Mathématiques Cycle 4

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Thème 1 : Nombres et calculs

Ch. 1

Arithmétique

Ch. 2

Nombres relatifs

Ch. 3

Nombres fractionnaires

Ch. 4

Calcul littéral

Ch. 5

Équations et inéquations

Ch. 6

Proportionnalité

Ch. 7

Puissances

Thème 2 : Organisation et gestion de données

Ch. 8

Statistiques

Ch. 9

Probabilités

Ch. 10

Fonctions

Thème 3 : Grandeurs et mesures

Ch. 11

Grandeurs et mesures

Thème 4 : Espace et géométrie

Ch. 12

Transformations dans le plan

Ch. 13

Triangles

Ch. 14

Angles et droites parallèles

Ch. 15

Géometrie dans l'espace

Ch. 16

Théorème de pythagore

Ch. 17

Agrandissements - réductions

Ch. 18

Trigonométrie

Annexes

Livret algorithmique et programmation

Pistes EPI

Dossier brevet

Chapitre 12

Exercices

Je résous des problèmes

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48
Dessinez, si cʼest possible...

1. une figure qui admet un centre de symétrie, mais pas d'axe de symétrie.

Dessinez ici

2. une figure qui admet au moins un axe de symétrie, mais pas de centre de symétrie.

Dessinez ici

3. une figure qui admet un centre de symétrie et au moins un axe de symétrie.

Dessinez ici

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49
Un trapèze.

ABCD est le trapèze suivant.

Dessinez ici

1. Tracez O le milieu de [AD], E et F les symétriques de C et B par rapport à O.

2. Montrez que CBEF est un rectangle.

3. Calculez l'aire du trapèze ABCD.

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50
Savoir refaire
Triangle, symétrique et carré.

ABC est un triangle isocèle en B, O est le milieu de [AC] et D le symétrique de B par rapport à O.

1. Montrez que ABCD est un losange.

2. Quelle hypothèse faut-il ajouter sur ABC pour que ABCD soit un carré ?

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51
Constructions.

Tracez un triangle ABC quelconque, puis construisez dans l'ordre les points suivants :

Le point D, symétrique de B par rapport à A ;
Le point E, symétrique de C par rapport à A ;
Le point F, symétrique de D par rapport à E ;
Le point G, symétrique de B par rapport à C.

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1. Soit F' le symétrique de F par rapport à A. Montrez que F' appartient à (BC).

2. Montrez que C est le milieu de [BF'].

3. Déduisez-en que le point F' est confondu avec le point G.

4. Montrez alors que A est le milieu de [FG].

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52
Savoir refaire
Paris-Lyon.

Le TGV Paris-Lyon roule en ligne droite pendant 2 h à la vitesse de 235 km/h.

1. Quelle est la distance parcourue par le TGV entre Paris et Lyon ?

2. Faites un schéma du parcours du train.

Dessinez ici

3. Le train, qui va de Paris vers Lyon, a subi une translation. Quels sont les paramètres (la droite, le sens, et la longueur) qui définissent cette translation ?

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53
Trapèze et pavage.

ABCD est le trapèze suivant. On pose A' et B' les symétriques de A et B par rapport à (DC).

Dessinez ici

1. Tracez le polygone ABCB'A'D. 2. Peut-on paver un sol avec ce polygone ?

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54
Images.

Tracez un segment [AB].

Dessinez ici

1. Tracez :

Le point C, l'image de A par la rotation de centre B, d'angle 135°, dans le sens indirect ;
Le point D, l'image de B par la rotation de centre C, d'angle 135°, dans le sens indirect ;
Le point E, l'image de C par la rotation de centre D, d'angle 135°, dans le sens indirect ;
Le point H, l'image de A par la translation qui envoie D vers E ;
Le point G, l'image de H par la translation qui envoie C vers D ;
Le point F, l'image de G par la translation qui envoie B vers C.

2. Montrez que [BF], [CG], [HD] et [AE] se coupent toutes en leur milieu, puis que ABEF est un parallélogramme.

3. Montrez que ABCDEFGH est un octogone régulier : un polygone à 8 côtés de même longueur.

4. I, J, K et L sont les points d'intersection des droites (AH) et (BC), (BC) et (ED), (ED) et (GF), (GF) et (AH). Montrez que IJKL est un carré.

