f (x) se lit « f de x ».
x est appelé la « variable » et f (x) est la valeur prise par la fonction f pour la valeur x.
On note f : x \mapsto f (x) et on lit « fonction f qui à x associe f (x) ».

Exercices n° 1 à 9
p. 220, 221

Aide

Une fonction agit comme une machine à nombre.
On rentre un nombre dans la machine afin de lui faire subir un certain nombre dʼopérations et on obtient un autre nombre.

J'applique

Consigne : Quelle est la fonction qui à un nombre x associe son double ?

Correction : f : x \mapsto 2x
Le nombre f(x) est alors le double de x, soit 2 \times x.

Définitions

On définit la fonction f telle que f : x \mapsto f (x), alors :

le nombre f (x) est lʼimage de x par la fonction f ;
x est un antécédent de f (x).

Schéma de la fonction f avec antécédent x puis fonction f et enfin l'image de f: f(x)

Lʼimage dʼun nombre est unique.
Un nombre peut avoir un, plusieurs ou aucun antécédents par f.

Exercices n° 10 à 21
p. 220, 221

J'applique

Consigne : f : x \mapsto x^2 + 6x
Quelles sont les images de 0, -2 et -6 par f?

Correction :

L'image de 0 par f est : f(0) = 0^2 + 6 \times 0 = 0.
L'image de -2 par f est : f(-2) = (-2)^2 + 6 \times (-2) donc f(-2) = -8.
L'image de -6 par f est : f(-6) = (-6)^2 + 6 \times (-6) donc f(-6) = 0.

Consigne : f : x \mapsto x^2
Donnez des antécédents de 9, 0 et -4 par f.

Correction :

9 a deux antécédents par f : 3 et -3 car f(3) = 9 et f(-3) = 9.
0 est l'antécédent de 0 par f car f(0) = 0.
-4 n'a pas d'antécédent par f car il n'existe aucun nombre dont le carré soit égal à -4.

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B
Représentation dʼune fonction

Je perfectionne

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1
Représentation graphique

Représentation

Dans un repère, la courbe représentative (ou représentation graphique) dʼune fonction f est lʼensemble des points de coordonnées (x ; f (x)).
On note généralement cette courbe représentative C_f.

Exercices n° 22 à 27
p. 223, 224

Méthode

À lʼaide dʼune représentation graphique, on peut trouver les images et antécédents dʼune fonction.

Exercices n° 22 à 27
p. 223, 224

J'applique

Consigne :
a. À partir du graphique ci-dessus, lire l'image de -1.
b. À partir du graphique ci-dessus, lire les antécédents de -2.

Correction :
a. L'image de -1 est 2.
b. -2 a deux antécédents : -2 et 1.

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2
Représentation dans un tableau de valeurs

Représentation

Un tableau de valeurs contient quelques valeurs prises par une fonction f.
On peut représenter les points correspondants dans un repère : ils se trouvent sur la courbe de f.

Exercices n° 12 à 21
p. 222

J'applique

Consigne :

x	-1	0	1	2	3
f(x)	-5	-3	-1	1	1

Ce tableau donne quelques valeurs représentant une fonction f.
Quel est l'antécédent de -1 par f ?
Quelle est l'image de -1 par f ?

Correction :
L'antécédent de -1 par f est 1 (3^e colonne).
L'image de -1 par f est -5 (1^re colonne).

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C
Fonctions linéaires

Je perfectionne

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1
Notion de fonction linéaire

Définition

Pour un nombre a donné, la fonction qui, à x, associe ax, est une fonction linéaire.
On la note f : x \mapsto ax

Exercices n° 28 à 35
p. 224, 225

Remarque : Les fonctions linéaires sont les fonctions f pour lesquelles f (x) est proportionnel à x. Si f : x \mapsto ax , alors a est le coefficient de proportionnalité entre x et f (x).
Un tableau de valeurs associé à une fonction linéaire est un tableau de proportionnalité.

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2
Représentation graphique

Représentation

La courbe de la fonction linéaire f : x \mapsto ax est une droite passant par lʼorigine du repère.
Le nombre a sʼappelle le coefficient directeur, ou « pente », de cette droite.

Exercices n° 28 à 35
p. 224, 225

Aide

Toute droite non verticale passant par lʼorigine du repère est la courbe dʼune fonction linéaire.

J'applique

Consigne : Tracez la courbe représentative de la fonction linéaire f : x \mapsto 2x.

Correction : Cʼest une droite donc deux points suffisent pour tracer sa représentation graphique.

Une fonction linéaire passe toujours par lʼorigine du repère, donc un des points peut être O (0 ; 0).
f(2) = 4 donc la droite va passer par le point A (2 ; 4).

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D
Fonctions affines

Je perfectionne

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1
Notion de fonction affine

Définition

Pour deux nombres a et b donnés, la fonction qui, à x, associe ax + b est une fonction affine.
On la note f : x \mapsto ax + b.

Exercices n° 28 à 35
p. 224, 225

Remarque : Une fonction linéaire est donc une fonction affine pour laquelle b = 0.

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2
Représentation graphique

Représentation

La courbe dʼune fonction affine f : x \mapsto ax + b est une droite.
Le nombre a sʼappelle le « coefficient directeur », ou pente, de la droite.
Le nombre b sʼappelle « lʼordonnée à lʼorigine » de la droite.

Graphique montrant une droite, sa pente et son ordonnée à l'origine.

Exercices n° 28 à 35
p. 224, 225

Remarques :

Une droite non verticale est toujours la courbe dʼune fonction affine.
Pour un nombre b, la fonction f : x \mapsto b est affine (cʼest bien une fonction de type x \mapsto ax + b avec a = 0). Elle ne prend quʼune valeur : b. On dit que cette fonction est constante. Sa courbe est une droite horizontale.

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3
Résolution graphique dʼune équation, dʼune inéquation

Méthode

Si a \neq c, les courbes des fonctions f : x \mapsto ax + b et g : x \mapsto cx + d sont des droites non parallèles.
Elles ont un point dʼintersection dont lʼabscisse est la solution de lʼéquation f (x) = g (x).
On peut aussi visualiser les solutions des équations f (x)~\text{\textless}~g(x), f (x) > g (x).

Exercices n° 28 à 35
p. 224, 225

Exemple :

Graphique montrant deux droites sécantes, y = 3x - 4 et y = -2x + 1. Représentation graphique de la résolution d'un système d'équations linéaires.

Les solutions de lʼinéquation {-2x + 1~\text{\textless}~3x - 4} sont tous les nombres {x > 1}.

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Mathématiques Cycle 4

Fonctions

A Notion et vocabulaire

J'applique

J'applique

B Représentation dʼune fonction

1 Représentation graphique

J'applique

2 Représentation dans un tableau de valeurs

J'applique

C Fonctions linéaires

1 Notion de fonction linéaire

2 Représentation graphique

J'applique

D Fonctions affines

1 Notion de fonction affine

2 Représentation graphique

3 Résolution graphique dʼune équation, dʼune inéquation

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A
Notion et vocabulaire

B
Représentation dʼune fonction

1
Représentation graphique

2
Représentation dans un tableau de valeurs

C
Fonctions linéaires

1
Notion de fonction linéaire

2
Représentation graphique

D
Fonctions affines

1
Notion de fonction affine

2
Représentation graphique

3
Résolution graphique dʼune équation, dʼune inéquation