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Les parents de Yasmine dessinent les plans de leur futur appartement. Par soucis d’équité, ils veulent que la chambre de Yasmine ait exactement la même surface que celle de son petit frère. Pouvez-vous les aider ?

Ils cherchent où placer la cloison verte pour que la chambre A et la chambre B aient la même aire. Ils commencent en la plaçant le plus bas possible. Ils tentent ensuite de placer la cloison plus haut.

Aucune des deux solutions ne convient.
Faites dʼautres tentatives en plaçant la cloison entre les positions vues dans la partie précédente pour que les deux chambres aient exactement la même aire. Essayez en les mettant au milieu, un peu plus haut ou un peu plus bas.

On peut tomber sur la bonne réponse après de nombreuses tentatives, mais il existe une méthode beaucoup plus rapide ! Pour cela, il faut :

• transformer ce problème en une équation ;
• résoudre cette équation.

Activité 1 : L’apprenti architecte

1

Calculez lʼaire des deux chambres dans chacun des cas.

2

Comparez les surfaces obtenues. Ont-ils rempli leur objectif ?

3

On appelle $x$ la distance de la cloison par rapport à sa position basse (voir plan). Exprimez en fonction de $x$ la distance restante par rapport à la position la plus haute (notée « ? » sur le plan)

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Exprimez ensuite lʼaire des deux chambres en fonction de $x$.

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On sait que lʼaire de la chambre A doit être égale à celle de la chambre B. Quelle égalité pouvez-vous écrire ? Cʼest ce quʼon appelle une « équation ».

Le grand-père de Yasmine et Mattéo souhaite leur léguer à chacun un lopin de terre.

Il propose de partager le terrain ci-dessous, assimilé à un trapèze rectangle, de hauteur 200 m, de petite base 300 m et de grande base 400 m.
Le partage se fait en deux parties : lʼune rectangulaire pour Yasmine et lʼautre pour Mattéo, le tout de telle sorte que la partie rectangulaire ait une superficie plus grande.
Mattéo sʼexclame : « Facile, si on fait un rectangle de 300 m de longueur, ça marche ! »

Yasmine propose une solution :
« On va dire que la longueur du rectangle est un nombre noté $L$. On va représenter sur une droite graduée toutes les valeurs de $L$ pour lesquelles le rectangle est le plus grand.
– Cʼest comme pour le Space Mountain ! sʼécrit Mattéo. La taille minimum requise est de 1,32 m. Pour savoir si on lʼatteint, un panneau est situé à lʼentrée avec des graduations !
– Oui, cʼest un peu ça la droite graduée, dit Yasmine.
– Mais il faudrait trouver une méthode permettant de donner la taille minimum requise à coup sûr... »

Exercice 2 : Activité 2 : Un héritage pour Yasmine et Mattéo

1

Que pensez-vous de l'affirmation de Mattéo ? « Oui, répond Yasmine, mais dans ce cas mon terrain est vraiment trop grand par rapport au tien. »

2

Existe-t-il dʼautres solutions pour la valeur cherchée ?

3

Pouvez-vous les dénombrer ?



Partie 2 : Taille limite et Space Mountain

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Exprimez la surface du rectangle en fonction de $L$, puis la surface de lʼautre parcelle en fonction de celle du champ et de celle du rectangle.

5

Pour quelle valeur de $L$ les surfaces de champs de Yasmine et Mattéo sont-elles égales  ? Est-ce que $L$ peut être inférieure à cette valeur ?

6

Dessinez une droite graduée allant de 0 à 400. Placez la valeur minimale que peut prendre $L$. Surlignez la partie de la droite graduée correspondant à toutes les valeurs de $L$ que peuvent choisir Mattéo et Yasmine. Est-ce quʼil y a une valeur maximale que peut prendre $L$ ? « Allez, dit Yasmine à son grand-père, je vais choisir la valeur minimale, comme ça Mattéo et moi, nous aurons un terrain de la même superfi cie : pas de jaloux ! »