J'apprends

  Définition
Une fonction $f$ est un processus qui, à un nombre $x$, fait correspondre un nombre noté $f (x)$.

• $f (x)$ se lit « $f$ de $x$ ».
• $x$ est appelé la « variable » et $f (x)$ est la valeur prise par la fonction $f$ pour la valeur $x$.
• On note $f : x \mapsto f (x)$ et on lit « fonction $f$ qui à $x$ associe $f (x)$ ».

Une fonction agit comme une machine à nombre.
On rentre un nombre dans la machine afin de lui faire subir un certain nombre dʼopérations et on obtient un autre nombre.
  
  J'applique
Consigne : Quelle est la fonction qui à un nombre $x$ associe son double ?
Correction : $f : x \mapsto 2x$
Le nombre $f(x)$ est alors le double de $x$, soit $2 \times x$.

  Définitions 
On définit la fonction $f$ telle que $f : x \mapsto f (x)$, alors :

• le nombre $f (x)$ est lʼimage de $x$ par la fonction $f$ ;
• $x$ est un antécédent de $f (x)$.

Lʼimage dʼun nombre est unique.
Un nombre peut avoir un, plusieurs ou aucun antécédents par $f$.

  J'applique
Consigne : $f : x \mapsto x^2 + 6x$
Quelles sont les images de $0$, $-2$ et $-6$ par $f$ ?
Correction : 

• L'image de $0$ par $f$ est : $f(0) = 0^2 + 6 \times 0 = 0$.
• L'image de $-2$ par $f$ est : $f(-2) = (-2)^2 + 6 \times (-2)$ donc $f(-2) = -8$.
• L'image de $-6$ par $f$ est : $f(-6) = (-6)^2 + 6 \times (-6)$ donc $f(-6) = 0$.

Consigne : $f : x \mapsto x^2$
Donnez des antécédents de $9$, $0$ et $-4$ par $f$.
Correction : 

• $9$ a deux antécédents par $f$ : $3$ et $-3$ car $f(3) = 9$ et $f(-3) = 9$.
• $0$ est l'antécédent de $0$ par $f$ car $f(0) = 0$.
• $-4$ n'a pas d'antécédent par $f$ car il n'existe aucun nombre dont le carré soit égal à $-4$.

1. Représentation graphique

  Représentation
Dans un repère, la courbe représentative (ou représentation graphique) dʼune fonction $f$ est lʼensemble des points de coordonnées $(x$ ; $f (x))$.
On note généralement cette courbe représentative $C_f$.

  Méthode 
À lʼaide dʼune représentation graphique, on peut trouver les images et antécédents dʼune fonction.

  J'applique
Consigne : 
a. À partir du graphique ci-dessus, lire l'image de -1.
b. À partir du graphique ci-dessus, lire les antécédents de -2.
Correction : 
a. L'image de -1 est 2.
b. -2 a deux antécédents : -2 et 1.

2. Représentation dans un tableau de valeurs

  Représentation
Un tableau de valeurs contient quelques valeurs prises par une fonction $f$.
On peut représenter les points correspondants dans un repère : ils se trouvent sur la courbe de $f$.
  
  J'applique
Consigne : 
Ce tableau donne quelques valeurs représentant une fonction $f$.
Quel est l'antécédent de -1 par $f$ ?
Quelle est l'image de -1 par $f$ ?
Correction : 
L'antécédent de -1 par $f$ est 1 (3^e colonne).
L'image de -1 par $f$ est -5 (1^re colonne).

1. Notion de fonction linéaire

  Définition
Pour un nombre $a$ donné, la fonction qui, à $x$, associe $ax$, est une fonction linéaire.
On la note $f : x \mapsto ax$

Remarque : Les fonctions linéaires sont les fonctions $f$ pour lesquelles $f (x)$ est proportionnel à $x$. Si $f : x \mapsto ax$ , alors $a$ est le coefficient de proportionnalité entre $x$ et $f (x)$.
Un tableau de valeurs associé à une fonction linéaire est un tableau de proportionnalité.

2. Représentation graphique

  Représentation
La courbe de la fonction linéaire $f : x \mapsto ax$ est une droite passant par lʼorigine du repère.
Le nombre $a$ sʼappelle le coefficient directeur, ou « pente », de cette droite.

Toute droite non verticale passant par lʼorigine du repère est la courbe dʼune fonction linéaire.

  J'applique
Consigne : Tracez la courbe représentative de la fonction linéaire $f : x \mapsto 2x$.

Correction : Cʼest une droite donc deux points suffisent pour tracer sa représentation graphique.

• Une fonction linéaire passe toujours par lʼorigine du repère, donc un des points peut être O (0 ; 0).
• $f(2) = 4$ donc la droite va passer par le point A (2 ; 4).

1. Notion de fonction affine

  Définition
Pour deux nombres $a$ et $b$ donnés, la fonction qui, à $x$, associe $ax + b$ est une fonction affine.
On la note $f : x \mapsto ax + b$.

Remarque : Une fonction linéaire est donc une fonction affine pour laquelle $b = 0$.

2. Représentation graphique

  Représentation
La courbe dʼune fonction affine $f : x \mapsto ax + b$ est une droite.
Le nombre $a$ sʼappelle le « coefficient directeur », ou pente, de la droite.
Le nombre $b$ sʼappelle « lʼordonnée à lʼorigine » de la droite.

Remarques :

• Une droite non verticale est toujours la courbe dʼune fonction affine.
• Pour un nombre $b$, la fonction $f : x \mapsto b$ est affine (cʼest bien une fonction de type $x \mapsto ax + b$ avec $a = 0$). Elle ne prend quʼune valeur : $b$. On dit que cette fonction est constante. Sa courbe est une droite horizontale.

3. Résolution graphique dʼune équation, dʼune inéquation

  

Méthode 
Si $a \neq c$, les courbes des fonctions $f : x \mapsto ax + b$ et $g : x \mapsto cx + d$ sont des droites non parallèles.
Elles ont un point dʼintersection dont lʼabscisse est la solution de lʼéquation $f (x) = g (x)$.
On peut aussi visualiser les solutions des équations $f (x) < g (x)$, $f (x) > g (x)$.

Exemple : 
Les solutions de lʼinéquation $-2x + 1 < 3x - 4$ sont tous les nombres $x > 1$.