Chapitre 1
Cours
Priorités opératoires
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1
Multiples et diviseurs
Définitions
On considère deux nombres entiers a et b où b est différent de \mathrm{0}. Lorsqu'il existe
un nombre entier q tel que a=b \times q on dit alors que :
- a est un multiple de b ;
- b est un diviseur de a ;
- a est divisible par b.
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Remarque : a est un multiple de b si, et seulement si, le reste de la division euclidienne de a par b est égal à \mathrm{0}.
Exemples :
1. La division euclidienne de \mathrm{32} par \mathrm{8} se traduit par l'égalité \mathrm{32=8 \times 4+0}. Le reste est nul, on peut dire que \mathrm{32} est un multiple de \mathrm{8}, que \mathrm{8} est un diviseur de \mathrm{32} et que \mathrm{32} est divisible par \mathrm{8}.
2. La division euclidienne de \mathrm{45} par \mathrm{6} se traduit par l'égalité \mathrm{45=6 \times 7+3}. Le reste est égal à \mathrm{3}. On en déduit que \mathrm{45} n'est pas un multiple de \mathrm{6} et que \mathrm{45} n'est pas divisible par \mathrm{6}.
1. La division euclidienne de \mathrm{32} par \mathrm{8} se traduit par l'égalité \mathrm{32=8 \times 4+0}. Le reste est nul, on peut dire que \mathrm{32} est un multiple de \mathrm{8}, que \mathrm{8} est un diviseur de \mathrm{32} et que \mathrm{32} est divisible par \mathrm{8}.
2. La division euclidienne de \mathrm{45} par \mathrm{6} se traduit par l'égalité \mathrm{45=6 \times 7+3}. Le reste est égal à \mathrm{3}. On en déduit que \mathrm{45} n'est pas un multiple de \mathrm{6} et que \mathrm{45} n'est pas divisible par \mathrm{6}.
Propriétés : critères de divisibilité
Un nombre entier est divisible :
- par 2 si, et seulement si, le chiffre de ses unités est 0 ; 2 ; 4 ; 6 ou 8.
- par 5 si, et seulement si, le chiffre de ses unités est 0 ou 5.
- par 10 si, et seulement si, le chiffre de ses unités est 0.
- par 3 si, et seulement si, la somme de ses chiffres est divisible par 3.
- par 9 si, et seulement si, la somme de ses chiffres est divisible par 9.
Exemple :
Dans le nombre 264, le chiffre des unités est 4 donc 264 est un multiple de 2 mais pas de 5 ni de 10.
De plus, 2+6+4=12 et 12 est un multiple de 3 mais pas de 9. Ainsi, 264 est également un multiple de 3 mais pas de 9.
Dans le nombre 264, le chiffre des unités est 4 donc 264 est un multiple de 2 mais pas de 5 ni de 10.
De plus, 2+6+4=12 et 12 est un multiple de 3 mais pas de 9. Ainsi, 264 est également un multiple de 3 mais pas de 9.
Propriété
Un nombre écrit sous forme fractionnaire ne change pas lorsque l'on multiplie ou lorsque l'on divise son numérateur et son dénominateur par un même nombre non nul.
Remarque : Pour simplifier une fraction, on peut utiliser les critères de divisibilité et la propriété ci-dessus.
Exemple :
Le nombre \mathrm{264} est divisible par \mathrm{3} et on a \mathrm{264=3 \times 88} donc \mathrm{\frac{264}{21}=\frac{88 {\color{red}\times 3}}{7 {\color{red}\times 3}}=\frac{88}{7}}.
Le nombre \mathrm{264} est divisible par \mathrm{3} et on a \mathrm{264=3 \times 88} donc \mathrm{\frac{264}{21}=\frac{88 {\color{red}\times 3}}{7 {\color{red}\times 3}}=\frac{88}{7}}.
Conséquence : Pour diviser un nombre par un nombre décimal, on utilise la propriété précédente.
