définissent cette translation ?

Exercice 53 : Trapèze et pavage.

ABCD est le trapèze ci-contre. On pose A' et B' les symétriques de A et B par rapport à (DC).

1

Tracez le polygone ABCB'A'D.

2

Peut-on paver un sol avec ce polygone ?

Exercice 54 : Images.

Tracez un segment [AB].

1

Tracez : Le point C, l’image de A par la rotation de centre B, d’angle 135°, dans le sens indirect ; Le point D, l’image de B par la rotation de centre C, d’angle 135°, dans le sens indirect ; Le point E, l’image de C par la rotation de centre D, d’angle 135°, dans le sens indirect ; Le point H, l’image de A par la translation qui envoie D vers E ; Le point G, l’image de H par la translation qui envoie C vers D ; Le point F, l’image de G par la translation qui envoie B vers C.

2

Montrez que [BF], [CG], [HD] et [AE] se coupent toutes en leur milieu, puis que ABEF est un parallélogramme.

3

Montrez que ABCDEFGH est un octogone régulier : un polygone à 8 côtés de même longueur.

4

I, J, K et L sont les points d’intersection des droites (AH) et (BC), (BC) et (ED), (ED) et (GF), (GF) et (AH). Montrez que IJKL est un carré.

Exercice 55 : Symétriques et longueurs.

[AB] est un segment de longueur $x$. On définit : le point C, l’image de B par la translation qui envoie A sur B  le point D, l’image de C par la translation qui envoie A sur B ;  le point E, l’image de D par la translation qui envoie A sur B ;  le point F, l’image de E par la translation qui envoie A sur B.

1

Que vaut la longueur AF ?

Exercice 56 : Pavons avec des translations.

Reproduisez la figure suivante en plusieurs exemplaires sur du papier. Découpez-les. Tentez de les mettre bout à bout pour recouvrir une partie d’une feuille.

1

Grâce à quelle(s) transformation(s) arrive-t-on à faire ce pavage ? Pourquoi ?

Exercice 57 : Cercle et rotation.

Tracez un cercle $C$ de centre O, de rayon 4 cm. Placez un point A sur le cercle et B le symétrique de O par rapport à A.

1

Tracez l’image de $C$ par la rotation de centre B, d’angle 60°, dans le sens direct.

2

Montrez que le cercle obtenu a le même rayon que $C$.

Exercice 58 : Rotations et translations.

Tracez un segment [AB] C l’image de B par la rotation de centre A, d’angle 90°, dans le sens indirect D l’image de A par la translation qui envoie B vers A E l’image de A par la translation qui envoie C vers A

1

Montrez que ABC est un rectangle isocèle en A.

2

Montrez que BCDE est un carré.

Exercice 59 : Cercle et translation.

1

Tracez un cercle de centre A et de rayon 3 cm. Placez B et C deux points sur le cercle.

2

Placez : D l’image de C par la translation qui envoie A vers B ; E l’image de D par la translation qui envoie C vers B ; F l’image de A par la translation qui envoie C vers B.

3

Montrez que ABDC est un losange.

4

Montrez que ADEF est un rectangle.

Exercice 60 : Lʼéolienne.

Les 3 pales d’une éolienne font environ 15 tours par minute, dans le sens indirect.

1

En combien de temps une pale fait-elle un tour complet ?

2

Sachant qu’une pale a une vitesse constante, de quel angle tourne la pale en une seconde ?

3

En combien de temps une pale arrive-t-elle à la position de la pale à sa gauche ?

Exercice 61 : Vers le Brevet (Métropole, 2003).

1

Sur un quadrilatère constitué de carrés, on a placé une droite $d$, trois points (nommés A, B et M) et une figure en forme de fanion (numérotée 1). 1. Construisez l’image de la figure 1 par la symétrie d’axe d. Numérotez 2 la figure obtenue. 2. Construisez l’image de la figure 1 par la rotation de centre M et d’angle 90° dans le sens des aiguilles d’une montre. Numérotez 3 la figure obtenue. 3. Construisez l’image de la figure 1 par la symétrie de centre A. Numérotez 4 la figure obtenue. 4. Construisez l’image de la figure 4 par la symétrie de centre B. Numérotez 5 la figure obtenue.

