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Chapitre 5
Applications directes

Nombres rationnels

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Accéder à :

Comparer des fractions avec 1 et \frac{1}{2}

Comparer des fractions dans le cas général

Additionner et soustraire des fractions

Résoudre des problèmes avec les fractions

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Méthode 1

Comparer des fractions avec 1 et \frac{1}{2}

Énoncé

1. Comparer les fractions \ \frac{7}{6}\ et \ \frac{5}{8}\ .
2. Comparer les fractions \ \frac{5}{12}\ et \ \frac{4}{7}\ .

Solution

1. On a 7 > 6 donc \frac{7}{6} > 1.

On a 5 < 8 donc \frac{5}{8} < 1.

Ainsi, \frac{7}{6} > 1 > \frac{5}{8}.

On en déduit que \frac{7}{6} >\frac{5}{8}.

2. On sait que 6 est la moitié de 12 donc \frac{6}{12} = \frac{1}{2}.

Or, 5 < 6 donc \frac{5}{12} < \frac{6}{12}.

De même, on sait que 3,5 est la moitié de 7 donc {\frac{3,5}{7} = \frac{1}{2}}.

Or, 4 > 3,5 et ainsi {\frac{4}{7} > \frac{3,5}{7}}.

On a donc \frac{5}{12} < \frac{1}{2} < \frac{4}{7}.

On en déduit que \frac{5}{12} < \frac{4}{7}.

Explications

Cette méthode s'applique avec des numérateurs et dénominateurs positifs.
Pour comparer une fraction à 1, on compare le numérateur avec le dénominateur. Si le numérateur est plus petit, la fraction est plus petite que 1. Sinon, elle est plus grande.
Pour comparer une fraction à \ \frac{1}{2}, on compare le numérateur de la fraction avec la moitié de son dénominateur.
Si le numérateur est plus petit que la moitié du dénominateur, alors la fraction est plus petite que \ \frac{1}{2}. Sinon, elle est plus grande.
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15
 On souhaite comparer les fractions \ \frac{15}{14}\ et \ \frac{27}{29}.
Compléter le raisonnement suivant.

  • Puisque 15
    14\ alors \ \frac{15}{14}
    1.

  • Puisque 27
    29\ alors \ \frac{27}{29}
    1.

  • Ainsi, \ \frac{15}{14}\
    \ 1\
    \ \frac{27}{29}.

  • On en déduit que \ \frac{15}{14}
    \frac{27}{29}.
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16
 1. En les comparant chacune à \mathrm{1}, comparer les fractions \frac{\mathrm{3}}{\mathrm{7}} et \frac{\mathrm{5}}{\mathrm{4}}.

2. En les comparant chacune à \mathrm{1}, comparer les fractions \frac{\mathrm{12}}{\mathrm{5}} et \frac{\mathrm{5}}{\mathrm{12}}.

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17
 On souhaite comparer la fraction \ \frac{13}{27}\ avec \ \frac{1}{2}.
Compléter le raisonnement suivant.

  • On sait que 27 \div 2 =

  • Or, 13
    13,5.

  • On en déduit que \frac{13}{27}
    \frac{1}{2}.
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18
 1. En les comparant chacune à \ \frac{1}{2}, comparer les fractions \ \frac{9}{20}\ et \ \frac{15}{26}.

2. En les comparant chacune à \ \frac{1}{2}, comparer les fractions \ \frac{8}{15}\ et \ \frac{17}{35}.

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19
 1. Comparer les fractions \ \frac{5}{10}\ et \ \frac{8}{17}.

2. Comparer les fractions \ \frac{14}{28}\ et \ \frac{19}{38}.

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20
 1. Donner une fraction de dénominateur 9 qui est inférieure à 1 et supérieure à \frac{7}{9}.

2. Donner une fraction de dénominateur 13 qui est inférieure à \ \frac{9}{13}\ et supérieure à \ \frac{1}{2}.

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21
 Ranger les fractions suivantes dans l'ordre croissant :
\frac{14}{17}\quad ;\quad \frac{9}{5}\quad ;\quad \frac{3}{8}\quad ;\quad \frac{13}{13}.