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55
Symétriques et longueurs.

[AB] est un segment de longueur

x

. On définit :

le point C, l'image de B par la translation qui envoie A sur B ;
le point D, l'image de C par la translation qui envoie A sur B ;
le point E, l'image de D par la translation qui envoie A sur B ;
le point F, l'image de E par la translation qui envoie A sur B.

1. Que vaut la longueur AF ?

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56
Savoir refaire
Pavons avec des translations.

Reproduisez la figure suivante en plusieurs exemplaires sur du papier. Découpez-les. Tentez de les mettre bout à bout pour recouvrir une partie d'une feuille.

Le zoom est accessible dans la version Premium.

1. Grâce à quelle(s) transformation(s) arrive-t-on à faire ce pavage ? Pourquoi ?

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57
Savoir refaire
Cercle et rotation.

Tracez un cercle

C

de centre O, de rayon 4 cm. Placez un point A sur le cercle et B le symétrique de O par rapport à A.

1. Tracez l'image de

C

par la rotation de centre B, d'angle 60°, dans le sens direct.

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2. Montrez que le cercle obtenu a le même rayon que

C

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58
Rotations et translations.

Tracez un segment [AB].

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1. Tracez :

C l'image de B par la rotation de centre A, d'angle 90°, dans le sens indirect ;
D l'image de A par la translation qui envoie B vers A ;
E l'image de A par la translation qui envoie C vers A.

2. Montrez que ABC est un rectangle isocèle en A.

3. Montrez que BCDE est un carré.

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59
Cercle et translation.

1. Tracez un cercle de centre A et de rayon 3 cm. Placez B et C deux points sur le cercle.

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2. Placez :

D l'image de C par la translation qui envoie A vers B ;
E l'image de D par la translation qui envoie C vers B ;
F l'image de A par la translation qui envoie C vers B.

3. Montrez que ABDC est un losange.

4. Montrez que ADEF est un rectangle.

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60
Lʼéolienne.

Les 3 pales d'une éolienne font environ 15 tours par minute, dans le sens indirect.

Le zoom est accessible dans la version Premium.

Crédits : Aerovista Luchtfotografie/Shutterstock

1. En combien de temps une pale fait-elle un tour complet ?

Utilisez la vitesse des pales.

Coup de pouce

2. Sachant qu'une pale a une vitesse constante, de quel angle tourne la pale en une seconde ?

Utilisez la question précédente.

Coup de pouce

3. En combien de temps une pale arrive-t-elle à la position de la pale à sa gauche ?

Les pales sont séparées par le même angle.

Coup de pouce

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61
Vers le Brevet (Métropole, 2003).

1. Sur un quadrilatère constitué de carrés, on a placé une droite

d

, trois points (nommés A, B et M) et une figure en forme de fanion (numérotée 1).

Dessinez ici

2. Par quelle transformation géométrique peut-on passer directement de la figure 1 à la figure 5 ? Précisez les éléments caractéristiques de cette transformation.

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62
Image et rotation.

1. Reproduisez la figure suivante, et répétez quatre fois la rotation de centre O et d'angle 90° dans le sens indirect.

Dessinez ici

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63
Une étoile.

1. Reproduisez la figure suivante, et répétez quatre fois la rotation de centre O et d'angle 90° dans le sens indirect.

Dessinez ici

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64
Poupées russes.

Le zoom est accessible dans la version Premium.

Crédits : Lars Kastilan/Shutterstock

1. Quel est (approximativement) le rapport de l'homothétie qui permet, à partir de la plus petite poupée russe, d'obtenir la plus grande ?

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65
Savoir refaire
Au pays des merveilles.

Alice mesure environ 1,5 m. Elle trouve une bouteille, la boit et rapetisse, jusqu'à mesurer 25 cm.

1. Quel est le rapport de l'homothétie effective ?

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66
Savoir refaire
Est-il possible que...

Planète	Distance au Soleil (millions de km)	Diamètre (milliers de km)
Mercure	57,91	4,88
Vénus	108,2	12,10
Terre	149,6	12,76

1. Vénus soit l'image de Mercure par une homothétie de centre le Soleil ? Si c'est le cas, quel serait le rapport ?

2. La Terre soit l'image de Vénus par une homothétie de centre le Soleil ? Si c'est le cas, quel serait le rapport ?

3. Mercure soit l'image de la Terre par une homothétie de centre le Soleil ? Si c'est le cas, quel serait le rapport ?

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67
Savoir refaire
Homothétie.

