Chapitre 7
Cours
Initiation aux équations
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1
Tester une égalité
Définition
Une égalité d'expressions littérales est dite vraie pour un nombre si, en remplaçant les lettres par ce nombre et en calculant les valeurs des expressions, le membre de gauche est égal au membre de droite. Sinon, elle est dite fausse pour ce nombre.
Exemple :
a + 5=2a+3 est une égalité de deux expressions littérales, qui dépendent chacune de la valeur de a. Le membre de gauche est {\,a + 5\,} et le membre de droite est {\,2a+3}.
1. En testant avec le nombre \color{red}6, on obtient, à gauche, {{\color{red}6}+5=11} et, à droite, {2 \times {\color{red}6} + 3 = 12 + 3 = 15}.
On dit que le nombre \color{red}6 ne vérifie pas l'égalité a+5=2a+3.
2. En testant avec le nombre \color{red}2, on obtient, à gauche, {{\color{red}2} + 5 = 7} et, à droite, {2 \times {\color{red}2} + 3 = 4 + 3 = 7}.
On dit que le nombre \color{red}2 vérifie l'égalité a+5=2a+3.
a + 5=2a+3 est une égalité de deux expressions littérales, qui dépendent chacune de la valeur de a. Le membre de gauche est {\,a + 5\,} et le membre de droite est {\,2a+3}.
1. En testant avec le nombre \color{red}6, on obtient, à gauche, {{\color{red}6}+5=11} et, à droite, {2 \times {\color{red}6} + 3 = 12 + 3 = 15}.
On dit que le nombre \color{red}6 ne vérifie pas l'égalité a+5=2a+3.
2. En testant avec le nombre \color{red}2, on obtient, à gauche, {{\color{red}2} + 5 = 7} et, à droite, {2 \times {\color{red}2} + 3 = 4 + 3 = 7}.
On dit que le nombre \color{red}2 vérifie l'égalité a+5=2a+3.
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2
Résoudre une équation
Définitions
Une équation est une égalité d'expressions littérales qui peut être vraie ou fausse. Les lettres dans ces expressions sont appelées les inconnues.
Résoudre une équation d'inconnue x, c'est trouver tous les nombres qui, substitués à l'inconnue x, rendent cette égalité vraie. Les nombres trouvés sont appelés les solutions.
Remarques :
- On peut utiliser n'importe quelle lettre pour désigner l'inconnue dans une équation.
- Il existe des équations qui n'ont aucune solution, d'autres en ont plusieurs, voire une infinité.
Propriété
On ne change pas les solutions d'une équation si :
- on ajoute ou on soustrait un même nombre à chaque membre de l'équation ;
- on multiplie ou on divise par un même nombre non nul chaque membre de l'équation.
Exemples :
1. On considère l'équation {x + 4 = 16}.
On soustrait le nombre 4 à chaque membre de l'équation et obtient alors l'équation équivalente suivante : x + 4 {\color{red}\,-\,4} = 16 {\color{red}\,-\,4}, soit x = 12.
On conclut que le nombre 12 est la solution de l'équation.
On vérifie : 12+4=16.
2. On considère l'équation \mathrm{2}y = \mathrm{8}.
On divise par 2 chaque membre et on obtient alors l'équation équivalente : \frac{2y}{{\color{red}2}} = \frac{8}{{\color{red}2}}, soit y = 4.
On conclut que le nombre 4 est la solution de l'équation.
On vérifie : 2 \times 4 = 8.
1. On considère l'équation {x + 4 = 16}.
On soustrait le nombre 4 à chaque membre de l'équation et obtient alors l'équation équivalente suivante : x + 4 {\color{red}\,-\,4} = 16 {\color{red}\,-\,4}, soit x = 12.
On conclut que le nombre 12 est la solution de l'équation.
On vérifie : 12+4=16.
2. On considère l'équation \mathrm{2}y = \mathrm{8}.
On divise par 2 chaque membre et on obtient alors l'équation équivalente : \frac{2y}{{\color{red}2}} = \frac{8}{{\color{red}2}}, soit y = 4.
On conclut que le nombre 4 est la solution de l'équation.
On vérifie : 2 \times 4 = 8.
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