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Méthode 2

Comparer des fractions dans le cas général

Énoncé

1. Comparer les fractions \ \frac{2}{7}\ et \ \frac{8}{21}.
2. Comparer les fractions \ \frac{5}{12}\ et \ \frac{3}{8}.

Solution


1. On sait que {\frac{2}{7} = \frac{2\ \color{blue}{\times\ 3}}{7\ \color{blue}{\times\ 3}} = \frac{6}{21}}.

Or, \ \frac{6}{21} < \frac{8}{21}. Donc {\ \frac{2}{7} < \frac{8}{21}}.

2. Multiples de 12 : 12\ ;\ {\color{red}24}\ ;\ 36\ ;\ 48...
Multiples de 8 : 8\ ;\ 16\ ;\ {\color{red}24}\ ;\ 32...

On sait que {\frac{5}{12} = \frac{5\ \color{blue}{\times\ 2}}{12\ \color{blue}{\times\ 2}} = \frac{10}{24}}.

De même, {\frac{3}{8} = \frac{3\ \color{blue}{\times\ 3}}{8\ \color{blue}{\times\ 3}} = \frac{9}{24}}.

Or, {\frac{10}{24} >\frac{9}{24}} donc \frac{5}{12} >\frac{3}{8}.

Explications

Pour comparer deux fractions dans le cas général, on les réduit au même dénominateur en utilisant les tables de multiplication.

Si c'est difficile à faire mentalement, on peut écrire la liste des multiples de chaque dénominateur et trouver un multiple commun.

Une fois que les deux fractions sont au même dénominateur, on peut comparer les numérateurs et conclure.
Supplément numérique
Retrouvez cette méthode en
vidéo
.
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22
 On souhaite réduire au même dénominateur les fractions \ \frac{12}{15}\ et \ \frac{7}{5}.
Recopier et compléter le raisonnement suivant.

  • Le nombre \mathrm{15} est un multiple du nombre \mathrm{5} puisque \mathrm{15} = \mathrm{5}\ \times
    .
  • On peut donc écrire : \frac{\mathrm{7}}{\mathrm{5}} = \frac{\mathrm{7} \times \dots}{\mathrm{5} \times \dots} = \frac{\dots}{\mathrm{15}}.

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23
 1. Comparer les fractions \ \frac{3}{5}\ et \ \frac{7}{10}.

2. Comparer les fractions \ \frac{31}{36}\ et \ \frac{8}{9}.

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24
 1. Comparer les fractions \ \frac{7}{3}\ et \ \frac{34}{15}.

2. Comparer les fractions \ \frac{3}{8}\ et \ \frac{19}{48}.

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25
 On souhaite réduire au même dénominateur les fractions \ \frac{7}{9}\ et \ \frac{1}{12}.
Recopier et compléter le raisonnement suivant.

  • Les premiers multiples non nuls de 9 sont : \ 9 ;
    ;
    ;
    ;
    ; 54.

  • Les premiers multiples non nuls de 12 sont : \ 12 ;
    ;
    ; 48.

  • Le nombre
    est un multiple commun à 9 et 12. En effet,
    = 9 \times
    = 12 \times
    .

  • D'une part, on peut écrire : {\frac{7}{9} = \frac{7 \times ...}{9 \times ...} = \frac{...}{36}}.

  • D'autre part, on peut écrire : {\frac{1}{12} = \frac{1 \times ...}{12 \times ...} = \frac{...}{36}}.

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26
 1. Comparer les fractions \ \frac{4}{5}\ et \ \frac{5}{7}.

2. Comparer les fractions \ \frac{3}{8}\ et \ \frac{1}{3}.

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27
 On souhaite classer dans l'ordre croissant les fractions \ \frac{13}{9}\ ;\ \frac{4}{3}\ et \ \frac{22}{15}.

1. Comparer \frac{13}{9} et \frac{4}{3}.

2. Comparer \frac{13}{9} et \frac{22}{15}.

3. En déduire le classement souhaité.
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28
 Ranger les fractions suivantes dans l'ordre croissant :
\quad \frac{3}{5}\quad ;\quad \frac{5}{6}\quad ;\quad \frac{1}{2}\quad ;\quad \frac{7}{10}\quad ;\quad \frac{2}{3}.

