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Outils informatiquesp. 23-31

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Chapitre 1

Priorités opératoires

Chapitre 2

Introduction au calcul littéral

Chapitre 3

Introduction aux nombres relatifs

Chapitre 4

Opérations sur les nombres relatifs

Chapitre 5

Nombres rationnels

Chapitre 6

Puissances

Chapitre 7

Initiation aux équations

Chapitre 8

Symétrie centrale, parallélisme et angles

Chapitre 9

Triangles et droites remarquables

Chapitre 10

Parallélogrammes

Chapitre 11

Représentation de l’espace

Chapitre 12

Statistiques et probabilités

Chapitre 13

Proportionnalité

Chapitre 14

Introduction aux fonctions

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Chapitre 2

Cours

Introduction au calcul littéral

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Expressions littérales

Définition

Une expression mathématique est dite littérale lorsqu'elle contient une ou plusieurs lettres.

Exemples :

1. L'expression littérale du périmètre

P

d'un carré de côté

c

est :

P = 4 \times c

.

2. Pour n'importe quel nombre

x

, le double de

x

s'écrit

2 \times x

et le triple s'écrit

3 \times x

.

3. Pour n'importe quel nombre entier

n

, le successeur de

n

est le nombre qui vient après : on l'écrit

n + 1

. Le prédécesseur de

n

est le nombre qui vient avant : on l'écrit

n - 1

Remarque : Pour simplifier l'écriture des expressions littérales, il est possible de ne pas écrire le signe

\times

devant une lettre ou une parenthèse.

Exemples :

1 \times a = 1 a = a

b \times 4 = 4 \times b = 4 b

c \times d = d \times c = c d = d c

5 \times (t + 2) = 5 (t + 2)

(4 + d) \times (9 + c) = (4 + d) (9 + c)

(10 \times f + n \times 9) \times 6 = 6 (10 f + 9 n)

Définition

Calculer la valeur d'une expression littérale, c'est remplacer chaque lettre par un nombre pour pouvoir effectuer le calcul. On parle aussi de substituer chaque lettre par un nombre.

Remarque : Si une même variable est présente plusieurs fois dans la même expression, alors elle désigne toujours le même nombre.

Exemples :

1. Lorsque

x = 5

alors

3 x + 2 = 3 \times x + 2 = 3 \times 5 + 2 = 15 + 2 = 17

.

2. Pour calculer la valeur de l'expression

A = 6 x + 3 (x y - 2)

avec

x = 2

y = 4

, on écrit :

A = 6 x + 3 (x y - 2)

A = 6 \times x + 3 \times (x \times y - 2)

→ On fait apparaître les

\times

sous-entendus

A = 6 \times 2 + 3 \times (2 \times 4 - 2)

→ On substitue tous les

x

par

2

et le

y

par

4

A = 12 + 3 \times (8 - 2)

→ On effectue le calcul en respectant les priorités opératoires

A = 12 + 3 \times 6

→ On continue jusqu'à simplifier le résultat au maximum

A = 12 + 18

A = 30

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Distributivité

Définition

Une expression comportant plusieurs opérations est appelée une somme, une différence, un produit ou un quotient selon le dernier calcul effectué.

Exemples :

Lorsque l'on calcule $7 \times (x - 2)$ , on multiplie $7$ par $(x - 2)$ , on calcule donc le produit de $7$ par $(x - 2)$ . L'expression $7 \times (x - 2)$ est donc le produit de $7$ par la différence entre $x$ et $2$ .
Lorsque l'on calcule $7 \times x - 2$ , on retranche $2$ à $7 \times x$ , on calcule donc la différence entre $7 \times x$ et $2$ . L'expression $7 \times x - 2$ est donc la différence entre le produit de $7$ par $x$ et le nombre $2$ .

Définitions

Développer une expression littérale c'est transformer un produit en une somme ou une différence.
Factoriser une expression littérale c'est transformer une somme ou une différence en un produit.

Propriété

On considère trois nombres quelconques

k

a

b

. Les égalités ci-dessous sont les propriétés de distributivité.

Exemples :

1. Développement :

9 \times 11 = 9 \times (1 + 10) = 9 \times 1 + 9 \times 10

2. Factorisation :

7 \times 14 - 7 \times 4 = 7 \times (14 - 4)

3. Développement :

2 (a - 7) = 2 \times (a - 7) = 2 \times a - 2 \times 7 = 2 a - 14

4. Pour factoriser

8 n + 16

, on remarque que

16 = 8 \times 2

donc

8 n + 16 = 8 \times n + 8 \times 2 = 8 \times (n + 2)

Définition

Réduire une expression littérale, c'est l'écrire avec le moins d'opérations possibles.

Remarque : On peut réduire des expressions littérales en regroupant les lettres identiques à l'aide d'une factorisation.

Exemples :

1.

4 t + 9 t = 4 \times t + 9 \times t = (4 + 9) \times t = 13 \times t = 13 t

3 x + x = 3 \times x + 1 \times x = (3 + 1) \times x = 4 \times x = 4 x

7 k + 10 k = (7 + 10) \times k = 17 k

9 a - 3 a = (9 - 3) \times a = 6 a

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