Exemples :
1. \mathrm{16 \div 0,2=\frac{16}{0,2}=\frac{16 {\color{red}\times 10}}{0,2 {\color{red}\times 10}}=\frac{160}{2}=80}
2. \mathrm{1,5 \div 0,3=\frac{1,5}{0,3}=\frac{1,5 {\color{red}\times 10}}{0,3 {\color{red}\times 10}}=\frac{15}{3}=5}
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2
Priorités opératoires
Propriété
Dans une expression numérique on effectue les calculs dans l'ordre suivant :
- ceux à l'intérieur des parenthèses ;
- puis les multiplications et les divisions, de gauche à droite ;
- puis les additions et les soustractions, de gauche à droite.
Exemples :
1. \mathrm{A}=10+{\color{blue}6 \times 3}
\mathrm{A}=10+{\color{blue}18}
\mathrm{A}=28
\mathrm{A}=10+{\color{blue}18}
\mathrm{A}=28
2. \mathrm{B}=8\times({\color{blue}15-6})
\mathrm{B}=8\times{\color{blue}9}
\mathrm{B=72}
\mathrm{B}=8\times{\color{blue}9}
\mathrm{B=72}
3. \mathrm{C}={\color{blue}5 \times 7}-{\color{red}60 \div 10}+13
\mathrm{C}={\color{blue}35}-{\color{red}6}+13
\mathrm{C=29+13}
\mathrm{C=42}
\mathrm{C}={\color{blue}35}-{\color{red}6}+13
\mathrm{C=29+13}
\mathrm{C=42}
Remarque : Dans une expression contenant plusieurs parenthèses, on effectue en priorité les calculs qui se trouvent dans les parenthèses les plus intérieures.
Exemple :
\mathrm{\mathrm{D}=(6+3 \times \underbrace{({\color{blue}7-5})}) \div 3}
→ On commence par le calcul entre les parenthèses les plus intérieures.
\mathrm{\mathrm{D}=(6+\underbrace{3 \times \quad {\color{blue}2}}) \div 3}
\mathrm{\mathrm{D}=\underbrace{(6+ 6)} \div 3}
\mathrm{\mathrm{D}=\underbrace{(6+ 6)} \div 3}
→ On effectue ensuite les calculs entre parenthèses en commençant par la multiplication.
\mathrm{D}= 12÷3
\mathrm{D}=4
\mathrm{D}=4
→ On termine par le calcul hors parenthèses : ici, la division.
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Définitions
Une expression comportant plusieurs opérations est appelée une somme, une différence, un produit ou un quotient en fonction de la dernière opération à effectuer.Les nombres que l'on ajoute ou que l'on soustrait s'appellent des termes.
Les nombres que l'on multiplie s'appellent des facteurs.
Exemples :
1. Lorsque l'on calcule \mathrm{3 \times(7+2)}, la dernière opération à effectuer est la multiplication. L'expression est donc un produit. On dit alors que c'est le produit de \mathrm{3} par la somme de \mathrm{7} et \mathrm{2}. Les nombres \mathrm{3} et \mathrm{(7+2)} sont les facteurs de ce produit. Les nombres \mathrm{7} et \mathrm{2} sont les termes de la somme.
2. La phrase « le quotient de \mathrm{35} par la somme de \mathrm{2} et \mathrm{3} » se traduit par l'expression numérique \mathrm{35÷(2+3)}. La division devant être la dernière opération à effectuer, on met des parenthèses autour de l'addition.
1. Lorsque l'on calcule \mathrm{3 \times(7+2)}, la dernière opération à effectuer est la multiplication. L'expression est donc un produit. On dit alors que c'est le produit de \mathrm{3} par la somme de \mathrm{7} et \mathrm{2}. Les nombres \mathrm{3} et \mathrm{(7+2)} sont les facteurs de ce produit. Les nombres \mathrm{7} et \mathrm{2} sont les termes de la somme.
2. La phrase « le quotient de \mathrm{35} par la somme de \mathrm{2} et \mathrm{3} » se traduit par l'expression numérique \mathrm{35÷(2+3)}. La division devant être la dernière opération à effectuer, on met des parenthèses autour de l'addition.
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