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Outils informatiquesp. 23-31

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Chapitre 1

Priorités opératoires

Chapitre 2

Introduction au calcul littéral

Chapitre 3

Introduction aux nombres relatifs

Chapitre 4

Opérations sur les nombres relatifs

Chapitre 5

Nombres rationnels

Chapitre 6

Puissances

Chapitre 7

Initiation aux équations

Chapitre 8

Symétrie centrale, parallélisme et angles

Chapitre 9

Triangles et droites remarquables

Chapitre 10

Parallélogrammes

Chapitre 11

Représentation de l’espace

Chapitre 12

Statistiques et probabilités

Chapitre 13

Proportionnalité

Chapitre 14

Introduction aux fonctions

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Chapitre 6

Cours

Puissances

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Notion de puissance

Définition

Soit

a

un nombre décimal positif.
On appelle le carré de

a

, noté

a^{2}

, le produit de

a

par lui-même :

a^{2} = 2 facteurs a \times a

.

On appelle le cube de

a

, noté

a^{3}

, le produit de

a

par lui-même trois fois :

a^{3} = 3 facteurs a \times a \times a

.

On dit que

a^{2}

a^{3}

sont des puissances de

a

.
On appelle exposant le « petit » nombre écrit en haut à droite du facteur

a

qui est répété dans la multiplication.

Exemples :

7^{2} = 7 \times 7 = 49

2, 5^{2} = 2, 5 \times 2, 5 = 6, 25

1 0^{3} = 10 \times 10 \times 10 = 1000

Remarque :

a^{2}

se lit

« a

exposant

2 »

» ou «

« a

puissance

2 »

ou encore

« a

au carré

»

en référence à la formule de l'aire du carré. De même,

« a^{3} »

se lit

« a

exposant

3 »

« a

puissance

3 »

ou encore

« a

au cube

»

en référence à la formule du volume du cube.

Pour la formule de l'aire d'un carré de côté

c

, on pourra écrire :

A_{carr e ˊ} = c \times c = c^{2}

. Par ailleurs, on retrouve cette puissance dans l'unité d'aire : si le côté

c

est exprimé en

cm

alors l'aire sera exprimée en

cm \times cm = c m^{2}

.

De même, pour le volume d'un cube de côté

c

, on pourra écrire :

V_{cube} = c \times c \times c = c^{3}

. Et on retrouve cette puissance dans l'unité de volume :

c m^{3}, m^{3}, k m^{3}

, etc.

Exemples :

1. Pour calculer l'aire d'un carré de côté

8 cm

, on calcule

8 cm \times 8 cm

, ce qui donne

8 \times 8 c m^{2}

. Autrement dit, on a

8^{2} c m^{2}

soit

64 c m^{2}

.

2. Pour calculer le volume d'un cube de côté

5 dm

, on calcule

5 dm \times 5 dm \times 5 dm

soit

5^{3} d m^{3}

, ce qui donne

125 d m^{3}

Définition

On appelle carrés parfaits les nombres qui sont le carré d'un nombre entier.

Voici la liste des carrés parfaits à connaître.

$0^{2}$ $= 0$	$1^{2} = 1$	$2^{2} = 4$	$3^{2} = 9$	$4^{2} = 16$	$5^{2} = 25$	$6^{2} = 36$
$0^{2}$ $= 0$	$7^{2}$ $= 49$	$8^{2} = 64$	$9^{2} = 81$	$1 0^{2}$ $= 100$	$1 1^{2}$ $= 121$	$1 2^{2}$ $= 144$

Remarque : Certains nombres peuvent s'écrire à la fois sous la forme d'un carré

a^{2}

et sous la forme d'un cube

b^{3}

.
En effet,

64

est le carré de

8

et le cube de

4

; autrement dit

8^{2} = 4^{3} = 64

. On a aussi

9^{3} = 2 7^{2} = 729

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Priorités opératoires

Propriété

Pour calculer une expression sans parenthèses avec des puissances, les calculs avec les puissances sont prioritaires sur les multiplications et divisions, elles-mêmes prioritaires sur les additions et les soustractions.

Exemples :

A = 7 + 4 \times 3^{2} D A = 7 + 4 \times 9 D A = 7 + 36 D A = 43

B = 4^{3} - 1 1^{2} \div 10 D B = 64 - 1 1^{2} \div 10 D B = 64 - 121 \div 10 D B = 64 - 12, 1 D B = 51, 9

C = 6^{2} \times 10 \div 9 + 7^{2} D C = 36 \times 10 \div 9 + 49 D C = 360 \div 9 + 49 D C = 40 + 49 D C = 89

Propriété

Pour calculer une expression contenant des parenthèses et des puissances, les parenthèses sont toujours prioritaires sur toutes les autres opérations.

Remarque : En particulier,

3 \times 5^{2} \neq = (3 \times 5)^{2}

. Le membre de gauche est

3 \times 5^{2} = 3 \times 5 \times 5 = 75

alors que le membre de droite est

(3 \times 5)^{2} = 1 5^{2} = 15 \times 15 = 225

Exemples :

D = (2 + 5 \times 10) \div 2^{2} D D = (2 + 50) \div 2^{2} D D = 52 \div 2^{2} D D = 52 \div 4 D D = 13

E = 1 0^{(3 \times 2 - 4)} - 3 D E = 1 0^{(6 - 4)} - 3 D E = 1 0^{2} - 3 D E = 100 - 3 D E = 97

F = 50 \times 2 \div (2 - 1 + 2^{2})^{2} D F = 50 \times 2 \div (2 - 1 + 4)^{2} D F = 50 \times 2 \div (1 + 4)^{2} D F = 50 \times 2 \div 5^{2} D F = 50 \times 2 \div 25 D F = 100 \div 25 D F = 4

G = [(1 2^{2} - 4) \div 5 + 1] \times 2 D G = [(144 - 4) \div 5 + 1] \times 2 D G = [140 \div 5 + 1] \times 2 D G = [28 + 1] \times 2 D G = 29 \times 2 D G = 58

H = \frac{8 ^{3} + 10}{2 ^{2} \times 5} D H = (8^{3} + 10) \div (2^{2} \times 5) D H = (512 + 10) \div (4 \times 5) D H = 522 \div 20 D H = 26, 1

I = (\frac{6}{2})^{1 + 2} D I = (3)^{1 + 2} D I = 3^{3} D I = 27

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Généralisation

Définition

De façon générale, lorsque l'on multiplie un même nombre

a

par lui-même

n

fois, où

n

est un entier naturel, on a alors la notation suivante :

n fois a \times a \times \dots \times a = a^{n}

Exemple :

9 \times 9 \times 9 \times 9 \times 9 \times 9 = 9^{6}

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