1. Tracez un triangle ABC et son image AB'C' par l'homothétie de centre A et de rapport -2.

Dessinez ici

2. Montrez que

\frac{AB}{AB ^{'}} = \frac{AC}{AC ^{'}} = \frac{BC}{B ^{'} C ^{'}} = \frac{1}{2} .

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68
Homothéties et longueurs.

[AB] est un segment de longueur

x

Le point C est l'image de B par l'homothétie de centre A et de rapport -2.
Le point D est l'image de C par l'homothétie de centre A et de rapport -2.
Le point E est l'image de D par l'homothétie de centre A et de rapport -2.
Le point F est l'image de E par l'homothétie de centre A et de rapport -2.

1. Que vaut la longueur AF ?

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69
Agrandissement dʼune image.

Julie a une image sur son ordinateur, mais un peu petite. Elle souhaite l'agrandir. On sait que les pixels de son ordinateur ont une taille de 0,28 mm par 0,28 mm. Elle ne veut pas que l'on voit les pixels de sa photo sur l'image finale.

1. De combien peut-elle agrandir l'image, sachant que l'œil ne remarque les détails que s'ils mesurent 1 mm par 1 mm ?

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70
Récolte de lʼeau de pluie.

Une cuve cylindrique a un rayon de 10 cm et une hauteur de 20 cm.

Le zoom est accessible dans la version Premium.

Crédits : Diana Taliun/Shutterstock

1. Quel volume d'eau peut-elle contenir ? (en L)

2. José décide de cultiver un potager, et a donc besoin d'une cuve qui contient 1 000 L. Quel est le rapport de l'homothétie pour passer de la petite cuve à la grande ?

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71
Exercice 71 : Cube.

ABCDEFGH est un cube d'arête 3 dm. 1. Dessinez le cube et son image par l'homothétie de centre A et de rapport

\frac{1}{3} .

2. Sachant qu'une bouteille d'eau contient 1 L, combien de bouteilles peut-on vider dans le petit cube ?

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Tâche complexe
Ombres chinoises.

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Énoncé

Deux enfants se font un théâtre dʼombres chinoises grâce à une lampe torche très puissante. Lʼun dʼeux a construit un bateau en papier et sʼamuse à projeter son ombre sur un mur.

1. Quelle superficie a l'ombre du bateau en papier sur le mur ?

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Doc. 1
Un bateau pas prêt de prendre la mer.

Le bateau de papier peut s'apparenter à la figure suivante, qui n'est que le résultat de rotations et translations à partir d'un triangle isocèle rectangle.

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Doc. 2
Une ombre impressionnante.

L'enfant tenant le bateau se trouve à 50 cm de la lampe torche et à 4 m du mur sur lequel sont projetées les ombres chinoises. L'ombre sur le mur peut être assimilée à une homothétie du bateau en papier dont le centre est la lampe torche.

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Je résous des problèmes

48Dessinez, si cʼest possible...

49Un trapèze.

50Savoir refaireTriangle, symétrique et carré.

51Constructions.

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52Savoir refaireParis-Lyon.

53Trapèze et pavage.

54Images.

55Symétriques et longueurs.

56Savoir refairePavons avec des translations.

57Savoir refaireCercle et rotation.

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58Rotations et translations.

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59Cercle et translation.

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60Lʼéolienne.

61Vers le Brevet (Métropole, 2003).

62Image et rotation.

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63Une étoile.

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64Poupées russes.

65Savoir refaireAu pays des merveilles.

66Savoir refaireEst-il possible que...

67Savoir refaireHomothétie.

68Homothéties et longueurs.

69Agrandissement dʼune image.

70Récolte de lʼeau de pluie.

71Exercice 71 : Cube.

Tâche complexeOmbres chinoises.

Énoncé

Doc. 1 Un bateau pas prêt de prendre la mer.

Doc. 2 Une ombre impressionnante.

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Est-il possible que...

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Homothétie.

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Récolte de lʼeau de pluie.

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Exercice 71 : Cube.

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Ombres chinoises.

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Une ombre impressionnante.