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Chapitre 6
Cours

Puissances

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1
Notion de puissance

Définition

Soit a un nombre décimal positif.
On appelle le carré de a, noté a^2, le produit de a par lui-même : a^{\color{red}2}=\underbrace{a \times a}_{\color{red}{2\ \text{facteurs}}}.

On appelle le cube de a, noté a^3, le produit de a par lui-même trois fois : a^{\color{blue}3} = \underbrace{a \times a \times a}_{\color{blue}{3\ \text{facteurs}}}.

On dit que a^2 et a^3 sont des puissances de a.
On appelle exposant le « petit » nombre écrit en haut à droite du facteur a qui est répété dans la multiplication.

Exemples :

1. \mathrm{7^2 = 7 \times 7 = 49}
2. \mathrm{2,5^2 = 2,5 \times 2,5 = 6,25}
3. \mathrm{10^3 = 10 \times 10 \times 10 = 1\ 000}

Remarque : a^2 se lit «\ a exposant 2\ » » ou « «\ a puissance 2\ » ou encore «\ a au carré » en référence à la formule de l'aire du carré. De même, «\ a^3\ » se lit «\ a exposant 3\ » ou «\ a puissance 3\ » ou encore «\ a au cube » en référence à la formule du volume du cube.

Pour la formule de l'aire d'un carré de côté c, on pourra écrire : \mathrm{A_{carré}} = c \times c = c^2. Par ailleurs, on retrouve cette puissance dans l'unité d'aire : si le côté c est exprimé en \mathrm{cm} alors l'aire sera exprimée en \mathrm{cm \times cm = cm^2}.

De même, pour le volume d'un cube de côté c, on pourra écrire : \mathrm{V_{cube}} = c \times c \times c = c^3. Et on retrouve cette puissance dans l'unité de volume : \mathrm{cm^3, m^3, km^3}, etc.

Exemples :

1. Pour calculer l'aire d'un carré de côté 8 \text{ cm}, on calcule \mathrm{8\ cm \times 8\ cm}, ce qui donne \mathrm{8 \times 8\ cm^2}. Autrement dit, on a \mathrm{8^2\ cm^2} soit \mathrm{64\ cm^2}.

2. Pour calculer le volume d'un cube de côté \mathrm{5\ dm}, on calcule \mathrm{5\ dm \times 5\ dm \times 5\ dm} soit \mathrm{5^3\ dm^3}, ce qui donne \mathrm{125\ dm^3}.

Définition

On appelle carrés parfaits les nombres qui sont le carré d'un nombre entier.

Voici la liste des carrés parfaits à connaître.

0^2{= 0}
1^2 = 1
2^2 = 4
3^2 = 9
4^2 = 16
5^2 = 25
6^2 = 36
7^2{= 49}
8^2 = 64
9^2 = 81
10^2{= 100}
11^2{= 121}
12^2{= 144}

Remarque : Certains nombres peuvent s'écrire à la fois sous la forme d'un carré a^2 et sous la forme d'un cube b^3.
En effet, 64 est le carré de 8 et le cube de 4 ; autrement dit {8^2 = 4^3 = 64}. On a aussi {9^3 = 27^2 = 729}.
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2
Priorités opératoires

Propriété

Pour calculer une expression sans parenthèses avec des puissances, les calculs avec les puissances sont prioritaires sur les multiplications et divisions, elles-mêmes prioritaires sur les additions et les soustractions.

Exemples :

1. \mathrm{A} = 7 + 4 \times {\color{red}3^2} \\ \phantom{D}\mathrm{A} = 7 + 4\ {\color{blue}\times}\ 9 \\ \phantom{D}\mathrm{A} = 7 + 36 \\ \phantom{D}\mathrm{A} = 43
2. \mathrm{B} = {\color{red}4^3} - 11^2 \div 10 \\ \phantom{D}\mathrm{B} = 64 - {\color{red}11^2} \div 10 \\ \phantom{D}\mathrm{B} = 64 - 121\ {\color{blue}\div}\ 10 \\ \phantom{D}\mathrm{B} = 64 - 12,1 \\ \phantom{D}\mathrm{B} = 51,9
3. \mathrm{C} = {\color{red}6^2} \times 10 \div 9 + {\color{red}7^2} \\ \phantom{D}\mathrm{C} = 36\ {\color{blue}\times}\ 10 \div 9 + 49 \\ \phantom{D}\mathrm{C} = 360\ {\color{blue}\div}\ 9 + 49 \\ \phantom{D}\mathrm{C} = 40 + 49 \\ \phantom{D}\mathrm{C} = 89

