Chapitre 8
Applications directes
Symétrie centrale, parallélisme et angles
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Méthode 1
Construire le symétrique d'une figure par rapport à un point
Énoncé
À la règle et au compas, construire le symétrique d'un triangle \mathrm{ABC} par rapport à un point \mathrm{O} situé à l'extérieur du triangle.
Solution
Explications
1. On commence par construire le symétrique de chacun des points l'un après l'autre. Par exemple, pour \mathrm{A}, on trace la demi-droite [\mathrm{AO}) puis on place le point \mathrm{A}' à l'aide du compas tel que \mathrm{O} soit le milieu de [\mathrm{AA}'].
2. On trace le triangle \mathrm{A}'\mathrm{B}'\mathrm{C}', symétrique du triangle \mathrm{ABC} par rapport au point \mathrm{O}.
Supplément numérique
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11
On souhaite construire le symétrique d'un point \mathrm{A} par rapport à un point \mathrm{O}.
Indiquer l'ordre correct des étapes suivantes.
On reporte la longueur \mathrm{AO} à l'aide du compas de l'autre côté du point \mathrm{O} en mettant la pointe du compas sur le point \mathrm{O}.
On trace la demi-droite \mathrm{[AO)}.
On marque le point d'intersection du trait de compas avec la demi-droite.
Indiquer l'ordre correct des étapes suivantes.
On reporte la longueur \mathrm{AO} à l'aide du compas de l'autre côté du point \mathrm{O} en mettant la pointe du compas sur le point \mathrm{O}.
On trace la demi-droite \mathrm{[AO)}.
On marque le point d'intersection du trait de compas avec la demi-droite.
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Les figures des exercices suivants peuvent être .
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12
Reproduire la figure et construire \text{[A'B']}, le symétrique de \text{[AB]} par rapport à \text{O}.
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13
Reproduire la figure et construire la demi-droite \text{[C'D')}, symétrique de la demi-droite \text{[CD)} par rapport à \text{E}.
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14
Reproduire la figure et construire le symétrique du carré \text{MATH} par rapport au point \text{O}.
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15
1. Construire un triangle équilatéral \mathrm{FOX} tel que \mathrm{FO = 5\ cm}.
2. Construire son symétrique par rapport à \mathrm{F}.
3. Construire son symétrique par rapport à \mathrm{X}.
2. Construire son symétrique par rapport à \mathrm{F}.
3. Construire son symétrique par rapport à \mathrm{X}.
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16
Reproduire la figure et construire la droite (d'), symétrique de la droite (d) par rapport à \text{P}.
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Méthode 2
Utiliser les propriétés de conservation de la symétrie centrale
Énoncé
Sur la figure suivante, le point \mathrm{M} est le milieu de [\mathrm{AB}].
Les points \mathrm{R}, \mathrm{S} et \mathrm{T} sont les symétriques respectifs des points \mathrm{A}, \mathrm{B} et \mathrm{M} par rapport au point \mathrm{K}.
Que peut-on dire du point \mathrm{T} par rapport à [\mathrm{RS}] ?
Solution
[\mathrm{RS}] est le symétrique de [\mathrm{AB}] par rapport à \mathrm{K}.Le point \mathrm{M} est le milieu de [\mathrm{AB}] et \mathrm{T} est le symétrique de \mathrm{M} par rapport à \mathrm{K}.
On en déduit donc que les points \mathrm{R}, \mathrm{S} et \mathrm{T} sont alignés et que \mathrm{T} est le milieu de [\mathrm{RS}].
Remarque :
Dire que la symétrie conserve les longueurs signifie qu'un segment et son symétrique ont la même longueur.
Explications
La symétrie centrale conserve les longueurs et l'alignement donc le symétrique du milieu d'un segment est le milieu du symétrique de ce segment.
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17
Les segments [\mathrm{AB}] et [\mathrm{KL}] sont symétriques par rapport à un point \mathrm{F}.
1. Que peut-on dire des longueurs \mathrm{AB} et \mathrm{KL} ?
2. Que peut-on dire des droites (\mathrm{AB}) et (\mathrm{KL}) ?
1. Que peut-on dire des longueurs \mathrm{AB} et \mathrm{KL} ?
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18
Les points \mathrm{E, F} et \mathrm{G} sont les symétriques respectifs des points \mathrm{R, S} et \mathrm{T} par rapport à un point A tel que \widehat{\mathrm{RTS}} = \mathrm{53}^{\circ}.
Déterminer un autre angle qui mesure \mathrm{53}^{\circ}.
Déterminer un autre angle qui mesure \mathrm{53}^{\circ}.
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19
Les triangles \text{ABC} et \text{FED} sont symétriques par rapport à \text{O}.
1. Déterminer la mesure des angles \widehat{\text{DEF}} et \widehat{\text{EFD}}. Justifier.
2. En déduire la mesure de \widehat{\text{EDF}}.
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20
Les triangles \text{HIB} et \text{BOU} sont symétriques par rapport à \text{B}.
1. Déterminer la nature du triangle \text{BOU}.
2. Calculer le périmètre du quadrilatère \text{XUOB}.
1. Déterminer la nature du triangle \text{BOU}.
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21
Les points \text{A', B'} et \text{C'} sont les symétriques des points \text{A, B} et \text{C} par rapport à \text{O}.
