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Chapitre 1
Applications directes

Priorités opératoires

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Utiliser les critères de divisibilité par 3 et 9

Diviser par un nombre décimal

Utiliser les priorités opératoires

Nommer un calcul

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Méthode 1

Utiliser les critères de divisibilité par 3 et 9

Énoncé

1. Le nombre 34\ 572 est-il divisible par \mathrm{3} ? Par \mathrm{9} ? Justifier.
2. Le nombre 287\ 793 est-il divisible par \mathrm{3} ? Par \mathrm{9} ? Justifier.

Solution

1. On additionne les chiffres de \mathrm{34\ 572} : {3+4+5+7+2=21.} Or, \mathrm{21} est divisible par \mathrm{3} car \mathrm{21=3 \times 7} mais pas par \mathrm{9}. On en déduit que \mathrm{34\ 572} est divisible par \mathrm{3} mais n'est pas divisible par \mathrm{9}.

2. On additionne les chiffres de \mathrm{287\ 793} : {2+8+7+7+9+3=36.} Or, \mathrm{36} est divisible par \mathrm{3 (12\times3)} et par \mathrm{9 (4\times 9)}. On en déduit que \mathrm{287\ 793} est divisible par \mathrm{3} et par \mathrm{9}.

Explications

Pour savoir si un nombre est divisible par 3\ (par 9) :
  • on calcule la somme des chiffres ;
  • si la somme est divisible par 3\ (par 9), alors le nombre est divisible par 3\ (par 9) ;
  • si la somme n'est pas divisible par 3\ (par 9), alors le nombre n'est pas divisible par 3\ (par 9).


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15
Générateur d'exercices
1. Quelle est la somme des chiffres du nombre \mathrm{7 431} ?
 2. Le nombre \mathrm{7 431} est-il divisible par \mathrm{3} ?
 3. Le nombre \mathrm{7 431} est-il divisible par \mathrm{9} ?
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16
1. Quelle est la somme des chiffres du nombre \mathrm{34 856} ?
 2. Le nombre \mathrm{34 856} est-il divisible par \mathrm{3} ?
 3. Le nombre \mathrm{34 856} est-il divisible par \mathrm{9} ?
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17
1. Le nombre \mathrm{372} est-il divisible par \mathrm{3} ?
2. Le nombre \mathrm{945} est-il divisible par \mathrm{9} ?
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18
1. Le nombre \mathrm{8 453} est-il divisible par \mathrm{3} ?
2. Le nombre \mathrm{2 574} est-il divisible par \mathrm{9} ?
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19
On considère les nombres \mathrm{13} ; \mathrm{837} et \mathrm{159}.

1. Lesquels sont divisibles par \mathrm{3} ?
2. Lesquels sont divisibles par \mathrm{9} ?
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20
1. Donner un multiple de \mathrm{3} composé de quatre chiffres.
2. Donner un multiple de \mathrm{9} composé de quatre chiffres.
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21
1. On considère le nombre \mathrm{3{\color{red}⏹}4}. Par quel(s) chiffre(s) peut-on remplacer ⏹ pour obtenir un nombre divisible par \mathrm{9} ?
2. On considère le nombre \mathrm{8 {\color{red}⏹}31}. Par quel(s) chiffre(s) peut-on remplacer ⏹ pour obtenir un nombre divisible par \mathrm{3} mais pas par \mathrm{9} ?
3. Donner un nombre à cinq chiffres qui est un multiple de 3 mais pas un multiple de 9.
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22
1. Donner le plus grand multiple de \mathrm{3} à cinq chiffres.
2. Donner le plus petit multiple de \mathrm{3} à cinq chiffres.
3. Donner le plus petit multiple de \mathrm{9} à quatre chiffres.
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Méthode 2

Diviser par un nombre décimal

Énoncé

Effectuer la division \mathrm{4,5÷0,9}.

Solution

\mathrm{\begin{aligned} 4,5 \div 0,9 & =\frac{4,5}{0,9} \\ & =\frac{4,5 {\color{red}\times 10}}{0,9 {\color{red}\times 10}} \\ & =\frac{45}{9} \\ & =45 \div 9 \\ & =5 \end{aligned}}
Ainsi, \mathrm{4,5÷0,9=5}.

Explications

L'objectif est de se ramener à une division dont le diviseur est entier :
  • on écrit la division sous forme fractionnaire ;
  • on cherche une écriture fractionnaire égale avec un dénominateur entier en multipliant par \mathrm{10}, \mathrm{100}, \mathrm{1 000}, etc. ;
  • on effectue la division.
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Pour les exercices  
23
à   
25
, transformer les écritures fractionnaires en écritures fractionnaires de dénominateur entier.

