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J'apprends
P.216-219

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Mathématiques - J'apprends


J'apprends




A. Notion et vocabulaire


  Définition
Une fonction est un processus qui, à un nombre , fait correspondre un nombre noté .
  • se lit « de ».
  • est appelé la « variable » et est la valeur prise par la fonction pour la valeur .
  • On note et on lit « fonction qui à associe  ».
Une fonction agit comme une machine à nombre.
On rentre un nombre dans la machine afin de lui faire subir un certain nombre dʼopérations et on obtient un autre nombre.
  
  J'applique
Consigne : Quelle est la fonction qui à un nombre associe son double ?
Correction :
Le nombre est alors le double de , soit .

  Définitions 
On définit la fonction telle que , alors :
  • le nombre est lʼimage de par la fonction ;
  • est un antécédent de .
c410inf93-01
Lʼimage dʼun nombre est unique.
Un nombre peut avoir un, plusieurs ou aucun antécédents par .

  J'applique
Consigne : 

Quelles sont les images de , et par ?
Correction : 
  • L'image de par est : .
  • L'image de par est : donc .
  • L'image de par est : donc .
Consigne : 
Donnez des antécédents de , et par .
Correction : 
  • a deux antécédents par : et car et .
  • est l'antécédent de par car .
  • n'a pas d'antécédent par car il n'existe aucun nombre dont le carré soit égal à .

B. Représentation dʼune fonction


1. Représentation graphique

  Représentation
Dans un repère, la courbe représentative (ou représentation graphique) dʼune fonction est lʼensemble des points de coordonnées ; .
On note généralement cette courbe représentative .
c410inf95
  Méthode 
À lʼaide dʼune représentation graphique, on peut trouver les images et antécédents dʼune fonction.
c410inf96-01
  J'applique
Consigne : 

a. À partir du graphique ci-dessus, lire l'image de -1.
b. À partir du graphique ci-dessus, lire les antécédents de -2.
Correction : 
a.
L'image de -1 est 2.
b. -2 a deux antécédents : -2 et 1.

2. Représentation dans un tableau de valeurs

  Représentation
Un tableau de valeurs contient quelques valeurs prises par une fonction .
On peut représenter les points correspondants dans un repère : ils se trouvent sur la courbe de .
  
  J'applique
Consigne : 

x -1 0 1 2 3
f(x) -5 -3 -1 1 1
Ce tableau donne quelques valeurs représentant une fonction .
Quel est l'antécédent de -1 par ?
Quelle est l'image de -1 par ?
Correction : 
L'antécédent de -1 par est 1 (3e colonne).
L'image de -1 par est -5 (1re colonne).

C. Fonctions linéaires


1. Notion de fonction linéaire

  Définition
Pour un nombre donné, la fonction qui, à , associe , est une fonction linéaire.
On la note

Remarque : Les fonctions linéaires sont les fonctions pour lesquelles est proportionnel à . Si , alors est le coefficient de proportionnalité entre et .
Un tableau de valeurs associé à une fonction linéaire est un tableau de proportionnalité.

2. Représentation graphique

  Représentation
La courbe de la fonction linéaire est une droite passant par lʼorigine du repère.
Le nombre sʼappelle le coefficient directeur, ou « pente », de cette droite.

Toute droite non verticale passant par lʼorigine du repère est la courbe dʼune fonction linéaire.

  J'applique
Consigne : Tracez la courbe représentative de la fonction linéaire .
c410inf97-01
Correction : Cʼest une droite donc deux points suffisent pour tracer sa représentation graphique.
  • Une fonction linéaire passe toujours par lʼorigine du repère, donc un des points peut être O (0 ; 0).
  • donc la droite va passer par le point A (2 ; 4).

D. Fonctions affines


1. Notion de fonction affine

  Définition
Pour deux nombres et donnés, la fonction qui, à , associe est une fonction affine.
On la note .

Remarque : Une fonction linéaire est donc une fonction affine pour laquelle .

2. Représentation graphique

c410inf97-01
  Représentation
La courbe dʼune fonction affine est une droite.
Le nombre sʼappelle le « coefficient directeur », ou pente, de la droite.
Le nombre sʼappelle « lʼordonnée à lʼorigine » de la droite.

Remarques :
  • Une droite non verticale est toujours la courbe dʼune fonction affine.
  • Pour un nombre , la fonction est affine (cʼest bien une fonction de type avec ). Elle ne prend quʼune valeur : . On dit que cette fonction est constante. Sa courbe est une droite horizontale.

3. Résolution graphique dʼune équation, dʼune inéquation

  
c410inf97-01
Méthode 
Si , les courbes des fonctions et  sont des droites non parallèles.
Elles ont un point dʼintersection dont lʼabscisse est la solution de lʼéquation .
On peut aussi visualiser les solutions des équations , .

Exemple : 
Les solutions de lʼinéquation sont tous les nombres .
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