Mathématiques Cycle 4
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Thème 1 : Nombres et calculs
Ch. 1
Arithmétique
Ch. 2
Nombres relatifs
Ch. 3
Nombres fractionnaires
Ch. 4
Calcul littéral
Ch. 5
Équations et inéquations
Ch. 6
Proportionnalité
Ch. 7
Puissances
Thème 2 : Organisation et gestion de données
Ch. 8
Statistiques
Ch. 9
Probabilités
Ch. 10
Fonctions
Thème 3 : Grandeurs et mesures
Ch. 11
Grandeurs et mesures
Thème 4 : Espace et géométrie
Ch. 12
Transformations dans le plan
Ch. 13
Triangles
Ch. 14
Angles et droites parallèles
Ch. 15
Géometrie dans l'espace
Ch. 16
Théorème de pythagore
Ch. 17
Agrandissements - réductions
Ch. 18
Trigonométrie
Annexes
Livret algorithmique et programmation
Pistes EPI
Dossier brevet
Chapitre 5
Les maths autrement

Bien avant les équations

Présentation

Muhammad Ibn Mūsā al-Khwārizmī
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Muhammad Ibn Mūsā al-Khwārizmī


Muhammad Ibn Mūsā al-Khwārizmī (780-850) est un astronome perse. Ayant aussi rédigé plusieurs ouvrages de mathématiques, Al-Khwarizmi est connu comme le père de l'algèbre.
L'algèbre est une branche des mathématiques qui permet de traiter des équations grâce aux propriétés des opérations.

Compétences travaillées

  • Je sais passer du langage naturel au langage mathématique et inversement.
  • Je mène à bien un calcul littéral.
  • J'envisage plusieurs méthodes de résolution.

Étape 1
Les équations du monde musulman

Nous allons utiliser les trois règles de base expliquées au calife par Al-Khwarizmi dans son ouvrage L'Abrégé du calcul par al-jabr et al-muqabala. Son livre ne contient aucun chiffre, toutes les équations sont exprimées avec des mots. Al-Khwarizmi pose un problème de cette manière : « Quand tu ôtes cinq dirhams à sept shay, tu obtiens sept dirhams et deux shay. »
Dans les problèmes dʼAl-Khwarizmi, les dirhams représentent les nombres connus (ou termes constants) et shay signifie « la chose », cʼest lʼinconnue.

1. Modélisez ce problème par une équation.
2. Pour résoudre cette équation, nous allons utiliser al-jabr (la restauration). Il sʼagit de faire disparaitre les soustractions de lʼéquation. Quelle équation obtenez-vous alors ?
3. Ensuite, al-muqabala (lʼéquilibre) permet de retrancher aux deux membres des termes égaux, il sʼagit dʼune simplification. Avec les notations modernes, quelle équation, de la forme , obtenez-vous ?
4. Il suffit ensuite dʼappliquer al-hatt pour obtenir la valeur de shay : cʼest la division des deux membres par un même nombre. Concluez en donnant la solution du problème.

Étape 2
Une équation chinoise

Au IIIe siècle av. J.-C., les Chinois nʼécrivaient pas dʼéquation. Ils utilisaient une méthode géométrique permettant de déterminer la longueur du carré inscrit dans un triangle rectangle.

1. En utilisant les équations.
Triangle rectangle.
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    a. Sachant que les longueurs du grand triangle sont proportionnelles aux longueurs du triangle bleu, écrivez une égalité liant à et .
    b. Déduisez-en lʼexpression de en fonction de et .
2. Liu Hui a construit un deuxième triangle rectangle identique.
    a. Écrivez lʼaire totale en fonction de et de .
    2 triangles rectangles l'un sur l'autre.
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    Voici les mêmes pièces assemblées autrement.
    Image d'une autre figure avec les mêmes pièces que pour les figures précédentes.
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    b. Retrouvez alors lʼexpression de en fonction de et .

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