Muhammad Ibn Mūsā al-Khwārizmī (780-850) est un astronome perse. Ayant aussi rédigé plusieurs ouvrages de mathématiques, Al-Khwarizmi est connu comme le père de l'algèbre.
L'algèbre est une branche des mathématiques qui permet de traiter des équations grâce aux propriétés des opérations.

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Compétences travaillées

Je sais passer du langage naturel au langage mathématique et inversement.
Je mène à bien un calcul littéral.
J'envisage plusieurs méthodes de résolution.

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Étape 1
Les équations du monde musulman

Nous allons utiliser les trois règles de base expliquées au calife par Al-Khwarizmi dans son ouvrage L'Abrégé du calcul par al-jabr et al-muqabala. Son livre ne contient aucun chiffre, toutes les équations sont exprimées avec des mots. Al-Khwarizmi pose un problème de cette manière : « Quand tu ôtes cinq dirhams à sept shay, tu obtiens sept dirhams et deux shay. »
Dans les problèmes dʼAl-Khwarizmi, les dirhams représentent les nombres connus (ou termes constants) et shay signifie « la chose », cʼest lʼinconnue.

1. Modélisez ce problème par une équation.

2. Pour résoudre cette équation, nous allons utiliser al-jabr (la restauration). Il sʼagit de faire disparaitre les soustractions de lʼéquation. Quelle équation obtenez-vous alors ?

3. Ensuite, al-muqabala (lʼéquilibre) permet de retrancher aux deux membres des termes égaux, il sʼagit dʼune simplification. Avec les notations modernes, quelle équation, de la forme ax = b, obtenez-vous ?

4. Il suffit ensuite dʼappliquer al-hatt pour obtenir la valeur de shay : cʼest la division des deux membres par un même nombre. Concluez en donnant la solution du problème.

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Étape 2
Une équation chinoise

Au III^e siècle av. J.-C., les Chinois nʼécrivaient pas dʼéquation. Ils utilisaient une méthode géométrique permettant de déterminer la longueur du carré inscrit dans un triangle rectangle.

1. En utilisant les équations.

a. Sachant que les longueurs du grand triangle sont proportionnelles aux longueurs du triangle bleu, écrivez une égalité liant x à a et b.

b. Déduisez-en lʼexpression de x en fonction de a et b.

2. Liu Hui a construit un deuxième triangle rectangle identique.

a. Écrivez lʼaire totale S en fonction de a et de b.

2 triangles rectangles l'un sur l'autre.

Voici les mêmes pièces assemblées autrement.

Image d'une autre figure avec les mêmes pièces que pour les figures précédentes.

b. Retrouvez alors lʼexpression de x en fonction de a et b.

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Supplément numérique

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Lisez un petit

conte mathématique

sur les équations.

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Mathématiques Cycle 4

Bien avant les équations

Présentation

Muhammad Ibn Mūsā al-Khwārizmī

Compétences travaillées

Étape 1Les équations du monde musulman

Étape 2Une équation chinoise

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Les équations du monde musulman

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Une équation chinoise