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Chapitre 7
Applications directes

Initiation aux équations

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Tester une égalité

Résoudre une équation

Résoudre un problème en utilisant une équation

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Méthode 1

Tester une égalité

Énoncé

On considère l'égalité suivante : 2a - 3 = a + 4.
1. Cette égalité est-elle vraie pour a = 5 ?
2. Cette égalité est-elle vraie pour a = 7 ?

Solution

1. D'une part, on a :
2 \times {\color{red}5} - 3 = 10 - 3 \\ \phantom{2 \times {\color{blue}5} - 3} = 7

D'autre part, on a :
{\color{red}5} + 4 = 9

Or, \ 7 \neq 9, donc l'égalité est fausse pour a = 5.

2. D'une part, on a :
2 \times {\color{red}7} - 3 = 14 - 3 \\ \phantom{2 \times {\color{red}7} - 3} = 11

D'autre part, on a :
{\color{red}7} + 4 = 11

On a bien {2 \times 7 - 3 = 7 + 4}, donc l'égalité est vraie pour {a = 7}.

Explications

  • On remplace la lettre a par le nombre indiqué dans le membre de gauche, puis on calcule.
  • On remplace la lettre a par le nombre indiqué dans le membre de droite, puis on calcule.
  • On compare les deux résultats. S'ils sont égaux, l'égalité est vraie pour ce nombre, sinon, elle est fausse pour celui-ci.
Supplément numérique
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17
Générateur d'exercices
 On considère l'égalité c - \mathrm{8} = \mathrm{9}, où la lettre c représente un nombre.

1. Est-elle vraie pour c = \mathrm{11} ? Justifier.
2. Est-elle vraie pour c = \mathrm{17} ? Justifier.
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18
 On considère l'égalité 3y - 4 = y + 6.

1. Est-elle vraie pour y = 5 ?
2. Est-elle vraie pour y = 2 ?
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19
 On considère l'égalité 5t + 8t = 25t - 12t.

1. Est-elle vraie pour t = 2 ? Pour t = 0,1 ?
2. Est-elle toujours vraie ? Justifier.
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20
 On considère l'égalité a + \mathrm{10} = b - \mathrm{8}.

1. Est-elle vraie pour a = 9\, et \,b = \mathrm{11} ?
2. Est-elle vraie pour a = 2\, et \,b = \mathrm{20} ?
3. Est-elle vraie pour a = -8\, et \,b = \mathrm{10} ?
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21
 On considère l'égalité \mathrm{8} + x = \mathrm{0}.

Cette égalité est-elle vraie pour x = 8\, ou pour \,x = -8 ? Justifier.
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22
 On considère l'égalité \mathrm{4z = 0}.

Cette égalité est-elle vraie pour \mathrm{z = 4} ? Pour \mathrm{z = 0} ?
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23
 On considère l'égalité \frac{d}{3} =0.

Cette égalité est-elle vraie pour d=3 ?
Pour d=0 ?
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24
 On considère le triangle \text{ABC} et le rectangle \text{DEFG} ci-dessous avec x > 0.

Placeholder pour ex24ex24

Les périmètres sont égaux lorsque 3x = 2x + 4.

Les deux périmètres sont-ils égaux pour x = 2 ? Pour x = 4 ? Détailler les calculs.
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Méthode 2

Résoudre une équation

Énoncé

Résoudre les équations suivantes.
1. x + 8 = 13
2. 4a = 36

Solution

1. x + 8 = 13 \\ \phantom{1.}x + 8 {\color{red}\,-\, 8} = 13 {\color{red}\,-\, 8} \\ \phantom{1.}x + 0 = 5 soit x = 5

On a bien 5 + 8 = 13. La solution de l'équation est 5.

2. 4a = 36\\ \phantom{2.}\frac{4a}{{\color{red}4}} = \frac{36}{{\color{red}4}}\\ \phantom{2.}1a = 9 soit a = 9

On a bien 4 \times 9 = 36. La solution de l'équation est 9.

Explications

Pour résoudre une équation, on doit isoler l'inconnue.
Pour cela, il faut :
  • identifier l'opération reliant l'inconnue et le nombre présent dans le même membre ;
  • obtenir 0 avec l'addition ou la soustraction, ou 1 avec la multiplication et la division.
Dans la première équation, on soustrait 8 dans chaque membre pour avoir 8 - 8 = 0.
Dans la deuxième équation, on divise par 4 chaque membre pour avoir \frac{4}{4} = 1.
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25
1. Quelle égalité obtient-on en ajoutant 7 à chaque membre de l'égalité {3x - 7 = 14} ?
2. Quelle égalité obtient-on en retranchant 8 à chaque membre de l'égalité {4y + 8 = 36} ?
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26
 Résoudre les équations suivantes.

