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Chapitre 3
Cours
Introduction aux nombres relatifs
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1
Généralités
A. Définitions
Définitions
Lors d'une soustraction de deux nombres, si le premier terme est supérieur au second, on dit que la différence obtenue est un nombre positif, elle est supérieure ou égale à .
Un nombre est dit strictement positif lorsqu'il est strictement supérieur à .
Si le premier terme est inférieur au second terme, on dit que la différence obtenue est un nombre négatif, elle est inférieure ou égale à
L'ensemble des nombres positifs et négatifs forme les nombres relatifs, qui permettent de rendre toutes les soustractions possibles.
Exemples :
La différence est un nombre relatif positif et la différence est un nombre relatif négatif.
La différence est un nombre relatif positif et la différence est un nombre relatif négatif.
Remarques : Avec des valeurs numériques, un nombre relatif est un nombre auquel on associe un signe s'il est positif et un signe s'il est négatif. et sont des signes contraires.
- est l'unique nombre qui est à la fois positif et négatif.
- Par convention, on écrit généralement les nombres positifs sans le signe .
Exemples :
1. Le nombre est un nombre strictement positif car .
2. Le nombre est un nombre strictement négatif car .
1. Le nombre est un nombre strictement positif car .
2. Le nombre est un nombre strictement négatif car .
Attention : Dans une expression littérale, une lettre écrite sans signe ne représente pas forcément un nombre positif. Par exemple, dans l'expression , on ne connaît pas le signe du nombre .
Définition
Les nombres positifs peuvent être placés sur une demi-droite d'origine . Pour pouvoir aussi placer les nombres négatifs, on prolonge cette demi-droite de l'autre côté de . On obtient alors une droite numérique complète : les nombres positifs se trouvent généralement à droite de et les nombres négatifs à gauche.
Exemples :
Sur la droite ci-dessous, le point d'abscisse est placé à droite de , donc .
Le point d'abscisse est situé à gauche de donc .
Sur la droite ci-dessous, le point d'abscisse est placé à droite de , donc .
Le point d'abscisse est situé à gauche de donc .
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Définition
Pour tout nombre décimal , il existe un unique nombre décimal tel que .
Le nombre est alors noté et est appelé l'opposé de .
Propriété
L'opposé d'un nombre est à égale distance de que le nombre mais il est de signe contraire.
Exemples :
1. L'opposé du nombre est le nombre et on a : .
2. L'opposé du nombre est le nombre .
1. L'opposé du nombre est le nombre et on a : .
2. L'opposé du nombre est le nombre .
Propriété
Sur une droite graduée, deux points sont symétriques par rapport à l'origine du repère si, et seulement si, leurs abscisses respectives sont opposées.
Exemples :
1. Sur la droite graduée ci-dessous, le point d'abscisse et le point d'abscisse sont symétriques par rapport à donc les nombres et sont opposés. On peut écrire ou bien encore .
2. On sait que les nombres et sont opposés. Ainsi, si on place les points et , ces deux points seront symétriques par rapport à .
1. Sur la droite graduée ci-dessous, le point d'abscisse et le point d'abscisse sont symétriques par rapport à donc les nombres et sont opposés. On peut écrire ou bien encore .
2. On sait que les nombres et sont opposés. Ainsi, si on place les points et , ces deux points seront symétriques par rapport à .
Définition
La valeur absolue d'un nombre positif est égale à ce nombre.
La valeur absolue d'un nombre négatif est égale à l'opposé de ce nombre.
Remarque : La valeur absolue d'un nombre est donc toujours positive ou nulle.
Conséquence : La valeur absolue d'un nombre relatif est la distance entre ce nombre et zéro sur une droite graduée.
Exemple :
Comme indiqué sur la droite graduée ci-dessus, la distance à du nombre est de unités donc la valeur absolue de est égale à .
La distance à du nombre est de unités donc la valeur absolue de est .
Comme indiqué sur la droite graduée ci-dessus, la distance à du nombre est de unités donc la valeur absolue de est égale à .
La distance à du nombre est de unités donc la valeur absolue de est .
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B. Comparaisons
Propriétés
Pour comparer deux nombres relatifs, on doit étudier leurs signes respectifs.
- Cas n°1 : les nombres sont de signes contraires.
Le nombre positif est toujours plus grand que le nombre négatif. - Cas n°2 : les deux nombres sont positifs.
