Puissances

Une boîte en forme de cube a un côté de longueur $a=4\text{ cm}$.

1. Calculer l'aire d'une face de cette boîte.

2. Calculer l'aire totale (toutes les faces) de la boîte.

3. Calculer le volume de la boîte.

4. Une autre boîte, aussi en forme de cube, a un côté trois fois plus long. a. Calculer son aire totale et son volume.

b. Exprimer les résultats à l'aide de puissances.

On plie en deux une feuille de papier A4 d'épaisseur $0,1\text{ mm}$. Chaque fois que l'on plie cette feuille, l'épaisseur double.

1. On plie deux fois la feuille. Quelle est l'épaisseur obtenue ?

2. Quel calcul permet de déterminer l'épaisseur obtenue après trois pliages ?

3. Un élève prétend avoir obtenu une épaisseur de $15\text{ mm}$ en pliant la feuille plusieurs fois. Expliquer pourquoi ce n'est pas possible.

4. En pliant trois fois une feuille, on obtient une épaisseur de $2,4\text{ mm}$. Quelle était l'épaisseur initiale de la feuille ?

1. a. Les deux premières tuiles de chaque partie sont des $2$.
Quel nombre obtient-on en les combinant ?

b. En combinant deux tuiles de valeur $4$, quel nombre obtient-on ?

c. Pourra-t-on obtenir le nombre $10$ ? Justifier.

2. Expliquer pourquoi toutes les valeurs obtenues sont des puissances de $2$.

3. Justifier le fait que l'on puisse obtenir le nombre $2048$.

2. On peut directement calculer la somme d'argent sur le compte en multipliant la somme de départ par $1,05$.
Vérifier que l'on obtient le même résultat par cette méthode.

3. a. Avec cette méthode, calculer la somme d'argent dont on disposera à la fin de la deuxième année.

b. Que calcule-t-on avec le calcul suivant : $1000\times 1,05^3$ ?

4. Quel calcul permet de déterminer la somme d'argent que l'on aura au bout de dix ans ?

1. a. Pour calculer $7^2$ à la calculatrice, on utilise la séquence suivante.

Calculer le nombre $28^2$ à l'aide de la calculatrice.

b. Calculer, à l'aide de la calculatrice, les carrés parfaits de $13^2$ à $20^2$.

2. De façon générale, il existe une touche « puissance » que l'on peut utiliser pour calculer n'importe quelle puissance.

Par exemple, pour calculer $8^3$ à la calculatrice, on utilise la séquence suivante.


Calculer le nombre $28^3$ avec la calculatrice.

3. a. Calculer à la main l'expression suivante.

$\mathrm{A}=3^2+4\times 5+8^3$

b. Vérifier le résultat à l'aide d'une calculatrice.

1. Un carré a une aire de $121{\mathrm{m}}^2$.
Quelle est la longueur de ses côtés ?

2. Un cube a un volume de $125{\mathrm{cm}}^3$ .
Quelle est la longueur de ses arêtes ?

3. Un carré a une aire de $625{\mathrm{dm}}^2$ .
Quelle est la longueur de ses côtés ?

On considère les expressions suivantes.


1. Compléter la pyramide ci-dessous en indiquant les valeurs de $\mathrm{A}$ et $\mathrm{D}$.
2. La valeur de chaque case de la pyramide est égale à la somme des deux cases situées en dessous d'elle. Retrouver les valeurs de $\mathrm{B},\mathrm{C}$ et $\mathrm{E}$ parmi les expressions suivantes.

• $(1+7{)}^2+3=$
  $=$


• $(2+5{)}^2-6=$
  $=$


• $4^3-6^2-4=$
  $=$

3. Vérifier que le nombre $\text{F}$ est un carré parfait.

Voici deux programmes de calcul.

1. a. Exécuter le programme A en choisissant $7$ comme nombre de départ.

b. Parmi les expressions suivantes, retrouver celle correspondant au programme A lorsque l'on choisit $7$.
c. Si on note $x$ le nombre choisi, quelle est l'expression correspondant au programme A ?

2. a. Exécuter le programme B en choisissant la valeur $7$.

b. Écrire l'expression correspondante pour la valeur $7$, puis pour un nombre quelconque $x$.

3. Écrire un programme de calcul dont l'expression finale est : $x^2+2^3$.

4. Écrire un programme de calcul dont l'expression finale est : $(x^2+2{)}^3$.

On s'intéresse à tous les nombres entiers de $1$ à $100$.

1. Combien d'entre eux sont des carrés parfaits ?

2. Combien d'entre eux sont des cubes parfaits ?

3. Combien d'entre eux sont à la fois un carré parfait et un cube parfait ?

En informatique, les ordinateurs utilisent le système binaire pour représenter les informations. Le système binaire est une manière de compter qui n'utilise que deux chiffres : $0$ et $1$. Chaque « chiffre » binaire est appelé un bit, correspondant chacun à une puissance de $2$. On admettra que $2^0=1$ et $2^1=2$.



1. En utilisant l'exemple précédent, déterminer l'écriture décimale des nombres binaires suivants. 2. Comment écrire en binaire les nombres suivants ?

Dans un monde envahi par des zombies, chaque zombie contamine quatre nouvelles personnes en une heure puis disparaît.
On suppose qu'à minuit, il n'y a qu'un seul zombie.

1. Combien de personnes seront contaminées à $1\text{ h}$ du matin ? À $2\text{ h}$ ? À $4\text{ h}$ ?

2. Supposons à présent que les zombies continuent de contaminer quatre nouvelles personnes à chaque heure mais ne disparaissent plus. Combien y aura-t-il de zombies à $1\text{ h}$ du matin ? À $2\text{ h}$ ? À $3\text{ h}$ ?

Comment obtenir $16$ en utilisant seulement trois fois le chiffre $2$ ?

En utilisant uniquement deux fois le chiffre $3$ et deux fois le chiffre $2$, comment obtenir le nombre $108$ ?

Je suis un nombre à quatre chiffres.
Je suis à la fois le carré d'un nombre entier pair, le cube d'un autre nombre entier, et le carré du carré d'un nombre entier inférieur à $10$.
Qui suis-je ?