Chapitre 7
Synthèse
Initiation aux équations
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70
Pour la rentrée scolaire, la maman de Matthéo achète cinq cahiers et deux classeurs. Elle paie 36 euros. Un classeur coûte deux fois plus cher qu'un cahier.
1. Le cahier peut-il coûter 3 euros ? Justifier.
2. On note c le prix d'un cahier.
Exprimer, en fonction de c, le prix d'un classeur.
3. En posant et en résolvant une équation, déterminer le prix d'un cahier, puis d'un classeur.
1. Le cahier peut-il coûter 3 euros ? Justifier.
Exprimer, en fonction de c, le prix d'un classeur.
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71
Lia travaille sur l'énigme suivante : « Je suis un nombre tel que mon triple auquel on ajoute 2 est égal à mon carré augmenté de 4. Qui suis-je ? ». Elle note ce nombre x.
1. Pour trouver le nombre mystère, elle décide de traduire le texte sous la forme d'une égalité. Parmi celles proposées ci-dessous, laquelle est la bonne ?
2. Parmi les nombres 0 ; 1 ; 2 ; 3 et 4, aider Lia à trouver les valeurs valables pour le nombre mystère.
1. Pour trouver le nombre mystère, elle décide de traduire le texte sous la forme d'une égalité. Parmi celles proposées ci-dessous, laquelle est la bonne ?
2. Parmi les nombres 0 ; 1 ; 2 ; 3 et 4, aider Lia à trouver les valeurs valables pour le nombre mystère.
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72
On considère l'égalité {x^3 + 11x = 6x^2 + 6}.
Anna teste cette égalité avec les nombres 1 puis 2 puis 3, et trouve qu'elle est vraie dans les trois cas.
1. Vérifier qu'Anna a raison.
2. Anna déclare ensuite : « Je pense que tous les nombres rendent cette égalité vraie. »
A-t-elle raison ? Justifier.
Anna teste cette égalité avec les nombres 1 puis 2 puis 3, et trouve qu'elle est vraie dans les trois cas.
1. Vérifier qu'Anna a raison.
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73
Dans cet exercice, on cherche trois nombres entiers consécutifs tels que la somme de ces nombres soit égale à 54. On note \mathrm{N} le deuxième nombre.
1. a. Exprimer le nombre entier précédant \mathrm{N}.
b. Exprimer le nombre entier suivant \mathrm{N}.
2. À l'aide d'une équation, déterminer les trois nombres entiers consécutifs.
1. a. Exprimer le nombre entier précédant \mathrm{N}.
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74
Dans cet exercice, on cherche cinq nombres entiers consécutifs tels que la somme de ces nombres soit égale à 135.
En s'inspirant de l'exercice précédent et en notant \mathrm{P} le troisième nombre, déterminer ces cinq nombres.
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75
On considère le triangle \mathrm{BON} ci-dessous, où x représente un nombre strictement supérieur à 2.
1. Exprimer, en fonction de x, le périmètre du triangle \mathrm{BON}, puis réduire l'expression.
2. À l'aide d'une équation, déterminer la longueur des trois côtés du triangle afin que le périmètre de celui-ci soit égal à 63.
3. À l'aide d'une équation, déterminer la longueur des trois côtés du triangle afin que le périmètre de celui-ci soit égal à 39,2.
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76
Rania a un père trois fois plus âgé qu'elle.
Si Rania ajoute son âge à celui de sa cousine, elle obtient l'âge de son père.
Sachant que le père de Rania a 42 ans, calculer, en utilisant des équations, l'âge de Rania puis celui de sa cousine.
Si Rania ajoute son âge à celui de sa cousine, elle obtient l'âge de son père.
Sachant que le père de Rania a 42 ans, calculer, en utilisant des équations, l'âge de Rania puis celui de sa cousine.
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77
Exercice inversé
Voici la copie d'Anis.
1. En utilisant la lettre x, déterminer l'égalité qu'Anis utilise dans son exercice.
2. Écrire un énoncé qui revient à résoudre l'équation de la question 1.
- En remplaçant par le premier nombre, j'obtiens {4 \times 12 = 36}. L'égalité est fausse.
- En remplaçant par le deuxième nombre, je calcule 4 \times 5 et l'égalité est vraie.
1. En utilisant la lettre x, déterminer l'égalité qu'Anis utilise dans son exercice.
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78
On considère un programme de calcul écrit avec Scratch.
1. Vérifier que si l'on choisit 4 au départ, on obtient 17.
2. Quel nombre obtient-on si on choisit 8 au départ ? Justifier.
3. On note x le nombre de départ. Exprimer, en fonction de x, le résultat du programme.
4. Donner l'équation à résoudre pour trouver quel nombre choisir au départ pour obtenir 101.
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79
Une mère et son fils ont à eux deux \mathrm{70} ans.