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23
1. \mathrm{\frac{4,2}{0,7}}


2. \frac{3,4}{0,2}


3. \frac{0,69}{0,5}


4. \frac{7,4}{0,4}


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24
1. \frac{0,45}{0,09}
2. \frac{72}{0,08}
3. \frac{0,35}{0,005}
4. \frac{3}{0,03}
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25
1. \frac{0,54}{0,6}


2. \frac{4,2}{0,001}


3. \frac{1,28}{0,07}


4. \frac{5}{0,9}


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26
On veut calculer \mathrm{5,4÷0,6}.

1. a. Calculer  \mathrm{5,4\times 10}  et  \mathrm{0,6\times 10}.
b. Écrire le quotient  \mathrm{\frac{5,4}{0,6}}  sans utiliser de virgule.

 2. En déduire le résultat de \mathrm{5,4÷0,6}.
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27
On veut calculer \mathrm{0,21÷0,7}.

1. a. Recopier et compléter l'égalité suivante : \mathrm{\frac{0,21 \times \ldots}{0,7 \times \ldots}=\frac{21}{\ldots}}

 b. Justifier que la dernière fraction obtenue est égale à \mathrm{\frac{3}{10}}.

 c. Donner l'écriture décimale de \mathrm{0,21÷0,7}.
2. Dans la question 1. a. , était-il suffisant de multiplier par 10 ? Justifier.
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Pour les exercices  
28
à   
31
, transformer les écritures fractionnaires en écritures fractionnaires de dénominateur entier.

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28
1. 3,6÷0,4
2. 7,2 \div 0,8
3. 4,2 \div 0,6
4. 8,1 \div 0,9
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29
1. 0,64 \div 0,08
2. 0,54 \div 0,06
3. 0,25 \div 0,05
4. 0,49 \div 0,07
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30
1. 2,4 \div 0,06
2. 0,27 \div 0,003
3. 4 \div 0,8
4. 3,5 \div 0,05
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31
1. 0,36 \div 0,4
2. 1,8 \div 0,006
3. 0,005\ 6 \div 0,07
4. 7,2 \div 0,9
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Méthode 3

Utiliser les priorités opératoires

Énoncé

Calculer l'expression suivante : \mathrm{A}=100-(11+3 \times(2+6) \div(11-5)).

Solution

\begin{aligned} & \mathrm{A}=100-(11+3 \times {\color{blue}(2+6)} \div {\color{red}(11-5)}) \\ & \mathrm{A}=100-(11+\underbrace{3 \times {\color{blue}8}} \div {\color{red}6}) \\ & \mathrm{A}=100-(11+   \underbrace{24 \div 6}) \\ & \mathrm{A}=100-(\underbrace{11   +    4}) \\ & \mathrm{A}=100-        15 \\ & \mathrm{A}=85 \end{aligned}

Explications

On repère et on effectue les calculs prioritaires : ceux entre parenthèses.
On recopie l'expression sans modifier l'ordre des opérations et en notant le résultat obtenu à la place des opérations que l'on vient d'effectuer.
Dans la nouvelle expression, la multiplication et la division sont prioritaires, on effectue les calculs de gauche à droite.
Il reste une soustraction et une addition, on effectue le calcul entre parenthèses en priorité.
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32
Recopier l'opération prioritaire de chacune des expressions suivantes.

1. \mathrm{15-8+4}
2. \mathrm{20-6 \div 10}
3. 7+3 \times 2
4. 12 \div 6 \times 2
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33
Recopier l'opération prioritaire de chacune des expressions suivantes.

1. (4 \times(8+2)) \div 2
2. 17-2 \times(8-4)
3. 18-(5+3)
4. 12+(16 \times(5-3))
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34
Compléter les égalités ci-dessous.

\mathrm{A=(4+6 \times 6) \div 2+3}

\mathrm{A=(4 +} 
 \mathrm{)\div 2+3}

\mathrm{A=}
 \mathrm{\div 2+3}

\mathrm{A=}
 \mathrm{+ 3}

\mathrm{A=}

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Pour les exercices  
35
à   
39
, calculer les expressions suivantes en détaillant les étapes.