1. x - 5 = 12
2. 13 = x + 7
3. x + 9 = 15
4. 10 = x - 10
5. x + 2,4 = 5,8
6. x - 4,5 = 9,4
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1. Quelle égalité obtient-on en divisant par 3 chaque membre de l'égalité {3x = 33} ?
2. Quelle égalité obtient-on en divisant par 6 chaque membre de l'égalité {54y = 30} ?
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28
 Résoudre les équations suivantes.

1. 4x = 16
2. 49 = 7x
3. 2x = 0
4. 11 = 11x
5. 10x = 91
6. 9x = 72
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29
1. Quelle égalité obtient-on en multipliant par 8 chaque membre de l'égalité \frac{x}{8} = 4 ?

2. Quelle égalité obtient-on en multipliant par 10 chaque membre de l'égalité \frac{y}{10} = 0,7 ?

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30
 Résoudre les équations suivantes.

1. \frac{a}{2} = 14

2. \frac{b}{3} = 8

3. 7 = \frac{c}{5}

4. \frac{d}{8} = 0

5. \frac{e}{10} = 21

6. \frac{f}{0,1} = 15

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31
Générateur d'exercices
 Résoudre les équations suivantes.

1. x - 11 = 23
2. 2x = 6
3. \frac{x}{4} = 9

4. x + 3 = 3
5. 63 = 9x
6. \frac{x}{6} = 0

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32
 Résoudre les équations suivantes.

1. 0 = a - 5
2. 2c = 0
3. 0,5 = \frac{d}{2}

4. e - 8 = -6
5. f + \frac{1}{5} = \frac{3}{5}

6. \frac{j}{10} = 0,45

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Méthode 3

Résoudre un problème en utilisant une équation

Énoncé

Dans un dépôt de presse, on a acheté six journaux à 1,50\ € chacun et un magazine. Sachant que l'on a dépensé au total 12,50\ €, combien coûte le magazine ?

Solution

Soit m le prix du magazine en euro.
On sait que le prix des six journaux ajouté à celui du magazine est égal à 12,50 euros.
Donc : 6 \times 1,50 + m = 12,50\ soit
9 + m = 12,50 \\ 9 + m {\color{red}-9} = 12,50 {\color{red}-9} \\ m + 0 = 3,50\ soit \ m = 3,50

On a bien 6 \times 1,50 + 3,50 = 12,50.
Le magazine coûte 3,50 euros.

Explications

Pour résoudre un problème en utilisant une équation, on suit les étapes suivantes :
  • Introduire une lettre comme inconnue.
  • Traduire le problème sous la forme d'une équation.
  • Résoudre l'équation.
  • Répondre à la question du problème.
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33
 On considère le problème suivant.

J'ai acheté trois cahiers à 7,20 \; €. Combien coûte un cahier ?

Quelle inconnue faut-il choisir ici ?
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34
 On considère le problème suivant.

J'ai vendu quatre jeux que j'avais dans ma ludothèque. Il m'en reste onze maintenant. Combien de jeux contenait ma ludothèque avant ?

Quelle inconnue faut-il choisir ici ?
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35
 On note x l'inconnue pour chacun des quatre problèmes ci-après. Associer chacune des équations au problème correspondant.

  • Problème n°1 :

    Dans une librairie, Alya achète un magazine à \mathrm{3} euros et un livre. Elle paie \mathrm{27} euros. Combien coûte le livre ?

  • Problème n°2 :

    On considère un triangle équilatéral ABC de périmètre \mathrm{27} cm. Calculer la longueur du côté du triangle.

  • Problème n°3 :

    On choisit un nombre, on le multiplie par \mathrm{2}, on retranche \mathrm{3} au résultat, puis on soustrait le nombre choisi au départ. Quel nombre doit-on choisir pour trouver \mathrm{27} ?

  • Problème n°4 :

    Amran partage équitablement ses bonbons entre lui et deux de ses amis. Chacun reçoit \mathrm{27} bonbons. Combien Amran avait-il de bonbons ?
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 On considère un rectangle \mathrm{DEFG} dont l'aire vaut \mathrm{56~cm^2} et la longueur \mathrm{EF} vaut \mathrm{8~cm}. On souhaite calculer sa largeur \mathrm{DE}.

1. Définir une inconnue et mettre le problème en équation.
2. Résoudre l'équation et conclure.
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37
 Katia achète quatre mangas à 6\ € chacun et une BD. Elle paye 37,50\ €.

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