Mathématiques Cycle 4

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Thème 1 : Nombres et calculs
Ch. 1
Arithmétique
Ch. 2
Nombres relatifs
Ch. 3
Nombres fractionnaires
Ch. 4
Calcul littéral
Ch. 5
Équations et inéquations
Ch. 6
Proportionnalité
Ch. 7
Puissances
Thème 2 : Organisation et gestion de données
Ch. 8
Statistiques
Ch. 9
Probabilités
Thème 3 : Grandeurs et mesures
Ch. 11
Grandeurs et mesures
Thème 4 : Espace et géométrie
Ch. 12
Transformations dans le plan
Ch. 13
Triangles
Ch. 14
Angles et droites parallèles
Ch. 15
Géometrie dans l'espace
Ch. 16
Théorème de pythagore
Ch. 17
Agrandissements - réductions
Ch. 18
Trigonométrie
Annexes
Livret algorithmique et programmation
Pistes EPI
Dossier brevet
Chapitre 10
J'apprends

Fonctions

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A
Notion et vocabulaire

Je perfectionne
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Définition
Une fonction f est un processus qui, à un nombre x, fait correspondre un nombre noté f (x).
  • f (x) se lit « f de x ».
  • x est appelé la « variable » et f (x) est la valeur prise par la fonction f pour la valeur x.
  • On note f : x \mapsto f (x) et on lit « fonction f qui à x associe f (x) ».

Exercices n°  p. 220, 221
Aide
Une fonction agit comme une machine à nombre.
On rentre un nombre dans la machine afin de lui faire subir un certain nombre dʼopérations et on obtient un autre nombre.

J'applique

Consigne : Quelle est la fonction qui à un nombre x associe son double ?

Correction : f : x \mapsto 2x
Le nombre f(x) est alors le double de x, soit 2 \times x.

Définitions
On définit la fonction f telle que f : x \mapsto f (x), alors :
  • le nombre f (x) est lʼimage de x par la fonction f ;
  • x est un antécédent de f (x).
Schéma de la fonction f avec antécédent x puis fonction f et enfin l'image de f: f(x)
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Lʼimage dʼun nombre est unique.
Un nombre peut avoir un, plusieurs ou aucun antécédents par f.

Exercices n°  p. 220, 221

J'applique

Consigne : f : x \mapsto x^2 + 6x
Quelles sont les images de 0, -2 et -6 par f?

Correction : 
  • L'image de 0 par f est : f(0) = 0^2 + 6 \times 0 = 0.
  • L'image de -2 par f est : f(-2) = (-2)^2 + 6 \times (-2) donc f(-2) = -8.
  • L'image de -6 par f est : f(-6) = (-6)^2 + 6 \times (-6) donc f(-6) = 0.

Consigne : f : x \mapsto x^2
Donnez des antécédents de 9, 0 et -4 par f.

Correction : 
  • 9 a deux antécédents par f : 3 et -3 car f(3) = 9 et f(-3) = 9.
  • 0 est l'antécédent de 0 par f car f(0) = 0.
  • -4 n'a pas d'antécédent par f car il n'existe aucun nombre dont le carré soit égal à -4.
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B
Représentation dʼune fonction

Je perfectionne
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1
 Représentation graphique

Représentation
Dans un repère, la courbe représentative (ou représentation graphique) dʼune fonction f est lʼensemble des points de coordonnées (x ; f (x)).
On note généralement cette courbe représentative C_f.
c410inf95
Le zoom est accessible dans la version Premium.
Exercices n°  p. 223, 224
Méthode
À lʼaide dʼune représentation graphique, on peut trouver les images et antécédents dʼune fonction.
c410inf96-01
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Exercices n°  p. 223, 224

J'applique

Consigne : 
a. À partir du graphique ci-dessus, lire l'image de -1.
b. À partir du graphique ci-dessus, lire les antécédents de -2.

