Chapitre 5
Cours
Nombres rationnels
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1
Écriture fractionnaire
Définition
Un nombre rationnel est un nombre qui peut s'écrire sous la forme d'une fraction \frac{a}{b} où a est un entier relatif et b un entier strictement positif.
Propriété
Lorsque l'on multiplie (ou lorsque l'on divise) le numérateur et le dénominateur d'une fraction par un même nombre non nul, on obtient une fraction égale à la première.
Autrement dit, pour tous nombres a, b \neq 0 et k \neq 0 :
{\frac{a}{b} = \frac{a \times k}{b \times k}}\quad et \quad {\frac{a}{b} = \frac{a \div k}{b \div k}}.
Exemples :
1. \frac{2}{3} = \frac{2 \times 4}{3 \times 4} = \frac{8}{12}
2. \frac{56}{32} = \frac{56 \div 8}{32 \div 8} = \frac{7}{4}
3. \frac{35}{25} = \frac{7 \times 5}{5 \times 5} = \frac{7}{5}
Définition
On dit que l'on réduit deux fractions au même dénominateur lorsqu'on les écrit avec un même dénominateur non nul, appelé dénominateur commun.
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Méthode
Pour réduire deux fractions au même dénominateur, on détermine un multiple commun non nul aux deux dénominateurs qui deviendra alors le dénominateur commun.
- Cas n° 1 : un dénominateur est multiple de l'autre, par exemple \frac{4}{7}\ et \ \frac{11}{21}.
Le nombre 21 est un multiple de 7 car \ {21 = 7 \times 3}. On peut donc utiliser le nombre 21 comme dénominateur commun.
On a \frac{4}{7} = \frac{4\ {\color{red}\times\ 3}}{7\ {\color{red}\times\ 3}} = \frac{12}{21}.
Les fractions \frac{12}{21} et \frac{11}{21} sont bien au même dénominateur. - Cas n° 2 : un dénominateur n'est pas un multiple de l'autre, par exemple \frac{3}{8}\ et \ \frac{5}{6}.
Les premiers multiples non nuls de 8 sont : \enspace8\enspace;\enspace16\enspace;\enspace{\color{blue}24}\enspace;\enspace32\enspace;\enspace40.
Les premiers multiples non nuls de 6 sont : \enspace6\enspace;\enspace12\enspace;\enspace18\enspace;\enspace{\color{blue}24}\enspace;\enspace30\enspace;\enspace36.
On utilise alors le nombre {\color{blue}24}, multiple à la fois de 6 et de 8, comme dénominateur commun.
On sait que 24 = 8 \times 3 donc \frac{3}{8} = \frac{3\ {\color{red}\times\ 3}}{8\ {\color{red}\times\ 3}} = \frac{9}{24}.
On sait que 24 = 6 \times 4 donc \frac{5}{6} = \frac{5\ {\color{red}\times\ 4}}{6\ {\color{red}\times\ 4}} = \frac{20}{24}.
Les fractions \frac{9}{24} et \frac{20}{24} sont bien au même dénominateur.
Remarque : Lorsque la liste des multiples est trop compliquée à déterminer, on peut multiplier les deux dénominateurs entre eux en respectant la propriété énoncée plus haut.
Exemple :
On considère les fractions \frac{8}{{\color{blue}9}} et \frac{10}{{\color{red}13}}.
On a {\frac{8}{9} = \frac{8\ {\color{red}\times\ 13}}{{\color{blue}9}\ {\color{red}\times\ 13}} = \frac{104}{{\color{green}117}}}.
On a aussi \frac{10}{{\color{red}13}} = \frac{10\ {\color{blue}\times\ 9}}{{\color{red}13}\ {\color{blue}\times\ 9}} = \frac{90}{{\color{green}117}}.
Les deux fractions obtenues ont bien le même dénominateur.
On considère les fractions \frac{8}{{\color{blue}9}} et \frac{10}{{\color{red}13}}.
On a {\frac{8}{9} = \frac{8\ {\color{red}\times\ 13}}{{\color{blue}9}\ {\color{red}\times\ 13}} = \frac{104}{{\color{green}117}}}.
On a aussi \frac{10}{{\color{red}13}} = \frac{10\ {\color{blue}\times\ 9}}{{\color{red}13}\ {\color{blue}\times\ 9}} = \frac{90}{{\color{green}117}}.
Les deux fractions obtenues ont bien le même dénominateur.
Propriété
Lorsque deux fractions sont réduites au même dénominateur, la plus grande des deux est celle qui a le plus grand numérateur.
Exemple :
On souhaite comparer \frac{17}{6} et \frac{26}{9}.
Puisque 6 \times 3 = 18, on a \frac{17}{6} = \frac{17\ {\color{red}\times\ 3}}{6\ {\color{red}\times\ 3}} = \frac{51}{18}.
Puisque 9 \times 2 = 18, on a \frac{26}{9} = \frac{26\ {\color{red}\times\ 2}}{9\ {\color{red}\times\ 2}} = \frac{52}{18}.
Les fractions \frac{51}{18} et \frac{52}{18} ont le même dénominateur. Puisque 51 < 52, alors \ \frac{51}{18} < \frac{52}{18}.
On conclut que \frac{17}{6} < \frac{26}{9}.
On souhaite comparer \frac{17}{6} et \frac{26}{9}.
Puisque 6 \times 3 = 18, on a \frac{17}{6} = \frac{17\ {\color{red}\times\ 3}}{6\ {\color{red}\times\ 3}} = \frac{51}{18}.
