Définition Une fonctionf est un processus qui, à un nombre x, fait correspondre un nombre noté f(x).
f(x) se lit « f de x ».
x est appelé la « variable » et f(x) est la valeur prise par la fonction f pour la valeur x.
On note f:x↦f(x) et on lit « fonction f qui à x associe f(x) ».
Une fonction agit comme une machine à nombre. On rentre un nombre dans la machine afin de lui faire subir un certain nombre dʼopérations et on obtient un autre nombre.
J'applique Consigne : Quelle est la fonction qui à un nombre x associe son double ? Correction : f:x↦2x Le nombre f(x) est alors le double de x, soit 2×x.
Définitions On définit la fonction f telle que f:x↦f(x), alors :
le nombre f(x) est lʼimage de x par la fonction f ;
x est un antécédent de f(x).
Lʼimage dʼun nombre est unique. Un nombre peut avoir un, plusieurs ou aucun antécédents par f. J'applique Consigne : f:x↦x2+6x Quelles sont les images de 0, −2 et −6 par f ? Correction :
L'image de 0 par f est : f(0)=02+6×0=0.
L'image de −2 par f est : f(−2)=(−2)2+6×(−2) donc f(−2)=−8.
L'image de −6 par f est : f(−6)=(−6)2+6×(−6) donc f(−6)=0.
Consigne : f:x↦x2 Donnez des antécédents de 9, 0 et −4 par f. Correction :
9 a deux antécédents par f : 3 et −3 car f(3)=9 et f(−3)=9.
0 est l'antécédent de 0 par f car f(0)=0.
−4 n'a pas d'antécédent par f car il n'existe aucun nombre dont le carré soit égal à −4.
B. Représentation dʼune fonction
1. Représentation graphique
Représentation Dans un repère, la courbe représentative (ou représentation graphique) dʼune fonction f est lʼensemble des points de coordonnées (x ; f(x)). On note généralement cette courbe représentative Cf.
Méthode À lʼaide dʼune représentation graphique, on peut trouver les images et antécédents dʼune fonction.
J'applique Consigne : a. À partir du graphique ci-dessus, lire l'image de -1. b. À partir du graphique ci-dessus, lire les antécédents de -2. Correction : a. L'image de -1 est 2. b. -2 a deux antécédents : -2 et 1.
2. Représentation dans un tableau de valeurs
Représentation Un tableau de valeurs contient quelques valeurs prises par une fonction f. On peut représenter les points correspondants dans un repère : ils se trouvent sur la courbe de f. J'applique Consigne :
x
-1
0
1
2
3
f(x)
-5
-3
-1
1
1
Ce tableau donne quelques valeurs représentant une fonction f. Quel est l'antécédent de -1 par f ? Quelle est l'image de -1 par f ? Correction : L'antécédent de -1 par f est 1 (3e colonne). L'image de -1 par f est -5 (1re colonne).
C. Fonctions linéaires
1. Notion de fonction linéaire
Définition Pour un nombre a donné, la fonction qui, à x, associe ax, est une fonction linéaire. On la note f:x↦ax
Remarque : Les fonctions linéaires sont les fonctions f pour lesquelles f(x) est proportionnel à x. Si f:x↦ax , alors a est le coefficient de proportionnalité entre x et f(x). Un tableau de valeurs associé à une fonction linéaire est un tableau de proportionnalité.
2. Représentation graphique
Représentation La courbe de la fonction linéaire f:x↦ax est une droite passant par lʼorigine du repère. Le nombre a sʼappelle le coefficient directeur, ou « pente », de cette droite.
Toute droite non verticale passant par lʼorigine du repère est la courbe dʼune fonction linéaire.
J'applique Consigne : Tracez la courbe représentative de la fonction linéaire f:x↦2x.
Correction : Cʼest une droite donc deux points suffisent pour tracer sa représentation graphique.
Une fonction linéaire passe toujours par lʼorigine du repère, donc un des points peut être O (0 ; 0).
f(2)=4 donc la droite va passer par le point A (2 ; 4).
D. Fonctions affines
1. Notion de fonction affine
Définition Pour deux nombres a et b donnés, la fonction qui, à x, associe ax+b est une fonction affine. On la note f:x↦ax+b.
Remarque : Une fonction linéaire est donc une fonction affine pour laquelle b=0.
2. Représentation graphique
Représentation La courbe dʼune fonction affine f:x↦ax+b est une droite. Le nombre a sʼappelle le « coefficient directeur », ou pente, de la droite. Le nombre b sʼappelle « lʼordonnée à lʼorigine » de la droite.
Remarques :
Une droite non verticale est toujours la courbe dʼune fonction affine.
Pour un nombre b, la fonction f:x↦b est affine (cʼest bien une fonction de type x↦ax+b avec a=0). Elle ne prend quʼune valeur : b. On dit que cette fonction est constante. Sa courbe est une droite horizontale.
Méthode Si a=c, les courbes des fonctions f:x↦ax+b et g:x↦cx+d sont des droites non parallèles. Elles ont un point dʼintersection dont lʼabscisse est la solution de lʼéquation f(x)=g(x). On peut aussi visualiser les solutions des équations f(x)<g(x), f(x)>g(x).
Exemple : Les solutions de lʼinéquation −2x+1<3x−4 sont tous les nombres x>1.
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