Chapitre 6
Applications directes
Puissances
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Méthode 1
Calculer la puissance d'un nombre
Énoncé
Effectuer les calculs suivants sans l'aide de la calculatrice.
1. 10^3\quad\quad\quad 2. 900^2
Solution
1. 10^3 = \underbrace{10 \times 10 \times 10}_{3 \text{ facteurs}} = 100 \times 10 = 1\,000
2. 900^2 = \underbrace{900 \times 900}_{2 \text{ facteurs}} \\ \phantom{2.\ 900^2}= 9 \times 100 \times 9 \times 100 \\ \phantom{2.\ 900^2}= 9 \times 9 \times 100 \times 100 \\ \phantom{2.\ 900^2}= 9^2 \times 100^2 \\ \phantom{2.\ 900^2}= 81 \times 10\,000 \\ \phantom{2.\ 900^2}= 810\,000
Explications
L'écriture avec un exposant 2 signifie que l'on multiplie un nombre deux fois par lui-même ; avec un exposant 3, on multiplie le nombre par lui-même trois fois de suite.
On effectue ensuite les multiplications pour connaître le résultat final.
Supplément numérique
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16
Compléter les égalités suivantes avec le bon exposant.
1. 7 \times 7 \times 7 =\ 7
2. 6 \times 6 =\ 6
2. 6 \times 6 =\ 6
3. 11 \times 11 =\ 11
4. 15 \times 15 \times 15 =\ 15
4. 15 \times 15 \times 15 =\ 15
5. 5,3 \times 5,3 \times 5,3 =\ 5,5
6. 8,1 \times 8,1 =\ 8,1
6. 8,1 \times 8,1 =\ 8,1
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Pour les exercices 17 à 20, écrire chaque puissance sous forme d'un produit, puis calculer.
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17
1. \mathrm{30^{2}}
2. \mathrm{4^{3}}
3. \mathrm{10\ 000^{3}}
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18
Générateur d'exercices
1. \mathrm{7^3}
2. \mathrm{20^2}
3. \mathrm{8^3}
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19
1. \mathrm{50^{2}}
2. \mathrm{14^{2}}
3. \mathrm{6\,000^{2}}
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20
1. \mathrm{100\ 000^2}
2. \mathrm{12^2}
3. \mathrm{150^2}
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21
1. Calculer \mathrm{5}^{2} et \mathrm{100}^{2}.
2. En déduire \mathrm{500}^{2}.
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22
1. Calculer 6^3 et 10^3.
2. En déduire 60^3.
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23
En utilisant 11^{2}, effectuer astucieusement les calculs suivants.
1. 110^{2}
2. 1\,100^{2}
3. 11\,000^{2}
1. 110^{2}
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24
Effectuer les calculs suivants.
1. \mathrm{60^2}
2. \mathrm{200^3}
3. \mathrm{2,4^2}
1. \mathrm{60^2}
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25
Effectuer les calculs suivants.
1. \mathrm{30^3}
2. \mathrm{4,3^2}
3. \mathrm{700^2}
1. \mathrm{30^3}
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26
Effectuer les calculs suivants.
1. \mathrm{2\,000^3}
2. \mathrm{1,3^3}
3. \mathrm{18^3}
1. \mathrm{2\,000^3}
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Méthode 2
Calculs prioritaires avec des puissances
Énoncé
Calculer les expressions suivantes sans l'aide de la calculatrice.
1. {\mathrm{A} = 5 \times 2^3 - 18 + 10^3}
2. {\mathrm{B} = (5^2 - 21)^3 + (2 \times 5)^2}
Solution
1. \mathrm{A} = 5 \times {\color{red}2^3} - 18 + {\color{blue}10^3} \\
\phantom{1.\,}\mathrm{A} = 5 \times {\color{red}2 \times 2 \times 2} - 18 + {\color{blue}10 \times 10 \times 10} \\
\phantom{1.\,}\mathrm{A} = 5 \times {\color{red}8} - 18 + {\color{blue}1\,000} \\
\phantom{1.\,}\mathrm{A} = 40 - 18 + 1\,000 \\
\phantom{1.\,}\mathrm{A} = 1\,022
2. \mathrm{B} = ({\color{red}5^2} - 21)^3 + (2 \times 5)^2 \\ \phantom{2.\,}\mathrm{B} = (\underbrace{{\color{red}25} - 21})^3 + (\underbrace{2 \times 5})^2 \\ \phantom{2.\,}\mathrm{B} = \phantom{(25\ }{\color{blue}4^3}\phantom{21)^3} + \phantom{(2\,} {\color{yellow}10^2} \\ \phantom{2.\,}\mathrm{B} = \ {\color{blue}4 \times 4 \times 4}\, + {\color{yellow}10 \times 10} \\ \phantom{2.\,}\mathrm{B} = {\color{blue}64} + {\color{yellow}100} \\ \phantom{2.\,}\mathrm{B} = 164
Explications
On doit respecter les priorités opératoires en faisant les calculs toujours dans le même ordre :
a. les calculs entre parenthèses ;
b. les puissances ;
c. les multiplications et les divisions ;
d. les additions et les soustractions.
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Pour les exercices 27 et 28, recopier le ou les calculs prioritaires.
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27
1. 11^3 - 8 \times 4 + 20
2. 74 - 7 \div 10^3 \times 21
3. 4 \times 5 \div 10 - 3^2 + 70 \div 10
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28
1. \mathrm{8} \times \mathrm{7} \times \mathrm{4} \div \mathrm{10} - \mathrm{5}^{3} + \mathrm{10}
2. (\mathrm{7}^{3} - \mathrm{4} + \mathrm{45} \div \mathrm{9})^{2} - \mathrm{11}^{3}
3. [\mathrm{2}^{3} + \mathrm{8} \times (\mathrm{4,8} \times \mathrm{2} \div \mathrm{3} + \mathrm{6})]^{3}
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Pour les exercices 29 et 30, compléter les égalités.
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29
1. 4^2 - 3^2 + 10 = - +\ 10 =
2. 10^2 + 7^2 \times 2 = + \times\ 2 =
3. 2^2 \times 3^2 \div 6 = \times \div\ 6 =
2. 10^2 + 7^2 \times 2 =
3. 2^2 \times 3^2 \div 6 =
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30
1. (1^3 + 8^2) \times 10 = ( + ) \times 10 =
2. (11^2 - 10^2) \div 7 = ( - ) \div 7 =
3. (4 \times 7 + 2)^3 = ( + 2)^3 = ( )^3 =
2. (11^2 - 10^2) \div 7 = (
3. (4 \times 7 + 2)^3 = (
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Pour les exercices 31 à 34, calculer les expressions en détaillant les étapes.
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31
1. \mathrm{A = 7 \times 4 + 4^2 - 10}
2. \mathrm{B = 10 \times 2^2 + 3 \times 3^2}
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32
1. \mathrm{C = 5^2 \times 10^2 \times 2}
2. \mathrm{D = (3 \times 2 + 2^2)^2}
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33
1. \mathrm{E} = 9^2 - (7 \times 2^2 - 4)
2. \mathrm{F} = (4^2 \times 3 + 2)^2
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34
1. \mathrm{G = 2,5^{2} \times 10^{2} + 5^{2} - 7 \times 2^{2}}
2. \mathrm{H = 70^{2} + (6^{2} + 8^{2})^{2}}
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