Propriété

Pour calculer une expression contenant des parenthèses et des puissances, les parenthèses sont toujours prioritaires sur toutes les autres opérations.
Remarque : En particulier, {3 \times 5^2 \neq (3 \times 5)^2}. Le membre de gauche est \ {3 \times 5^2 = 3 \times 5 \times 5 = 75}\ alors que le membre de droite est \ {(3 \times 5)^2 = 15^2 = 15 \times 15 = 225}.

Exemples :

1. \mathrm{D} = (2 + {\color{red}5 \times 10}) \div 2^2 \\ \phantom{D}\mathrm{D} = (2\ {\color{blue}+}\ 50) \div 2^2 \\ \phantom{D}\mathrm{D} = 52 \div 2^2 \\ \phantom{D}\mathrm{D} = 52 \div 4 \\ \phantom{D}\mathrm{D} = 13

2. \mathrm{E} = 10^{{\color{red}(3 \times 2} - 4)} - 3 \\ \phantom{D}\mathrm{E} = 10^{(6 {\color{blue}-} 4)} - 3 \\ \phantom{D}\mathrm{E} = 10^2 - 3 \\ \phantom{D}\mathrm{E} = 100 - 3 \\ \phantom{D}\mathrm{E} = 97

3. \mathrm{F} = 50 \times 2 \div (2 - 1 + {\color{red}2^2})^2 \\ \phantom{D}\mathrm{F} = 50 \times 2 \div (2\ {\color{blue}-}\ 1 + 4)^2 \\ \phantom{D}\mathrm{F} = 50 \times 2 \div (1\ {\color{blue}+}\ 4)^2 \\ \phantom{D}\mathrm{F} = 50 \times 2 \div 5^2 \\ \phantom{D}\mathrm{F} = 50 \times 2 \div 25 \\ \phantom{D}\mathrm{F} = 100 \div 25 \\ \phantom{D}\mathrm{F} = 4

4. \mathrm{G} = [({\color{red}12^2} - 4) \div 5 + 1] \times 2 \\ \phantom{D}\mathrm{G} = [(144\ {\color{blue}-}\ 4) \div 5 + 1] \times 2 \\ \phantom{D}\mathrm{G} = [140 \div 5 + 1] \times 2 \\ \phantom{D}\mathrm{G} = [28 + 1] \times 2 \\ \phantom{D}\mathrm{G} = 29 \times 2 \\ \phantom{D}\mathrm{G} = 58

5. \mathrm{H} = \frac{{\color{red}8^3} + 10}{{\color{red}2^2} \times 5} \\ \phantom{D}\mathrm{H} = (8^3 + 10) \div (2^2 \times 5) \\ \phantom{D}\mathrm{H} = (512 + 10) \div (4 \times 5) \\ \phantom{D}\mathrm{H} = 522 \div 20 \\ \phantom{D}\mathrm{H} = 26,1

6. \mathrm{I} = \left(\frac{6}{2}\right)^{1+2} \\ \phantom{D}\mathrm{I} = (3)^{1+2} \\ \phantom{D}\mathrm{I} = 3^3 \\ \phantom{D}\mathrm{I} = 27

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3
Généralisation

Définition

De façon générale, lorsque l'on multiplie un même nombre a par lui-même n fois, où n est un entier naturel, on a alors la notation suivante : \underbrace{a \times a \times \dots \times a}_{n \text{ fois}} = a^n.

Exemple :

9 \times 9 \times 9 \times 9 \times 9 \times 9 = 9^6
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