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Méthode 3

Additionner et soustraire des fractions

Énoncé

Effectuer les calculs suivants.

1. \frac{5}{8} + \frac{1}{4}
2. \frac{5}{7} - \frac{1}{6}

Solution


1. \frac{5}{8} + \frac{1}{4} = \frac{5}{8} + \frac{1 \times {\color{blue}2}}{4 \times {\color{blue}2}}

\phantom{\quad \frac{5}{8} + \frac{1}{4}} = \frac{5}{8} + \frac{2}{8} = \frac{5 + 2}{8} = \frac{7}{8}


2. Multiples de 7\ :\ 7\ ;\ 14\ ;\ 21\ ;\ 28\ ;\ 35\ ;\ {\color{red}42}\ ;\ 49...
Multiples de 6\ :\ 6\ ;\ 12\ ;\ 18\ ;\ 24\ ;\ 30\ ;\ 36\ ;\ {\color{red}42}...

\frac{5}{7} - \frac{1}{6} = \frac{5 \times {\color{blue}6}}{7 \times {\color{blue}6}} - \frac{1 \times {\color{blue}7}}{6 \times {\color{blue}7}}

\phantom{\quad \frac{5}{7} - \frac{1}{6}}= \frac{30}{42} - \frac{7}{42} = \frac{30 - 7}{42} = \frac{23}{42}

Explications

Pour additionner ou soustraire deux fractions de dénominateurs différents :
  • on les réduit au même dénominateur (en utilisant les tables de multiplication ou bien une liste de multiples) ;
  • on conserve le dénominateur commun et on ajoute ou soustrait les numérateurs entre eux.
Supplément numérique
Retrouvez cette méthode en
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.
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29
 Dans chaque cas, mettre les deux fractions au même dénominateur.

1. \frac{8}{5}\ et \ \frac{2}{35}.

2. \frac{7}{6}\ et \ \frac{4}{15}.

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30
 On souhaite calculer \ \frac{18}{13} + \frac{29}{26}.

Recopier et compléter les étapes suivantes.

\frac{18}{13}+\frac{29}{26}=\frac{18 \times \ldots}{13 \times \ldots}+\frac{29}{26}

\phantom{\frac{18}{13}+\frac{29}{26}}= \frac{\cdots}{\mathrm{26}} + \frac{\mathrm{29}}{\mathrm{26}}

\phantom{\frac{18}{13}+\frac{29}{26}}= \frac{\cdots + \cdots}{\mathrm{26}}

\phantom{\frac{18}{13}+\frac{29}{26}}= \frac{\cdots}{\cdots}

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31
 Calculer les expressions suivantes.

1. \frac{11}{20} + \frac{3}{4}

2. \frac{13}{15} - \frac{2}{5}

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32
Générateur d'exercices
 Dans chaque cas, mettre les deux fractions au même dénominateur.

1. \frac{1}{3}\ et \ \frac{4}{5}.

2. \frac{5}{8}\ et \ \frac{2}{9}.

3. \frac{2}{9}\ et \ \frac{7}{4}.

4. 1\ et \ \frac{5}{6}.

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33
 On souhaite calculer \ \frac{6}{7}+\frac{9}{11}.

Recopier et compléter les étapes suivantes.

\frac{6}{7}+\frac{9}{11}=\frac{6 \times \cdots}{7 \times \cdots}+\frac{9 \times \cdots}{11 \times \cdots}

\phantom{\frac{6}{7}+\frac{9}{11}}= \frac{\cdots}{77} + \frac{\cdots}{77}

\phantom{\frac{6}{7}+\frac{9}{11}}= \frac{\cdots + \cdots}{\mathrm{77}}

\phantom{\frac{18}{13}+\frac{29}{26}}= \frac{\cdots}{\cdots}

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34
Générateur d'exercices
Calculer les expressions suivantes.