Puisque 9 \times 2 = 18, on a \frac{26}{9} = \frac{26\ {\color{red}\times\ 2}}{9\ {\color{red}\times\ 2}} = \frac{52}{18}.
Les fractions \frac{51}{18} et \frac{52}{18} ont le même dénominateur. Puisque 51 < 52, alors \ \frac{51}{18} < \frac{52}{18}.
On conclut que \frac{17}{6} < \frac{26}{9}.
Remarque : Comme en 6e, il est parfois possible de comparer des fractions en les comparant chacune à 1 ou bien à \frac{1}{2} sans avoir besoin de les réduire au même dénominateur.
Exemple :
On souhaite comparer \frac{13}{11} et \frac{5}{7}.
Puisque 13 > 11 alors \frac{13}{11} > 1. Puisque 5 < 7 alors \frac{5}{7} < 1.
On a l'encadrement \frac{5}{7} < 1 < \frac{13}{11} donc \frac{13}{11} > \frac{5}{7}.
On souhaite comparer \frac{13}{11} et \frac{5}{7}.
Puisque 13 > 11 alors \frac{13}{11} > 1. Puisque 5 < 7 alors \frac{5}{7} < 1.
On a l'encadrement \frac{5}{7} < 1 < \frac{13}{11} donc \frac{13}{11} > \frac{5}{7}.
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2
Addition et soustraction
Propriété
Pour additionner ou soustraire des fractions de même dénominateur non nul, on additionne ou soustrait les numérateurs et on conserve le dénominateur commun.
Autrement dit, pour tous nombres a, b et c \neq \mathrm{0} :
{\frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a+b}{c}}\quad et \quad{\frac{a}{c} - \frac{b}{c} = \frac{a-b}{c}}.
Remarque : Si les fractions sont de dénominateurs différents, il faut d'abord les réduire au même dénominateur.
Exemples :
1. \mathrm{A} = \frac{\mathrm{4}}{\mathrm{11}} + \frac{\mathrm{2}}{\mathrm{11}}
\phantom{1.}\mathrm{A} = \frac{\mathrm{4 + 2}}{\mathrm{11}}
\phantom{1.}\mathrm{A} = \frac{\mathrm{6}}{\mathrm{11}}
\phantom{1.}\mathrm{A} = \frac{\mathrm{4 + 2}}{\mathrm{11}}
\phantom{1.}\mathrm{A} = \frac{\mathrm{6}}{\mathrm{11}}
2. \mathrm{B} = \frac{\mathrm{7}}{\mathrm{3}} - \frac{\mathrm{5}}{\mathrm{9}}
\phantom{1.}\mathrm{B} = \frac{\mathrm{7} {\color{red}\times \mathrm{3}}}{\mathrm{3} {\color{red}\times \mathrm{3}}} - \frac{\mathrm{5}}{\mathrm{9}}
\phantom{1.}\mathrm{B} = \frac{\mathrm{21}}{\mathrm{9}} - \frac{\mathrm{5}}{\mathrm{9}}
\phantom{1.}\mathrm{B} = \frac{\mathrm{21 - 5}}{\mathrm{9}}
\phantom{1.}\mathrm{B} = \frac{\mathrm{16}}{\mathrm{9}}
\phantom{1.}\mathrm{B} = \frac{\mathrm{7} {\color{red}\times \mathrm{3}}}{\mathrm{3} {\color{red}\times \mathrm{3}}} - \frac{\mathrm{5}}{\mathrm{9}}
\phantom{1.}\mathrm{B} = \frac{\mathrm{21}}{\mathrm{9}} - \frac{\mathrm{5}}{\mathrm{9}}
\phantom{1.}\mathrm{B} = \frac{\mathrm{21 - 5}}{\mathrm{9}}
\phantom{1.}\mathrm{B} = \frac{\mathrm{16}}{\mathrm{9}}
3. \mathrm{C} = \frac{\mathrm{3}}{\mathrm{4}} + \frac{\mathrm{2}}{\mathrm{3}}
\phantom{1.}\mathrm{C} = \frac{\mathrm{3} {\color{red}\times \mathrm{3}}}{\mathrm{4} {\color{red}\times \mathrm{3}}} + \frac{\mathrm{2} {\color{red}\times \mathrm{4}}}{\mathrm{3} {\color{red}\times \mathrm{4}}}
\phantom{1.}\mathrm{C} = \frac{\mathrm{9}}{\mathrm{12}} + \frac{\mathrm{8}}{\mathrm{12}}
\phantom{1.}\mathrm{C} = \frac{\mathrm{9 + 8}}{\mathrm{12}}
\phantom{1.}\mathrm{C} = \frac{\mathrm{17}}{\mathrm{12}}
\phantom{1.}\mathrm{C} = \frac{\mathrm{3} {\color{red}\times \mathrm{3}}}{\mathrm{4} {\color{red}\times \mathrm{3}}} + \frac{\mathrm{2} {\color{red}\times \mathrm{4}}}{\mathrm{3} {\color{red}\times \mathrm{4}}}
\phantom{1.}\mathrm{C} = \frac{\mathrm{9}}{\mathrm{12}} + \frac{\mathrm{8}}{\mathrm{12}}
\phantom{1.}\mathrm{C} = \frac{\mathrm{9 + 8}}{\mathrm{12}}
\phantom{1.}\mathrm{C} = \frac{\mathrm{17}}{\mathrm{12}}
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