J'apprends

  Définition
Une fonction $f$ est un processus qui, à un nombre $x$, fait correspondre un nombre noté $f(x)$.

• $f(x)$ se lit « $f$ de $x$ ».
• $x$ est appelé la « variable » et $f(x)$ est la valeur prise par la fonction $f$ pour la valeur $x$.
• On note $f:x\mapsto f(x)$ et on lit « fonction $f$ qui à $x$ associe $f(x)$ ».

Une fonction agit comme une machine à nombre.
On rentre un nombre dans la machine afin de lui faire subir un certain nombre dʼopérations et on obtient un autre nombre.
  
  J'applique
Consigne : Quelle est la fonction qui à un nombre $x$ associe son double ?
Correction : $f:x\mapsto 2x$
Le nombre $f(x)$ est alors le double de $x$, soit $2\times x$.

  Définitions 
On définit la fonction $f$ telle que $f:x\mapsto f(x)$, alors :

• le nombre $f(x)$ est lʼimage de $x$ par la fonction $f$ ;
• $x$ est un antécédent de $f(x)$.

Lʼimage dʼun nombre est unique.
Un nombre peut avoir un, plusieurs ou aucun antécédents par $f$.

  J'applique
Consigne : $f:x\mapsto x^2+6x$
Quelles sont les images de $0$, $-2$ et $-6$ par $f$ ?
Correction : 

• L'image de $0$ par $f$ est : $f(0)=0^2+6\times 0=0$.
• L'image de $-2$ par $f$ est : $f(-2)=(-2{)}^2+6\times (-2)$ donc $f(-2)=-8$.
• L'image de $-6$ par $f$ est : $f(-6)=(-6{)}^2+6\times (-6)$ donc $f(-6)=0$.

Consigne : $f:x\mapsto x^2$
Donnez des antécédents de $9$, $0$ et $-4$ par $f$.
Correction : 

• $9$ a deux antécédents par $f$ : $3$ et $-3$ car $f(3)=9$ et $f(-3)=9$.
• $0$ est l'antécédent de $0$ par $f$ car $f(0)=0$.
• $-4$ n'a pas d'antécédent par $f$ car il n'existe aucun nombre dont le carré soit égal à $-4$.

1. Représentation graphique

  Représentation
Dans un repère, la courbe représentative (ou représentation graphique) dʼune fonction $f$ est lʼensemble des points de coordonnées $(x$ ; $f(x))$.
On note généralement cette courbe représentative $C_f$.

  Méthode 
À lʼaide dʼune représentation graphique, on peut trouver les images et antécédents dʼune fonction.

  J'applique
Consigne : 
a. À partir du graphique ci-dessus, lire l'image de -1.
b. À partir du graphique ci-dessus, lire les antécédents de -2.
Correction : 
a. L'image de -1 est 2.
b. -2 a deux antécédents : -2 et 1.

2. Représentation dans un tableau de valeurs

  Représentation
Un tableau de valeurs contient quelques valeurs prises par une fonction $f$.
On peut représenter les points correspondants dans un repère : ils se trouvent sur la courbe de $f$.
  
  J'applique
Consigne : 
Ce tableau donne quelques valeurs représentant une fonction $f$.
Quel est l'antécédent de -1 par $f$ ?
Quelle est l'image de -1 par $f$ ?
Correction : 
L'antécédent de -1 par $f$ est 1 (3^e colonne).
L'image de -1 par $f$ est -5 (1^re colonne).

1. Notion de fonction linéaire

  Définition
Pour un nombre $a$ donné, la fonction qui, à $x$, associe $ax$, est une fonction linéaire.
On la note $f:x\mapsto ax$

Remarque : Les fonctions linéaires sont les fonctions $f$ pour lesquelles $f(x)$ est proportionnel à $x$. Si $f:x\mapsto ax$ , alors $a$ est le coefficient de proportionnalité entre $x$ et $f(x)$.
Un tableau de valeurs associé à une fonction linéaire est un tableau de proportionnalité.

2. Représentation graphique

  Représentation
La courbe de la fonction linéaire $f:x\mapsto ax$ est une droite passant par lʼorigine du repère.
Le nombre $a$ sʼappelle le coefficient directeur, ou « pente », de cette droite.

Toute droite non verticale passant par lʼorigine du repère est la courbe dʼune fonction linéaire.

  J'applique
Consigne : Tracez la courbe représentative de la fonction linéaire $f:x\mapsto 2x$.

Correction : Cʼest une droite donc deux points suffisent pour tracer sa représentation graphique.

• Une fonction linéaire passe toujours par lʼorigine du repère, donc un des points peut être O (0 ; 0).
• $f(2)=4$ donc la droite va passer par le point A (2 ; 4).

1. Notion de fonction affine

  Définition
Pour deux nombres $a$ et $b$ donnés, la fonction qui, à $x$, associe $ax+b$ est une fonction affine.
On la note $f:x\mapsto ax+b$.

Remarque : Une fonction linéaire est donc une fonction affine pour laquelle $b=0$.

2. Représentation graphique

  Représentation
La courbe dʼune fonction affine $f:x\mapsto ax+b$ est une droite.
Le nombre $a$ sʼappelle le « coefficient directeur », ou pente, de la droite.
Le nombre $b$ sʼappelle « lʼordonnée à lʼorigine » de la droite.

Remarques :

• Une droite non verticale est toujours la courbe dʼune fonction affine.
• Pour un nombre $b$, la fonction $f:x\mapsto b$ est affine (cʼest bien une fonction de type $x\mapsto ax+b$ avec $a=0$). Elle ne prend quʼune valeur : $b$. On dit que cette fonction est constante. Sa courbe est une droite horizontale.

3. Résolution graphique dʼune équation, dʼune inéquation

  

Méthode 
Si $a\ne c$, les courbes des fonctions $f:x\mapsto ax+b$ et $g:x\mapsto cx+d$ sont des droites non parallèles.
Elles ont un point dʼintersection dont lʼabscisse est la solution de lʼéquation $f(x)=g(x)$.
On peut aussi visualiser les solutions des équations $f(x)<g(x)$, $f(x)>g(x)$.

Exemple : 
Les solutions de lʼinéquation $-2x+1<3x-4$ sont tous les nombres $x>1$.