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J'apprends
P.104-107

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Mathématiques - J'apprends


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A. Résolution d’équations


1. Notions d’équation, de solution

  Définitions
On met deux expressions littérales en équation quand on veut savoir pour quelles valeurs des variables les membres de droite et de gauche sont égaux. Dans une équation, les lettres utilisées sont appelées des inconnues parce quʼon ne connait pas leur valeur quand on écrit lʼéquation.
On dit quʼun nombre est solution dʼune équation quand lʼégalité est vraie lorsquʼon remplace une inconnue par ce nombre.

Exemple :
  • Le nombre est une solution de lʼéquation ci-contre car quand on remplace par , les deux membres prennent la même valeur :
    et .
  • Le nombre nʼest pas une solution de lʼéquation ci-contre car quand on remplace par , les deux membres nʼont pas la même valeur :
    et .

  Définition
Résoudre une équation, cʼest trouver toutes ses solutions.

Exemple :
Lʼéquation a une seule solution : .

2. Résolution d’une équation à une inconnue, du premier degré

  Propriétés
  • Une égalité est toujours valable lorsquʼon additionne ou soustrait un même nombre aux deux membres de lʼégalité.
  • Une égalité est toujours valable lorsquʼon multiplie ou divise les deux membres de lʼégalité par un même nombre non nul.
Ainsi, si 
  • Si

  Méthode
Pour résoudre une équation :
  • On applique des opérations successives aux deux membres de lʼéquation dans le but dʼavoir lʼinconnue dʼun seul côté. On obtient ainsi la valeur de lʼinconnue.
  • On vérifie que chaque valeur trouvée est bien solution de lʼéquation.

  J’applique
Consigne :
Résolvez .
Correction :
  • Supposons
    donc (on retranche )
    donc
    donc (on ajoute )
    donc
    donc (on divise par )
    donc
  • On vérifie pour

                
  • Donc est la seule solution de cette équation.
Il ne faut surtout pas oublier lʼétape de vérification !

  Propriété
Un produit est nul si et seulement si lʼun de ses facteurs est nul.
Donc souvent pour résoudre des équations :
  • On met tous les termes du même côté du signe « » ;
  • On factorise ;
  • On trouve les valeurs de lʼinconnue pour lesquelles au moins un des facteurs est nul.

B. Résolution d’inéquations


1. Inégalités strictes et larges

  Définition
Pour comparer des nombres, on utilise deux types de symboles :
  • Les symboles larges :
    • : est supérieur ou égal à ;
    • : est inférieur ou égal à .
  • Les symboles stricts :
    • : est strictement supérieur à ;
    • : est strictement inférieur à .
Exemple :
Lʼinégalité est vérifiée pour tous les nombres allant de (inclus) à (exclu) et peut être représentée sur une droite graduée. Le sens des crochets a une signification :
  • Lorsque le crochet est ouvert vers lʼextérieur de la ligne, la valeur nʼest pas une solution. Ici, nʼest pas une valeur possible de .
  • Lorsque le crochet est ouvert vers lʼintérieur de la ligne, la valeur est solution. Ici, est une valeur possible de .

2. Notions d’inéquation

  Définitions
On met deux expressions littérales en inéquation quand on veut savoir pour quelles valeurs des inconnues les membres de droite et de gauche vérifient une inégalité. On dit quʼun nombre est solution dʼune inéquation quand lʼinégalité est vérifiée lorsquʼon remplace une inconnue par ce nombre.
Résoudre une inéquation, cʼest trouver toutes ses solutions.

3. Résolution d’une inéquation à une inconnue, du premier degré

  Propriété
  • On obtient une inégalité de même sens lorsquʼon additionne ou soustrait un même nombre à chacun des membres de lʼinégalité.
  • On obtient une inégalité de même sens lorsquʼon multiplie ou divise par un même nombre strictement positif chacun des membres de lʼinégalité.
  • On obtient une inégalité de sens contraire lorsquʼon multiplie ou divise par un même nombre strictement négatif chacun des membres de lʼinégalité.

  Méthode
Pour résoudre une inéquation, on applique des opérations successives aux deux membres de lʼinéquation jusquʼà ce que lʼon ait uniquement lʼinconnue dʼun côté. On obtient ainsi la valeur de lʼinconnue.

  J'applique
Consigne : Résolvez .
Correction : 
  • Supposons
    donc (on retranche )
    donc
    donc (on ajoute )
    donc
    donc (on multiplie par )
    donc
    donc
  • Les solutions de cette inéquation sont les nombres tels que .
  • On représente les résultats sur une droite graduée.

  J'applique
Consigne : 
Résolvez l'inéquation suivante : .
Correction : 
  • Supposons  
    donc  (on soustrait )
    donc
    donc (on multiplie par ou on divise par qui sont strictement négatifs, donc le sens de l'inégalité change.)
    donc
  • Les solutions de sont les nombres .
  • On les représente sur la droite graduée ci-dessous.
On change le sens de lʼinéquation si on la multiplie ou divise par un nombre strictement négatif.
Remarque : Pour éviter de multiplier lʼinéquation par un nombre négatif, on aurait pu écrire :

donc (on soustrait )
donc
donc (on ajoute )
donc
donc  (on divise par , et ).
donc

À chaque fois que lʼon multiplie une inégalité par un nombre, il faut penser à préciser si ce nombre est positif (ou négatif) pour justifier que lʼinégalité ne change pas de sens (ou, au contraire, change de sens).

Remarque : Une équarion ou une inéquation peut aussi être résolue à lʼaide dʼun graphique.
On représente dʼabord les deux membres de lʼéquation ou de lʼinéquation dans un même repère orthogonal. Ensuite on utilise ces représentations pour voir pour quelles valeurs de x chaque membre est supérieur, égal ou inférieur à lʼautre.


Exemple
: Pour résoudre lʼinéquation , on trace le graphique :   On a donc pour tous les x où la courbe représentatrice de est en dessous de celle représentatrice de soit .
Notez que lʼon voit ici que pour .
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