Le nombre le plus grand est celui qui est le plus éloigné de . Il a la plus grande distance à . - Cas n°3 : les deux nombres sont négatifs.
Le nombre le plus grand est celui qui est le plus proche de . Il a la plus petite distance à .
Exemples :
1. Les nombres et sont de signes contraires. Le nombre le plus grand est le nombre positif. On a donc .
2. Les nombres et sont tous les deux positifs. Le nombre le plus grand est le plus éloigné de . On a donc (ce qu'on savait déjà depuis longtemps).
3. Les nombres et sont tous les deux négatifs. Le nombre le plus grand est le plus proche de . On a donc .
1. Les nombres et sont de signes contraires. Le nombre le plus grand est le nombre positif. On a donc .
2. Les nombres et sont tous les deux positifs. Le nombre le plus grand est le plus éloigné de . On a donc (ce qu'on savait déjà depuis longtemps).
3. Les nombres et sont tous les deux négatifs. Le nombre le plus grand est le plus proche de . On a donc .
Remarque : Afin de mieux visualiser la comparaison de deux nombres, on peut utiliser une droite graduée.
Propriété
Parmi deux nombres relatifs, le plus grand nombre est celui situé le plus à droite sur une droite graduée orientée de gauche à droite.
Exemples :
1. Sur la droite graduée ci-dessous orientée de gauche à droite, on a placé les points , , , , et .
a. Le point est placé à droite du point donc .
b. Le point est placé à droite du point donc .
c. Le point est placé à droite du point donc .
2. Sur la droite graduée ci-dessous, pour ordonner les abscisses des points placés, on les lit de gauche à droite : , , , et .
On en déduit un classement des abscisses dans l'ordre croissant : .
1. Sur la droite graduée ci-dessous orientée de gauche à droite, on a placé les points , , , , et .
a. Le point est placé à droite du point donc .
b. Le point est placé à droite du point donc .
c. Le point est placé à droite du point donc .
2. Sur la droite graduée ci-dessous, pour ordonner les abscisses des points placés, on les lit de gauche à droite : , , , et .
On en déduit un classement des abscisses dans l'ordre croissant : .
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2
Repères orthogonaux
Définitions
Un repère orthogonal du plan est constitué de deux droites graduées perpendiculaires de même origine :
- une droite horizontale et orientée vers la droite : l'axe des abscisses ;
- une droite verticale et orientée vers la haut : l'axe des ordonnées.
Chaque point du plan est alors repéré par son abscisse (lue sur l'axe des abscisses) et son ordonnée (lue sur l'axe des ordonnées). Dans cet ordre, ces deux nombres forment les coordonnées du point.
Si on note l'abscisse du point et son ordonnée, alors on note : .
Exemple :
Sur le graphique ci-dessus, l'abscisse du point est et l'ordonnée du point est .
On dit alors que les coordonnées de sont et on écrit .
Sur le graphique ci-dessus, l'abscisse du point est et l'ordonnée du point est .
On dit alors que les coordonnées de sont et on écrit .
Remarques :
1. Les coordonnées correspondent à un couple de nombres : il s'agit de deux nombres placés l'un à côté de l'autre dans un ordre précis : abscisse en premier, ordonnée en deuxième.
2. Un point est situé sur l'axe des abscisses si, et seulement si, son ordonnée est égale à .
3. Un point est situé sur l'axe des ordonnées si, et seulement si, son abscisse est égale à .
1. Les coordonnées correspondent à un couple de nombres : il s'agit de deux nombres placés l'un à côté de l'autre dans un ordre précis : abscisse en premier, ordonnée en deuxième.
2. Un point est situé sur l'axe des abscisses si, et seulement si, son ordonnée est égale à .
3. Un point est situé sur l'axe des ordonnées si, et seulement si, son abscisse est égale à .
Exemples :
Dans le repère orthogonal suivant, on a et : on utilise les mêmes nombres mais pas dans le même ordre.
Les deux points ne sont donc pas positionnés au même endroit.
Le point est situé sur l'axe des abscisses donc son ordonnée est : on écrit .
Le point est situé sur l'axe des ordonnées donc son abscisse est : on écrit .
Dans le repère orthogonal suivant, on a et : on utilise les mêmes nombres mais pas dans le même ordre.
Les deux points ne sont donc pas positionnés au même endroit.
Le point est situé sur l'axe des abscisses donc son ordonnée est : on écrit .
Le point est situé sur l'axe des ordonnées donc son abscisse est : on écrit .
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