Ayla pense que les points \text{B', C'} et \text{A'} sont alignés. A-t-elle raison ? Justifier.
Ayla pense que les points \text{B', C'} et \text{A'} sont alignés. A-t-elle raison ? Justifier.
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Méthode 3
Déterminer la mesure d'un angle
Énoncé
On considère la figure suivante où les droites (\mathrm{AB}) et (\mathrm{CD}) sont parallèles.
Déterminer la mesure de l'angle \widehat{\mathrm{BGH}}.
Justifier.
Solution
On sait que \widehat{\mathrm{FHD}} et \widehat{\mathrm{HGB}} sont des angles correspondants formés par les droites (\mathrm{AB}) et (\mathrm{CD}).
De plus, (\mathrm{AB}) et (\mathrm{CD}) sont parallèles.
Or, si deux angles correspondants sont formés par des droites parallèles, alors ils sont de même mesure.
On conclut que \widehat{\mathrm{HGB}} = \widehat{\mathrm{FHD}} = 43^{\circ}.
Explications
- On cherche la configuration reliant un angle dont on connaît la mesure et l'angle recherché.
- On applique la propriété adéquate du cours en vérifiant l'hypothèse de parallélisme.
- On conclut.
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22
On considère la figure suivante.
1. Citer l'angle correspondant à l'angle 1.
2. Citer l'angle alterne-interne avec l'angle 1.
3. Que peut-on dire des angles 3 et 5 ?
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23
Les droites \mathrm{(LM)} et \mathrm{(GH)} sont parallèles.
1. Dans quelle configuration sont les angles \widehat{\mathrm{HYZ}} et \widehat{\mathrm{LZY}} ?
2. Déterminer la mesure de \widehat{\mathrm{LZY}}. Justifier.
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24
Les droites \mathrm{(FQ)} et \mathrm{(SJ)} sont parallèles.
1. Dans quelle configuration sont les angles \widehat{\mathrm{FRA}} et \widehat{\mathrm{SBR}} ?
2. Déterminer la mesure de \widehat{\mathrm{FRA}}. Justifier.
1. Dans quelle configuration sont les angles \widehat{\mathrm{FRA}} et \widehat{\mathrm{SBR}} ?
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25
Dans cette figure, on sait que (\mathrm{BC}) \parallel (\mathrm{DE}).
Justifier que \mathrm{ADE} est un triangle rectangle en \mathrm{D}.
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26
Les droites \mathrm{(QN)} et \mathrm{(TS)} sont parallèles.
1. Calculer la mesure de \widehat{\mathrm{CKT}}.
2. En déduire la mesure de \widehat{\mathrm{NCK}}.
3. Déterminer de deux façons différentes la mesure de l'angle \widehat{\mathrm{QCK}}.
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Méthode 4
Démontrer que des droites sont parallèles
Énoncé
On considère une droite sécante aux droites (\mathrm{HB}) et (\mathrm{LX}) respectivement en \mathrm{P} et en \mathrm{D}.
Démontrer que les droites (\mathrm{HB}) et (\mathrm{LX}) sont parallèles.
Solution
On sait que les angles \widehat{\mathrm{DPH}} et \widehat{\mathrm{XDP}} sont des angles alternes-internes formés par les droites (\mathrm{HB}) et (\mathrm{LX}) et par la sécante (\mathrm{DP}).De plus, ils sont de même mesure.
Or, si deux angles alternes-internes ont la même mesure, alors ils sont formés par des droites parallèles.
Les droites (\mathrm{HB}) et (\mathrm{LX}) sont donc parallèles.
Explications
- On cherche la configuration reliant deux angles dont on connaît les mesures.
- On applique la propriété adéquate du cours en vérifiant s'il y a égalité des mesures d'angles.
- On conclut.
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27
Démontrer que les droites (\text{OL}) et (\text{SG}) sont parallèles.
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28
On considère un quadrilatère \mathrm{ABCD}. La diagonale \mathrm{(BD)} est telle que \widehat{\mathrm{ABD}} = \widehat{\mathrm{BDC}} = \mathrm{25^\circ}.
Que dire des droites \mathrm{(AB)} et \mathrm{(CD)} ?
Que dire des droites \mathrm{(AB)} et \mathrm{(CD)} ?
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29
Théoden pense que les droites \mathrm{(DE)} et \mathrm{(BC)} ne sont pas parallèles.
1. Calculer la mesure de \widehat{\mathrm{AED}}.
2. Théoden a-t-il raison ?
3. Sans calcul, expliquer pourquoi la mesure de l'angle \widehat{\mathrm{ABC}} est 91^\circ.
1. Calculer la mesure de \widehat{\mathrm{AED}}.
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30
On considère le pentagone ci-dessous.
1. Démontrer que les droites (\mathrm{FG}) et (\mathrm{KH}) sont parallèles.
2. Que peut-on dire des droites (\mathrm{FJ}) et (\mathrm{GH}) ? Justifier.
1. Démontrer que les droites (\mathrm{FG}) et (\mathrm{KH}) sont parallèles.
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j'ai une idée !
Oups, une coquille