Trouver l'âge de la mère et du fils sachant que la mère a \mathrm{40} ans de plus que son fils.
Trouver l'âge de la mère et du fils sachant que la mère a \mathrm{40} ans de plus que son fils.
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80
Environnement
On souhaite comparer les émissions de CO2 en France d'une voiture diesel et celles d'une voiture électrique. Pour cela, on utilise une unité notée kgCO2e/km, ce qui signifie qu'on donne l'équivalent de la quantité de CO2 émis en kilogramme pour chaque kilomètre parcouru.
Les données de cet exercice prennent en compte la fabrication complète de la voiture, son utilisation et son traitement en fin de vie (pour une durée de vie moyenne de 12 ans).
1. On estime qu'une voiture diesel qui a roulé 50\ 000\text{ km} a émis un total de 18\ 400\text{ kgCO}2e. a. On note x la quantité d'émission de CO2 en kgCO2e/km.
Justifier que 50\ 000 \times x = 18\ 400.
b. Résoudre cette équation pour trouver x.
c. Convertir la solution en gCO2e/km.
2. Le tableau ci-dessous donne la quantité totale d'émission de CO2 en kgCO2e des voitures en fonction de leur type et du nombre de kilomètres.
a. Que signifie le nombre 18\ 800 du tableau ?
b. Justifier qu'une voiture électrique utilisée pendant 200\ 000\text{ km} émet 94 \text{gCO}_2\text{e/km}.
3. Comment expliquer que les émissions d'une voiture électrique varient peu selon les kilomètres parcourus contrairement aux véhicules diesel ?
Les données de cet exercice prennent en compte la fabrication complète de la voiture, son utilisation et son traitement en fin de vie (pour une durée de vie moyenne de 12 ans).
1. On estime qu'une voiture diesel qui a roulé 50\ 000\text{ km} a émis un total de 18\ 400\text{ kgCO}2e. a. On note x la quantité d'émission de CO2 en kgCO2e/km.
Justifier que 50\ 000 \times x = 18\ 400.
Émissions de CO2 en kgCO2e
Diesel | Électrique | |
|---|---|---|
50\ 000\text{ km} | 18\ 400 | 17\ 450 |
200\ 000\text{ km} | 51\ 000 | 18\ 800 |
Source : carbone4.com
a. Que signifie le nombre 18\ 800 du tableau ?
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81
L'unité de longueur est le centimètre.
On considère le quadrilatère \text{LORE} ci-contre, où x et y représentent des nombres strictement positifs.
1. En utilisant une équation, déterminer la valeur de x pour que \mathrm{LORE} soit un parallélogramme.
2. En utilisant une équation, déterminer alors la valeur de y pour que \mathrm{LORE} soit un losange.
On considère le quadrilatère \text{LORE} ci-contre, où x et y représentent des nombres strictement positifs.
1. En utilisant une équation, déterminer la valeur de x pour que \mathrm{LORE} soit un parallélogramme.
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82
On considère l'égalité suivante : {2x + 11 = 23}.
1. L'égalité est-elle vraie pour x = 4 ?
2. L'égalité est-elle vraie pour x = 7 ?
3. On souhaite trouver un nombre qui rende l'égalité vraie. Pour cela, on peut résoudre l'équation {2x + 11 = 23}.
a. On pose y = 2x. Comment écrire l'équation {2x + 11 = 23} uniquement en fonction de y ?
b. Trouver alors la valeur de y dans cette nouvelle équation.
c. À partir de cette valeur de y, déterminer alors la valeur de x.
d. Vérifier que la valeur de x trouvée est bien une solution de l'équation {2x + 11 = 23}.
4. En utilisant la méthode précédente, résoudre l'équation {3x - 8 = 25}.
1. L'égalité est-elle vraie pour x = 4 ?
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83
En utilisant la technique vue dans l'exercice précédent, résoudre les équations suivantes.
1. 4x + 2 = 10
2. 5x - 4 = 26
3. 6x - 7 = 11
4. 7x - 8 = 13
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84
Club de maths
Dans le carré ci-dessous, déterminer les valeurs de x, y, z, a, b, c et d en sachant que les sommes des termes sur les colonnes, les lignes et la diagonale doivent être égales à la valeur indiquée par la flèche.
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85
Club de maths
Kayden découpe un rectangle en quatre morceaux rectangulaires. Les périmètres de trois de ces petits rectangles mesurent 16\text{ cm}, 18\text{ cm} et 24\text{ cm} comme indiqué ci-dessous.
Calculer le périmètre du quatrième petit rectangle.
Calculer le périmètre du quatrième petit rectangle.
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