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Outils informatiquesp. 23-31

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Chapitre 1

Priorités opératoires

Chapitre 2

Introduction au calcul littéral

Chapitre 3

Introduction aux nombres relatifs

Chapitre 4

Opérations sur les nombres relatifs

Chapitre 5

Nombres rationnels

Chapitre 6

Puissances

Chapitre 7

Initiation aux équations

Chapitre 8

Symétrie centrale, parallélisme et angles

Chapitre 9

Triangles et droites remarquables

Chapitre 10

Parallélogrammes

Chapitre 11

Représentation de l’espace

Chapitre 12

Statistiques et probabilités

Chapitre 13

Proportionnalité

Chapitre 14

Introduction aux fonctions

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Chapitre 5

Cours

Nombres rationnels

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Écriture fractionnaire

Définition

Un nombre rationnel est un nombre qui peut s'écrire sous la forme d'une fraction

\frac{a}{b}

où

a

est un entier relatif et

b

un entier strictement positif.

Propriété

Lorsque l'on multiplie (ou lorsque l'on divise) le numérateur et le dénominateur d'une fraction par un même nombre non nul, on obtient une fraction égale à la première.
Autrement dit, pour tous nombres

a

b \neq = 0

k \neq = 0

\frac{a}{b} = \frac{a \times k}{b \times k}

\frac{a}{b} = \frac{a \div k}{b \div k}

Exemples :

\frac{2}{3} = \frac{2 \times 4}{3 \times 4} = \frac{8}{12}

\frac{56}{32} = \frac{56 \div 8}{32 \div 8} = \frac{7}{4}

\frac{35}{25} = \frac{7 \times 5}{5 \times 5} = \frac{7}{5}

Définition

On dit que l'on réduit deux fractions au même dénominateur lorsqu'on les écrit avec un même dénominateur non nul, appelé dénominateur commun.

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Méthode

Pour réduire deux fractions au même dénominateur, on détermine un multiple commun non nul aux deux dénominateurs qui deviendra alors le dénominateur commun.

Cas n° 1 : un dénominateur est multiple de l'autre, par exemple $\frac{4}{7}$ et $\frac{11}{21}$ .
Le nombre $21$ est un multiple de $7$ car $21 = 7 \times 3$ . On peut donc utiliser le nombre $21$ comme dénominateur commun.

On a $\frac{4}{7} = \frac{4 \times 3}{7 \times 3} = \frac{12}{21}$ .

Les fractions $\frac{12}{21}$ et $\frac{11}{21}$ sont bien au même dénominateur.
Cas n° 2 : un dénominateur n'est pas un multiple de l'autre, par exemple $\frac{3}{8}$ et $\frac{5}{6}$ .
Les premiers multiples non nuls de $8$ sont : $8; 16; 24; 32; 40$ .
Les premiers multiples non nuls de $6$ sont : $6; 12; 18; 24; 30; 36$ .

On utilise alors le nombre $24$ , multiple à la fois de $6$ et de $8$ , comme dénominateur commun.

On sait que $24 = 8 \times 3$ donc $\frac{3}{8} = \frac{3 \times 3}{8 \times 3} = \frac{9}{24}$ .

On sait que $24 = 6 \times 4$ donc $\frac{5}{6} = \frac{5 \times 4}{6 \times 4} = \frac{20}{24}$ .

Les fractions $\frac{9}{24}$ et $\frac{20}{24}$ sont bien au même dénominateur.

Remarque : Lorsque la liste des multiples est trop compliquée à déterminer, on peut multiplier les deux dénominateurs entre eux en respectant la propriété énoncée plus haut.

Exemple :

On considère les fractions

\frac{8}{9}

\frac{10}{13}

.

On a

\frac{8}{9} = \frac{8 \times 13}{9 \times 13} = \frac{104}{117}

.

On a aussi

\frac{10}{13} = \frac{10 \times 9}{13 \times 9} = \frac{90}{117}

.

Les deux fractions obtenues ont bien le même dénominateur.

Propriété

Lorsque deux fractions sont réduites au même dénominateur, la plus grande des deux est celle qui a le plus grand numérateur.

Exemple :

On souhaite comparer

\frac{17}{6}

\frac{26}{9}

.

Puisque

6 \times 3 = 18

, on a

\frac{17}{6} = \frac{17 \times 3}{6 \times 3} = \frac{51}{18}

.

Puisque

9 \times 2 = 18

, on a

\frac{26}{9} = \frac{26 \times 2}{9 \times 2} = \frac{52}{18}

.

Les fractions

\frac{51}{18}

\frac{52}{18}

ont le même dénominateur. Puisque

51 < 52

, alors

\frac{51}{18} < \frac{52}{18}

.

On conclut que

\frac{17}{6} < \frac{26}{9}

Remarque : Comme en 6^e, il est parfois possible de comparer des fractions en les comparant chacune à

1

ou bien à

\frac{1}{2}

sans avoir besoin de les réduire au même dénominateur.

Exemple :

On souhaite comparer

\frac{13}{11}

\frac{5}{7}

.

Puisque

13 > 11

alors

\frac{13}{11} > 1

. Puisque

5 < 7

alors

\frac{5}{7} < 1

.

On a l'encadrement

\frac{5}{7} < 1 < \frac{13}{11}

donc

\frac{13}{11} > \frac{5}{7}

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Addition et soustraction

Propriété

Pour additionner ou soustraire des fractions de même dénominateur non nul, on additionne ou soustrait les numérateurs et on conserve le dénominateur commun.
Autrement dit, pour tous nombres

a

b

c \neq = 0

\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a + b}{c}

\frac{a}{c} - \frac{b}{c} = \frac{a - b}{c}

Remarque : Si les fractions sont de dénominateurs différents, il faut d'abord les réduire au même dénominateur.

Exemples :

A = \frac{4}{11} + \frac{2}{11}

1. A = \frac{4 + 2}{11}

1. A = \frac{6}{11}

B = \frac{7}{3} - \frac{5}{9}

1. B = \frac{7 \times 3}{3 \times 3} - \frac{5}{9}

1. B = \frac{21}{9} - \frac{5}{9}

1. B = \frac{21 - 5}{9}

1. B = \frac{16}{9}

C = \frac{3}{4} + \frac{2}{3}

1. C = \frac{3 \times 3}{4 \times 3} + \frac{2 \times 4}{3 \times 4}

1. C = \frac{9}{12} + \frac{8}{12}

1. C = \frac{9 + 8}{12}

1. C = \frac{17}{12}

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