Correction : 
a.
L'image de -1 est 2.
b. -2 a deux antécédents : -2 et 1.
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2
 Représentation dans un tableau de valeurs

Représentation
Un tableau de valeurs contient quelques valeurs prises par une fonction f.
On peut représenter les points correspondants dans un repère : ils se trouvent sur la courbe de f.

Exercices n°  p. 222

J'applique

Consigne : 

x-10123
f(x)-5-3-111

Ce tableau donne quelques valeurs représentant une fonction f.
Quel est l'antécédent de -1 par f ?
Quelle est l'image de -1 par f ?

Correction :
L'antécédent de -1 par f est 1 (3e colonne).
L'image de -1 par f est -5 (1re colonne).
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C
Fonctions linéaires

Je perfectionne
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1
  Notion de fonction linéaire

Définition
Pour un nombre a donné, la fonction qui, à x, associe ax, est une fonction linéaire.
On la note f : x \mapsto ax

Exercices n°  p. 224, 225
Remarque :  Les fonctions linéaires sont les fonctions f pour lesquelles f (x) est proportionnel à x. Si f : x \mapsto ax , alors a est le coefficient de proportionnalité entre x et f (x).
Un tableau de valeurs associé à une fonction linéaire est un tableau de proportionnalité.
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2
  Représentation graphique

Représentation
  La courbe de la fonction linéaire f : x \mapsto ax est une droite passant par lʼorigine du repère.
Le nombre a sʼappelle le coefficient directeur, ou « pente », de cette droite.

Exercices n°  p. 224, 225
Aide
Toute droite non verticale passant par lʼorigine du repère est la courbe dʼune fonction linéaire.

J'applique

Consigne : Tracez la courbe représentative de la fonction linéaire f : x \mapsto 2x.
c410inf97-01
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Correction : Cʼest une droite donc deux points suffisent pour tracer sa représentation graphique.
  • Une fonction linéaire passe toujours par lʼorigine du repère, donc un des points peut être O (0 ; 0).
  • f(2) = 4 donc la droite va passer par le point A (2 ; 4).
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D
Fonctions affines

Je perfectionne
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1
 Notion de fonction affine

Définition
Pour deux nombres a et b donnés, la fonction qui, à x, associe ax + b est une fonction affine.
On la note f : x \mapsto ax + b.

Exercices n°  p. 224, 225
Remarque :  Une fonction linéaire est donc une fonction affine pour laquelle b = 0.
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2
 Représentation graphique

Représentation
La courbe dʼune fonction affine f : x \mapsto ax + b est une droite.
Le nombre a sʼappelle le « coefficient directeur », ou pente, de la droite.
Le nombre b sʼappelle « lʼordonnée à lʼorigine » de la droite.
Représentation graphique
Le zoom est accessible dans la version Premium.
Crédits :
Exercices n°  p. 224, 225
Remarques : 
  • Une droite non verticale est toujours la courbe dʼune fonction affine.
  • Pour un nombre b, la fonction f : x \mapsto b est affine (cʼest bien une fonction de type x \mapsto ax + b avec a = 0). Elle ne prend quʼune valeur : b. On dit que cette fonction est constante. Sa courbe est une droite horizontale.
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3
 Résolution graphique dʼune équation, dʼune inéquation

  
Méthode
Si a \neq c, les courbes des fonctions f : x \mapsto ax + b et g : x \mapsto cx + d sont des droites non parallèles.
Elles ont un point dʼintersection dont lʼabscisse est la solution de lʼéquation f (x) = g (x).
On peut aussi visualiser les solutions des équations f (x)~\text{\textless}~g(x), f (x) > g (x).

Exercices n°  p. 224, 225
Exemple :
résolution graphique d'un équation, d'une inéquation
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Crédits :
Les solutions de lʼinéquation {-2x + 1~\text{\textless}~3x - 4} sont tous les nombres {x > 1}.

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