Introduction au calcul littéral

Associer les expressions égales lorsque $x=2$.

Voici une suite logique de nombres.
1. Quel est le prochain nombre de la suite ?

2. Donner une expression du $n$-ième terme de la suite en fonction de $n$.

Voici une suite logique de nombres.
1. Quel est le prochain nombre de cette suite ?

2. Le nombre $12$ est le cinquième terme.
a. Recopier et compléter l'égalité suivante.
$12=4+2\times ...$

b. Expliquer comment interpréter le calcul précédent dans le contexte de l'exercice.

3. Calculer rapidement la valeur du centième terme de la suite.

Voici une suite de motifs évolutive.


1. Combien y a-t-il de carrés rouges à l'étape $4$ ? À l'étape $10$ ?

2. Conjecturer le nombre de carrés rouges qu'il y aura à l'étape $n$.

3. À quelle étape y aura-t-il $80$ carrés rouges ?

En justifiant, déterminer si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses.

1. $2(x+3)$ est toujours égal à $2x+6$.

2. $4x(3+n)$ est toujours égal à $12+xn$.

3. $3n+2=35$ lorsque $n=3$.

4. $2k$ est un facteur commun des termes de la somme $6k+10k$.

5. Si $x$ est un nombre pair, alors $x+2$ est un nombre impair.

Pour nommer un polygone, on choisit l'un de ses sommets puis on parcourt les autres sommets en suivant les côtés.

1. On considère trois points $\mathrm{A}$, $\mathrm{B}$ et $\mathrm{C}$ non alignés. Combien de noms différents peut avoir le triangle formé par ces trois points ? Justifier.

2. Combien de noms sont possibles pour un polygone à $4$ sommets ? À $n$ sommets ? Justifier.

2. Que peut-on conjecturer ?

3. Appeler $x$ le nombre de départ et exprimer le résultat final en fonction de $x$.

4. Développer et réduire l'expression obtenue.

5. Que peut-on conclure ?

On lit sur la copie de Ludmila les réponses suivantes.


Imaginer un énoncé auquel Ludmila répond.

Un escalier est composé de $n$ marches, chaque marche a une hauteur de $18$ cm et une profondeur de $p$ cm.

1. a. Écrire une expression donnant la hauteur totale de l'escalier en fonction de $n$.

b. Écrire une expression donnant la profondeur totale de l'escalier en fonction de $n$ et $p$.

Un pâtissier veut produire des boîtes en forme de pavé droit adaptées à la taille de ses gâteaux. Il reçoit un devis avec l'information suivante : « Pour chaque boîte, nous facturerons $0,50$ euro, auquel nous ajoutons un montant égal au volume de la boîte en dm^$3$ ».

1. Calculer le prix d'une boîte de largeur $7$ cm, de longueur $10$ cm et de hauteur $5$ cm.

2. Donner l'expression du prix à payer pour une boîte de longueur $\mathrm{L}$, de largeur $\ell$ et de hauteur $h$, exprimées en cm.

3. Donner l'expression générale du prix total à payer pour $n$ boîtes identiques de longueur $\mathrm{L}$, de largeur $\ell$ et de hauteur $h$, exprimées en cm.

Une association organise une opération « zéro plastique » dans une ville. Chaque foyer reçoit un kit composé de :

• $x$ sacs en tissu réutilisables ;
• deux boîtes de conservation en verre.

On considère que chaque sac en tissu permet d'éviter l'utilisation de cinq sacs plastique par semaine. Chaque boîte de conservation permet d'éviter l'utilisation de trois emballages plastique par semaine.

1. Écrire, en fonction de $x$, le nombre total de sacs et emballages plastique évités chaque semaine grâce au kit.

2. On considère que chaque foyer reçoit quatre sacs en tissu dans son kit. a. Calculer le nombre de sacs et emballages plastique évités chaque semaine par foyer.

b. L'association équipe $250$ foyers.
Combien de sacs et emballages plastique sont ainsi évités chaque semaine ?

Un théâtre vend des places adultes à $a€$ et des places enfants $3€$ moins chères que les places adultes. La capacité totale du théâtre est de $200$ places. Pour la représentation du jour, $n$ adultes sont présents, et la salle est remplie.

1. Exprimer le prix d'une place enfant.

2. Exprimer le nombre d'enfants présents.

3. Exprimer en fonction de $a$ et $n$ le montant total de la recette du jour.

4. Si $150$ adultes sont présents, et que la place adulte coûte $8€$, quel est le montant total de la recette ?

Dans une salle de spectacle, on dénombre $r$ rangées de sièges et chaque rangée contient $r+3$ sièges.

1. Écrire une expression donnant le nombre total de sièges en fonction de $r$.

2. Calculer le nombre total de sièges s'il y a : 3. Pour passer de $16$ à $17$ rangées, faut-il aussi ajouter $34$ sièges ? Justifier.

Imran semble avoir découvert une propriété. Il prétend que la somme de deux nombres pairs est toujours paire. Sa professeure lui propose de le démontrer.

1. Choisir quelques couples de nombres pairs et vérifier si la conjecture semble vraie.

2. Expliquer pourquoi $2n$ est un nombre pair si $n$ est un nombre entier quelconque.

3. Trouver l'expression d'un second nombre pair, puis donner une expression de la somme de ces deux nombres.

4. Terminer la démonstration.

Une école décide de planter $a$ chênes et $a$ bouleaux pour compenser ses émissions de CO_$2$. Chaque chêne absorbe $22$ kg de CO_$2$ par an et chaque bouleau absorbe $13$ kg de CO_$2$ par an.

1. Écrire, en fonction de $a$, la masse totale de CO_$2$ absorbée par an grâce à ces plantations, mettre cette expression sous forme réduite.

2. Calculer la masse totale de CO_$2$ absorbée en un an si l'école plante $15$ chênes et $15$ bouleaux.

3. Combien d'arbres de chaque espèce faut-il au minimum pour absorber $3500$ kg de CO_$2$ par an ?

4. En 2024, un Français a émis l'équivalent de $8200$ kg de CO_$2$ en moyenne. À combien d'arbres cela correspond-il ? Arrondir le résultat à l'entier supérieur.

On associe à chaque lettre de l'alphabet le nombre correspondant à sa position. Par exemple, $\mathrm{A}$ est codé en $0$, $\mathrm{B}$ en $1$ et $\mathrm{Z}$ en $25$. Pour chiffrer, on choisit un nombre $n$, appelé clé, que l'on additionne au nombre associé à la lettre. La lettre associée à ce nouveau nombre est le code. Si le nombre dépasse $25$, on prend son reste par la division euclidienne par $26$.

1. Coder la phrase « J'aime le club de maths » avec $n=12$.

2. Trouver une autre valeur de $n$ qui donnerait le même résultat.

À partir de quelle étape y aura-t-il moins de carrés rouges que de carrés jaunes ?