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35
1. \mathrm{A=20+15-5}
2. \mathrm{B=15-8+4-2}
3. \mathrm{C=24 \div 4 \times 2}
4. \mathrm{D=100 \div 2 \times 10 \div 5}
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36
1. \mathrm{E=10+3 \times 4}
2. \mathrm{F=15 \div 5+9}
3. \mathrm{G}=10+8 \times 8
4. \mathrm{H=6 \times 4-42 \div 7}
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37
Générateur d'exercices
1. \mathrm{I=3 \times(5+10)}
2. \mathrm{J=17-2 \times(8-4)}
3. \mathrm{K}=45 \div 9 \times(6-2)
4. \mathrm{L}=(50-(13+1) \times 2) \div 11
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38
1. \mathrm{M=7,2+4 \times 3,1}
2. \mathrm{N=0,27 \times 100 \div 9}
3. \mathrm{P=4,5 \times 10-54 \div 6}
4. \mathrm{Q=57 \div 10+6 \times 1,5}
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39
1. \mathrm{R=(2,3+4,9) \times 3}
2. \mathrm{S=(20-3,6 \times 2) \div 2}
3. \mathrm{T=50+(9,3+2,8) \div 10}
4. \mathrm{U}=9,5+10 \times(8,6-5,8)
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Méthode 4

Nommer un calcul

Énoncé

1. Traduire à l'aide d'une phrase le calcul suivant : \mathrm{C=28÷4+5}.
2. Traduire la phrase « \mathrm{D} est le produit de \mathrm{4} par la somme de \mathrm{5} et \mathrm{3} » par une expression numérique.

Solution

1. La dernière opération effectuée dans le calcul \mathrm{C} est une addition.
Le calcul \mathrm{C} est donc la somme de deux termes : \mathrm{28÷4} et \mathrm{5}.
Ainsi, \mathrm{C} est la somme du quotient de \mathrm{28} par \mathrm{4} et \mathrm{5}.

2. \mathrm{D} est le résultat de la multiplication de deux facteurs : \mathrm{4} et la somme de \mathrm{5} et \mathrm{3}.
On a donc : \mathrm{D=4 \times(5+3)}.

Explications

1. On effectue la division de \mathrm{28} par \mathrm{4}, puis on ajoute \mathrm{5}. L'expression porte le nom du résultat de la dernière opération : ici, l'addition. On identifie les deux termes :
  • le premier est le quotient de \mathrm{28} par \mathrm{4} ;
  • le second est \mathrm{5}.

2. On appelle produit le résultat de la multiplication. La somme de \mathrm{5} et \mathrm{3} se traduit par l'expression \mathrm{5+3}. La multiplication est ici la dernière opération à effectuer, on met des parenthèses pour rendre l'addition prioritaire.
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40
Décrire les calculs suivants avec une phrase.

1. \mathrm{45-8}
2. \mathrm{37 \div 5}
3. \mathrm{23,4 + 2}
4. \mathrm{2,4 \times 10}
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41
Compléter les phrases par les mots qui conviennent.

1. \mathrm{36 \div 9} est
de \mathrm{36} par \mathrm{9}.

2. \mathrm{3 \times(5+7)} est
de \mathrm{3} par
de \mathrm{5} et \mathrm{7}.

3. \mathrm{13+3 \times 8} est
de \mathrm{13} et
de \mathrm{3} par \mathrm{8}.

4. \mathrm{10 \times 6+28 \div 4} est
du
de \mathrm{10} par \mathrm{6} et du
de \mathrm{28} par \mathrm{4}.
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42
Dans les expressions ci-dessous, repérer la dernière opération à effectuer puis nommer le calcul.

1. \mathrm{45 \div 9+6}
2. \mathrm{(50-7) \times 2}
3. \mathrm{20-3 \times 4}
4. (8+7) \div(9-4)
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43
1. Repérer les termes de la somme suivante : \mathrm{7+3 \times 6}.
2. Repérer les facteurs du produit suivant : \mathrm{(7-5) \times 8}.
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44
Traduire les expressions suivantes par une phrase.

1. \mathrm{5+3 \times 7}
2. \mathrm{24 \div 6-5}
3. \mathrm{(18+3) \div 2}
4. \mathrm{9 \times 5-32 \div 8}
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45
Traduire les phrases suivantes par une expression numérique.

1. La différence de \mathrm{30} et \mathrm{9}.
2. La somme de \mathrm{8} et du quotient de \mathrm{15} par \mathrm{3}.
3. Le produit de \mathrm{7} par la différence entre \mathrm{8} et \mathrm{2}.
4. La somme des produits de \mathrm{8} par \mathrm{7} et de \mathrm{3} par \mathrm{4}.
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46
Les affirmations ci-dessous sont fausses. Les corriger.

1. \mathrm{(7-4)\times 5} est la différence de \mathrm{7} et du produit de \mathrm{4} par \mathrm{5}.
2. Le produit du quotient de \mathrm{10} par \mathrm{2} par la somme de \mathrm{3} et \mathrm{5} est \mathrm{10 \div 2+3 \times 5}.
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