Chapitre 8
Cours
Symétrie centrale, parallélisme et angles
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Symétrie centrale
Définition
La symétrie centrale est une transformation qui fait pivoter une figure d'un demi-tour autour d'un point, appelé centre de symétrie.
Exemple :
Les triangles \mathrm{ABC} et \mathrm{A'B'C'} se superposent par demi-tour autour du point \mathrm{O}. On dit que \mathrm{ABC} et \mathrm{A'B'C'} sont symétriques par rapport à \mathrm{O}.
Les triangles \mathrm{ABC} et \mathrm{A'B'C'} se superposent par demi-tour autour du point \mathrm{O}. On dit que \mathrm{ABC} et \mathrm{A'B'C'} sont symétriques par rapport à \mathrm{O}.
Propriété
Le symétrique d'un point \mathrm{M} par rapport à un point \mathrm{O} est le point \mathrm{M'} tel que \mathrm{O} soit le milieu de \mathrm{[MM']}. Par conséquent, l'angle \mathrm{\widehat{MOM'}} est un angle plat et \mathrm{OM = OM'}.
Propriété
La symétrie centrale conserve l'alignement, le parallélisme, les longueurs et les mesures d'angles.
Exemple :
Le quadrilatère \mathrm{R'S'T'U'} est le symétrique de \mathrm{RSTU} par rapport à \mathrm{A}.
On en déduit par exemple que \mathrm{R'S' = RS = 2 cm} et que \mathrm{\widehat{S'T'U'} = \widehat{STU} = 45^\circ}.
Puisque les points \mathrm{U}, \mathrm{V} et \mathrm{T} sont alignés alors les points \mathrm{U'}, \mathrm{V'} et \mathrm{T'} sont aussi alignés.
Le quadrilatère \mathrm{R'S'T'U'} est le symétrique de \mathrm{RSTU} par rapport à \mathrm{A}.
On en déduit par exemple que \mathrm{R'S' = RS = 2 cm} et que \mathrm{\widehat{S'T'U'} = \widehat{STU} = 45^\circ}.
Puisque les points \mathrm{U}, \mathrm{V} et \mathrm{T} sont alignés alors les points \mathrm{U'}, \mathrm{V'} et \mathrm{T'} sont aussi alignés.
Propriété
Si deux droites sont symétriques par rapport à un point alors elles sont parallèles.
Définition
Une figure admet un centre de symétrie lorsqu'elle reste inchangée par symétrie centrale autour de ce point.
Exemple :
Le point \mathrm{O} est le centre de symétrie de cette figure.
Le point \mathrm{O} est le centre de symétrie de cette figure.
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2
Angles et parallélisme
Définitions
On considère deux droites quelconques (d) et (d') et une troisième droite (\Delta), sécante aux deux premières.
- Les angles \mathrm{\widehat{AEF}} et \mathrm{\widehat{DFE}} sont dits alternes-internes :
ils sont situés de part et d'autre de (\Delta) et entre (d) et (d').
- Les angles \mathrm{\widehat{BEG}} et \mathrm{\widehat{DFE}} sont dits correspondants :
ils n'ont pas le même sommet, sont situés du même côté de (\Delta) et un seul des deux est situé entre (d) et (d').
Remarques :
1. La configuration précédente des droites (d), (d') et (\Delta) génère deux couples d'angles alternes-internes et quatre couples d'angles correspondants.
2. On peut également définir des angles alternes-externes en choisissant les angles opposés par le sommet des angles alternes-internes.
1. La configuration précédente des droites (d), (d') et (\Delta) génère deux couples d'angles alternes-internes et quatre couples d'angles correspondants.
2. On peut également définir des angles alternes-externes en choisissant les angles opposés par le sommet des angles alternes-internes.
Propriétés
1. Si deux angles alternes-internes sont formés par des droites parallèles coupées par une sécante, alors ils ont la même mesure.
2. Réciproquement, si deux angles alternes-internes ont la même mesure, alors ils sont formés par des droites parallèles.
Propriétés
1. Si deux angles correspondants sont formés par des droites parallèles coupées par une sécante, alors ils ont la même mesure.
2. Réciproquement, si deux angles correspondants ont la même mesure, alors ils sont formés par des droites parallèles.
Propriétés
En particulier :
1. Si deux droites sont parallèles, alors toute droite perpendiculaire à l'une est perpendiculaire à l'autre.
2. Si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles entre elles.
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