Mathématiques Cycle 4

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Thème 1 : Nombres et calculs

Ch. 1

Arithmétique

Ch. 2

Nombres relatifs

Ch. 3

Nombres fractionnaires

Ch. 4

Calcul littéral

Ch. 5

Équations et inéquations

Ch. 6

Proportionnalité

Ch. 7

Puissances

Thème 2 : Organisation et gestion de données

Ch. 8

Statistiques

Ch. 9

Probabilités

Ch. 10

Fonctions

Thème 3 : Grandeurs et mesures

Ch. 11

Grandeurs et mesures

Thème 4 : Espace et géométrie

Ch. 12

Transformations dans le plan

Ch. 13

Triangles

Ch. 14

Angles et droites parallèles

Ch. 15

Géometrie dans l'espace

Ch. 16

Théorème de pythagore

Ch. 17

Agrandissements - réductions

Ch. 18

Trigonométrie

Annexes

Livret algorithmique et programmation

Pistes EPI

Dossier brevet

Chapitre 10

J'apprends

Fonctions

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A
Notion et vocabulaire

Je perfectionne

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Définition

Une fonction

f

est un processus qui, à un nombre

x

, fait correspondre un nombre noté

f (x)

$f (x)$ se lit « $f$ de $x$ ».
$x$ est appelé la « variable » et $f (x)$ est la valeur prise par la fonction $f$ pour la valeur $x$ .
On note $f : x \mapsto f (x)$ et on lit « fonction $f$ qui à $x$ associe $f (x)$ ».

Exercices n° 1 à 9
p. 220, 221

Une fonction agit comme une machine à nombre.
On rentre un nombre dans la machine afin de lui faire subir un certain nombre dʼopérations et on obtient un autre nombre.

Aide

J'applique

Consigne : Quelle est la fonction qui à un nombre

x

associe son double ?

Correction :

f : x \mapsto 2 x

Le nombre

f (x)

est alors le double de

x

, soit

2 \times x

Définitions

On définit la fonction

f

telle que

f : x \mapsto f (x)

, alors :

le nombre $f (x)$ est lʼimage de $x$ par la fonction $f$ ;
$x$ est un antécédent de $f (x)$ .

Schéma de la fonction f avec antécédent x puis fonction f et enfin l'image de f: f(x)

Le zoom est accessible dans la version Premium.

Lʼimage dʼun nombre est unique.
Un nombre peut avoir un, plusieurs ou aucun antécédents par $f$ .

Exercices n° 10 à 21
p. 220, 221

J'applique

Consigne :

f : x \mapsto x^{2} + 6 x

Quelles sont les images de

0

- 2

- 6

par

f

?

Correction :

L'image de $0$ par $f$ est : $f (0) = 0^{2} + 6 \times 0 = 0$ .
L'image de $- 2$ par $f$ est : $f (- 2) = (- 2)^{2} + 6 \times (- 2)$ donc $f (- 2) = - 8$ .
L'image de $- 6$ par $f$ est : $f (- 6) = (- 6)^{2} + 6 \times (- 6)$ donc $f (- 6) = 0$ .

Consigne :

f : x \mapsto x^{2}

Donnez des antécédents de

9

0

- 4

par

f

.

Correction :

$9$ a deux antécédents par $f$ : $3$ et $- 3$ car $f (3) = 9$ et $f (- 3) = 9$ .
$0$ est l'antécédent de $0$ par $f$ car $f (0) = 0$ .
$- 4$ n'a pas d'antécédent par $f$ car il n'existe aucun nombre dont le carré soit égal à $- 4$ .

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B
Représentation dʼune fonction

Je perfectionne

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1
Représentation graphique

Représentation

Dans un repère, la courbe représentative (ou représentation graphique) dʼune fonction

f

est lʼensemble des points de coordonnées

(x

;

f (x))

.
On note généralement cette courbe représentative

C_{f}

Le zoom est accessible dans la version Premium.

Exercices n° 22 à 27
p. 223, 224

Méthode

À lʼaide dʼune représentation graphique, on peut trouver les images et antécédents dʼune fonction.

Le zoom est accessible dans la version Premium.

Exercices n° 22 à 27
p. 223, 224

J'applique

Consigne :
a. À partir du graphique ci-dessus, lire l'image de -1.
b. À partir du graphique ci-dessus, lire les antécédents de -2.

Correction :
a. L'image de -1 est 2.
b. -2 a deux antécédents : -2 et 1.

