Une fonction agit comme une machine à nombre. On rentre un nombre dans la machine afin de lui faire subir un certain nombre dʼopérations et on obtient un autre nombre.
Aide
J'applique
Consigne : Quelle est la fonction qui à un nombre x associe son double ?
Correction : f:x↦2x Le nombre f(x) est alors le double de x, soit 2×x.
Définitions
On définit la fonction f telle que f:x↦f(x), alors :
le nombre f(x) est lʼimage de x par la fonction f ;
x est un antécédent de f(x).
Le zoom est accessible dans la version Premium.
Lʼimage dʼun nombre est unique. Un nombre peut avoir un, plusieurs ou aucun antécédents par f.
Consigne : f:x↦x2+6x Quelles sont les images de 0, −2 et −6 par f?
Correction :
L'image de 0 par f est : f(0)=02+6×0=0.
L'image de −2 par f est : f(−2)=(−2)2+6×(−2) donc f(−2)=−8.
L'image de −6 par f est : f(−6)=(−6)2+6×(−6) donc f(−6)=0.
Consigne : f:x↦x2 Donnez des antécédents de 9, 0 et −4 par f.
Correction :
9 a deux antécédents par f : 3 et −3 car f(3)=9 et f(−3)=9.
0 est l'antécédent de 0 par f car f(0)=0.
−4 n'a pas d'antécédent par f car il n'existe aucun nombre dont le carré soit égal à −4.
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B
Représentation dʼune fonction
Je perfectionne
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Représentation graphique
Représentation
Dans un repère, la courbe représentative (ou représentation graphique) dʼune fonction f est lʼensemble des points de coordonnées (x ; f(x)). On note généralement cette courbe représentative Cf.
Consigne : a. À partir du graphique ci-dessus, lire l'image de -1. b. À partir du graphique ci-dessus, lire les antécédents de -2.
Correction : a. L'image de -1 est 2. b. -2 a deux antécédents : -2 et 1.
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Représentation dans un tableau de valeurs
Représentation
Un tableau de valeurs contient quelques valeurs prises par une fonction f. On peut représenter les points correspondants dans un repère : ils se trouvent sur la courbe de f.
Remarque :
Les fonctions linéaires sont les fonctions f pour lesquelles f(x) est proportionnel à x. Si f:x↦ax , alors a est le coefficient de proportionnalité entre x et f(x). Un tableau de valeurs associé à une fonction linéaire est un tableau de proportionnalité.
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Représentation graphique
Représentation
La courbe de la fonction linéaire f:x↦ax est une droite passant par lʼorigine du repère. Le nombre a sʼappelle le coefficient directeur, ou « pente », de cette droite.
Remarque : Une fonction linéaire est donc une fonction affine pour laquelle b=0.
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Représentation graphique
Représentation
La courbe dʼune fonction affine f:x↦ax+b est une droite. Le nombre a sʼappelle le « coefficient directeur », ou pente, de la droite. Le nombre b sʼappelle « lʼordonnée à lʼorigine » de la droite.
Une droite non verticale est toujours la courbe dʼune fonction affine.
Pour un nombre b, la fonction f:x↦b est affine (cʼest bien une fonction de type x↦ax+b avec a=0). Elle ne prend quʼune valeur : b. On dit que cette fonction est constante. Sa courbe est une droite horizontale.
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Si a=c, les courbes des fonctions f:x↦ax+b et g:x↦cx+d sont des droites non parallèles. Elles ont un point dʼintersection dont lʼabscisse est la solution de lʼéquation f(x)=g(x). On peut aussi visualiser les solutions des équations f(x)<g(x), f(x)>g(x).