2

Par quelle transformation géométrique peut-on passer directement de la figure 1 à la figure 5 ? Précisez les éléments caractéristiques de cette transformation.

Exercice 62 : Image et rotation.

1

Reproduisez la figure ci-contre, et répétez quatre fois la rotation de centre O et d’angle 90° dans le sens indirect.

Exercice 63 : Une étoile.

1

Reproduisez la figure ci-contre, et répétez quatre fois la rotation de centre O et d’angle 90° dans le sens indirect.

Exercice 64 : Poupées russes.

1

Quel est (approximativement) le rapport de l’homothétie qui permet, à partir de la plus petite poupée russe, d’obtenir la plus grande ?

Exercice 65 : Au pays des merveilles.

Alice mesure environ 1,5 m. Elle trouve une bouteille, la boit et rapetisse, jusqu’à mesurer 25 cm.

1

Quel est le rapport de l’homothétie effective ?

Exercice 66 : Est-il possible que...

1

Vénus soit l’image de Mercure par une homothétie de centre le Soleil ? Si c’est le cas, quel serait le rapport ?

2

La Terre soit l’image de Vénus par une homothétie de centre le Soleil ? Si c’est le cas, quel serait le rapport ?

3

Mercure soit l’image de la Terre par une homothétie de centre le Soleil ? Si c’est le cas, quel serait le rapport ?

Exercice 67 : Homothétie.

1

Tracez un triangle ABC et son image AB'C' par l’homothétie de centre A et de rapport -2.

2

Montrez que $\dfrac{\text{AB}}{\text{AB'}} = \dfrac{\text{AC}}{\text{AC'}} = \dfrac{1}{2}$

Exercice 68 : Homothéties et longueurs.

[AB] est un segment de longueur $x$. Le point C est l’image de B par l’homothétie de centre A et de rapport -2.  Le point D est l’image de C par l’homothétie de centre A et de rapport -2.  Le point E est l’image de D par l’homothétie de centre A et de rapport -2.  Le point F est l’image de E par l’homothétie de centre A et de rapport -2.

1

Que vaut la longueur AF ?

Exercice 69 : Agrandissement dʼune image.

Julie a une image sur son ordinateur, mais un peu petite. Elle souhaite l’agrandir. On sait que les pixels de son ordinateur ont une taille de 0,28 mm par 0,28 mm. Elle ne veut pas que l’on voit les pixels de sa photo sur l’image finale.

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De combien peut-elle agrandir l’image, sachant que l’œil ne remarque les détails que s’ils mesurent 1 mm par 1 mm ?

Exercice 70 : Récolte de lʼeau de pluie.

Une cuve cylindrique a un rayon de 10 cm et une hauteur de 20 cm.

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Quel volume d’eau peut-elle contenir ? (en L)

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José décide de cultiver un potager, et a donc besoin d’une cuve qui contient 1 000 L. Quel est le rapport de l’homothétie pour passer de la petite cuve à la grande ?

Exercice 71 : Cube.

ABCDEFGH est un cube d’arête 3 dm.

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Dessinez le cube et son image par l’homothétie de centre A et de rapport $\dfrac{1}{3}$

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Sachant qu’une bouteille d’eau contient 1 L, combien de bouteilles peut-on vider dans le petit cube ?

Tâche complexe : Ombres chinoises.

Deux enfants se font un théâtre dʼombres chinoises grâce à une lampe torche très puissante. Lʼun dʼeux a construit un bateau en papier et sʼamuse à projeter son ombre sur un mur.

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Quelle superficie a l’ombre du bateau en papier sur le mur ?

L’enfant tenant le bateau se trouve à 50 cm de la lampe torche et à 4 m du mur sur lequel sont projetées les ombres chinoises. L’ombre sur le mur peut être assimilée à une homothétie du bateau en papier dont le centre est la lampe torche.