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2
Représentation dans un tableau de valeurs

Représentation

Un tableau de valeurs contient quelques valeurs prises par une fonction

f

.
On peut représenter les points correspondants dans un repère : ils se trouvent sur la courbe de

f

Exercices n° 12 à 21
p. 222

J'applique

Consigne :

x	-1	0	1	2	3
f(x)	-5	-3	-1	1	1

Ce tableau donne quelques valeurs représentant une fonction

f

.
Quel est l'antécédent de -1 par

f

?
Quelle est l'image de -1 par

f

?

Correction :
L'antécédent de -1 par

f

est 1 (3^e colonne).
L'image de -1 par

f

est -5 (1^re colonne).

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C
Fonctions linéaires

Je perfectionne

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1
Notion de fonction linéaire

Définition

Pour un nombre

a

donné, la fonction qui, à

x

, associe

a x

, est une fonction linéaire.
On la note

f : x \mapsto a x

Exercices n° 28 à 35
p. 224, 225

Remarque : Les fonctions linéaires sont les fonctions

f

pour lesquelles

f (x)

est proportionnel à

x

. Si

f : x \mapsto a x

, alors

a

est le coefficient de proportionnalité entre

x

f (x)

.
Un tableau de valeurs associé à une fonction linéaire est un tableau de proportionnalité.

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2
Représentation graphique

Représentation

La courbe de la fonction linéaire

f : x \mapsto a x

est une droite passant par lʼorigine du repère.
Le nombre

a

sʼappelle le coefficient directeur, ou « pente », de cette droite.

Exercices n° 28 à 35
p. 224, 225

Toute droite non verticale passant par lʼorigine du repère est la courbe dʼune fonction linéaire.

Aide

J'applique

Consigne : Tracez la courbe représentative de la fonction linéaire

f : x \mapsto 2 x

Le zoom est accessible dans la version Premium.

Correction : Cʼest une droite donc deux points suffisent pour tracer sa représentation graphique.

Une fonction linéaire passe toujours par lʼorigine du repère, donc un des points peut être O (0 ; 0).
$f (2) = 4$ donc la droite va passer par le point A (2 ; 4).

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D
Fonctions affines

Je perfectionne

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1
Notion de fonction affine

Définition

Pour deux nombres

a

b

donnés, la fonction qui, à

x

, associe

a x + b

est une fonction affine.
On la note

f : x \mapsto a x + b

Exercices n° 28 à 35
p. 224, 225

Remarque : Une fonction linéaire est donc une fonction affine pour laquelle

b = 0

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2
Représentation graphique

Représentation

La courbe dʼune fonction affine

f : x \mapsto a x + b

est une droite.
Le nombre

a

sʼappelle le « coefficient directeur », ou pente, de la droite.
Le nombre

b

sʼappelle « lʼordonnée à lʼorigine » de la droite.

Le zoom est accessible dans la version Premium.

Crédits :

Exercices n° 28 à 35
p. 224, 225

Remarques :

Une droite non verticale est toujours la courbe dʼune fonction affine.
Pour un nombre $b$ , la fonction $f : x \mapsto b$ est affine (cʼest bien une fonction de type $x \mapsto a x + b$ avec $a = 0$ ). Elle ne prend quʼune valeur : $b$ . On dit que cette fonction est constante. Sa courbe est une droite horizontale.

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3
Résolution graphique dʼune équation, dʼune inéquation

Méthode

a \neq = c

, les courbes des fonctions

f : x \mapsto a x + b

g : x \mapsto c x + d

sont des droites non parallèles.
Elles ont un point dʼintersection dont lʼabscisse est la solution de lʼéquation

f (x) = g (x)

.
On peut aussi visualiser les solutions des équations

f (x) < g (x)

f (x) > g (x)

Exercices n° 28 à 35
p. 224, 225

Exemple :

résolution graphique d'un équation, d'une inéquation

Le zoom est accessible dans la version Premium.

Crédits :

Les solutions de lʼinéquation

- 2 x + 1 < 3 x - 4

sont tous les nombres

x > 1

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Fonctions

A
Notion et vocabulaire

J'applique

J'applique

B
Représentation dʼune fonction

1
Représentation graphique

J'applique

2
Représentation dans un tableau de valeurs

J'applique

C
Fonctions linéaires

1
Notion de fonction linéaire

2
Représentation graphique

J'applique

D
Fonctions affines

1
Notion de fonction affine

2
Représentation graphique

3
Résolution graphique dʼune équation, dʼune inéquation

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Fonctions

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B Représentation dʼune fonction

1 Représentation graphique

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2 Représentation dans un tableau de valeurs

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C Fonctions linéaires

1 Notion de fonction linéaire

2 Représentation graphique

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D Fonctions affines

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Notion de fonction linéaire

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