1. \frac{7}{10} + \frac{3}{4}

2. \frac{5}{6} - \frac{2}{7}

3. \frac{3}{5} + \frac{4}{7}

4. \frac{9}{11} - \frac{2}{7}

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35
 Calculer les expressions suivantes.

1. \frac{\mathrm{6}}{\mathrm{13}} + \frac{\mathrm{5}}{\mathrm{8}}

2. \mathrm{1} - \frac{\mathrm{2}}{\mathrm{11}}

3. \frac{\mathrm{7}}{\mathrm{12}} + \frac{\mathrm{5}}{\mathrm{14}}

4. \frac{\mathrm{8}}{\mathrm{15}} - \frac{\mathrm{3}}{\mathrm{7}}

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Méthode 4

Résoudre des problèmes avec les fractions

Énoncé

Noé fait une randonnée. Le matin, il parcourt {\frac{1}{3}} de son trajet total. L'après-midi, il marche {\frac{1}{2}} du trajet total. En fin d'après-midi, un panneau lui indique qu'il lui reste 2 km à parcourir.

1. Quelle fraction du trajet lui reste-t-il à parcourir ?
2. Quelle est la longueur totale du trajet ?

Solution


1. \ \frac{1}{3} + \frac{1}{2} = \frac{1 \times {\color{red}2}}{3 \times {\color{red}2}} + \frac{1 \times {\color{blue}3}}{2 \times {\color{blue}3}}\ = \frac{2}{6} + \frac{3}{6} = \frac{5}{6}

Noé a parcouru {\frac{5}{6}} du trajet.

On a 1 - \frac{5}{6} = \frac{6}{6} - \frac{5}{6} = \frac{1}{6}.

Ainsi, il lui reste à parcourir \frac{1}{6} du trajet.


2. La fraction restante \ \frac{1}{6}\ représente 2 km.

On peut utiliser la représentation suivante.

Placeholder pour Methode 4 schemaMethode 4 schema

Le trajet total mesure donc {2 \text{ km} \times 6 = 12 \text{ km}}.

Explications

  • Le trajet total correspond au nombre 1.
  • Pour connaître la partie déjà parcourue, on ajoute les fractions de l'énoncé.
  • Pour calculer le reste, on retranche cette somme au nombre 1.
  • On peut utiliser une résolution en barres pour calculer la longueur totale.
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36
 Claire récolte des pommes dans son verger. Elle a récolté \frac{\mathrm{5}}{\mathrm{8}} du verger entier le lundi et \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}} du verger entier le mardi.

1. Quelle fraction du verger a-t-elle récoltée sur ces deux jours ?
2. Quelle fraction reste-t-il à récolter ?
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37
 Dans le potager de Lian, \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}} de la surface est planté de tomates et \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{3}} est planté de carottes.

1. Quelle fraction du potager est utilisée ?
2. Il souhaite planter des haricots sur le reste de son potager. Sur quelle fraction du potager pourra-t-il les planter ?
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38
 Elijah fait une ascension en trois étapes :
  • le matin, il grimpe \frac{\mathrm{2}}{\mathrm{5}} de la falaise ;
  • l'après-midi, il grimpe encore \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}} ;
  • le soir, il termine \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{10}} de la montée.

1. Quelle fraction de la falaise a-t-il escaladée en tout ?
2. A-t-il atteint le sommet ? Si non, quelle fraction lui reste-t-il à grimper ?
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39
 Sarah fait une promenade de \mathrm{12} km.
Elle marche \frac{3}{8} du trajet, puis court pendant \frac{1}{4} du trajet.

1. Quelle fraction du trajet a-t-elle parcourue ?
2. Quelle fraction du trajet reste-t-il à parcourir ?
3. Quelle distance, en km, reste-t-il à parcourir ?
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40
 Un verre doseur est complètement rempli avec du lait.

1. On retire \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{4}} du lait.
Quelle fraction du verre reste remplie ?
2. On rajoute \frac{\mathrm{1}}{\mathrm{5}} de la capacité totale du verre.
Quelle fraction du verre reste remplie ?
3. Peut-on boire \frac{\mathrm{9}}{\mathrm{10}} de la capacité totale du verre ?
Justifier.
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