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Outils informatiquesp. 23-31

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Chapitre 1

Priorités opératoires

Chapitre 2

Introduction au calcul littéral

Chapitre 3

Introduction aux nombres relatifs

Chapitre 4

Opérations sur les nombres relatifs

Chapitre 5

Nombres rationnels

Chapitre 6

Puissances

Chapitre 7

Initiation aux équations

Chapitre 8

Symétrie centrale, parallélisme et angles

Chapitre 9

Triangles et droites remarquables

Chapitre 10

Parallélogrammes

Chapitre 11

Représentation de l’espace

Chapitre 12

Statistiques et probabilités

Chapitre 13

Proportionnalité

Chapitre 14

Introduction aux fonctions

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Chapitre 1

Cours

Priorités opératoires

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Multiples et diviseurs

Définitions

On considère deux nombres entiers

a

b

où

b

est différent de

0

. Lorsqu'il existe un nombre entier

q

tel que

a = b \times q

on dit alors que :

$a$ est un multiple de $b$ ;
$b$ est un diviseur de $a$ ;
$a$ est divisible par $b$ .

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Remarque :

a

est un multiple de

b

si, et seulement si, le reste de la division euclidienne de

a

par

b

est égal à

0

Exemples :

1. La division euclidienne de

32

par

8

se traduit par l'égalité

32 = 8 \times 4 + 0

. Le reste est nul, on peut dire que

32

est un multiple de

8

, que

8

est un diviseur de

32

et que

32

est divisible par

8

.

2. La division euclidienne de

45

par

6

se traduit par l'égalité

45 = 6 \times 7 + 3

. Le reste est égal à

3

. On en déduit que

45

n'est pas un multiple de

6

et que

45

n'est pas divisible par

6

Propriétés : critères de divisibilité

Un nombre entier est divisible :

par $2$ si, et seulement si, le chiffre de ses unités est $0$ ; $2$ ; $4$ ; $6$ ou $8$ .
par $5$ si, et seulement si, le chiffre de ses unités est $0$ ou $5$ .
par $10$ si, et seulement si, le chiffre de ses unités est $0$ .
par $3$ si, et seulement si, la somme de ses chiffres est divisible par $3$ .
par $9$ si, et seulement si, la somme de ses chiffres est divisible par $9$ .

Exemple :

Dans le nombre

264

, le chiffre des unités est

4

donc

264

est un multiple de

2

mais pas de

5

ni de

10

.
De plus,

2 + 6 + 4 = 12

12

est un multiple de

3

mais pas de

9

. Ainsi,

264

est également un multiple de

3

mais pas de

9

Propriété

Un nombre écrit sous forme fractionnaire ne change pas lorsque l'on multiplie ou lorsque l'on divise son numérateur et son dénominateur par un même nombre non nul.

Remarque : Pour simplifier une fraction, on peut utiliser les critères de divisibilité et la propriété ci-dessus.

Exemple :

Le nombre

264

est divisible par

3

et on a

264 = 3 \times 88

donc

\frac{264}{21} = \frac{88 \times 3}{7 \times 3} = \frac{88}{7}

Conséquence : Pour diviser un nombre par un nombre décimal, on utilise la propriété précédente.

Exemples :

16 \div 0, 2 = \frac{16}{0 , 2} = \frac{16 \times 10}{0 , 2 \times 10} = \frac{160}{2} = 80

1, 5 \div 0, 3 = \frac{1 , 5}{0 , 3} = \frac{1 , 5 \times 10}{0 , 3 \times 10} = \frac{15}{3} = 5

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Priorités opératoires

Propriété

Dans une expression numérique on effectue les calculs dans l'ordre suivant :

ceux à l'intérieur des parenthèses ;
puis les multiplications et les divisions, de gauche à droite ;
puis les additions et les soustractions, de gauche à droite.

Exemples :

A = 10 + 6 \times 3

A = 10 + 18

A = 28

B = 8 \times (15 - 6)

B = 8 \times 9

B = 72

C = 5 \times 7 - 60 \div 10 + 13

C = 35 - 6 + 13

C = 29 + 13

C = 42

Remarque : Dans une expression contenant plusieurs parenthèses, on effectue en priorité les calculs qui se trouvent dans les parenthèses les plus intérieures.

Exemple :

D = (6 + 3 \times (7 - 5)) \div 3

→ On commence par le calcul entre les parenthèses les plus intérieures.

D = (6 + 3 \times 2) \div 3

D = (6 + 6) \div 3

→ On effectue ensuite les calculs entre parenthèses en commençant par la multiplication.

D = 12 \div 3

D = 4

→ On termine par le calcul hors parenthèses : ici, la division.

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Définitions

Une expression comportant plusieurs opérations est appelée une somme, une différence, un produit ou un quotient en fonction de la dernière opération à effectuer.
Les nombres que l'on ajoute ou que l'on soustrait s'appellent des termes.
Les nombres que l'on multiplie s'appellent des facteurs.

Exemples :

1. Lorsque l'on calcule

3 \times (7 + 2)

, la dernière opération à effectuer est la multiplication. L'expression est donc un produit. On dit alors que c'est le produit de

3

par la somme de

7

2

. Les nombres

3

(7 + 2)

sont les facteurs de ce produit. Les nombres

7

2

sont les termes de la somme.

2. La phrase « le quotient de

35

par la somme de

2

3

» se traduit par l'expression numérique

35 \div (2 + 3)

. La division devant être la dernière opération à effectuer, on met des parenthèses autour de l'addition.

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