Chapitre 8
Entraînement
Différenciation
Symétrie centrale, parallélisme et angles
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31
À l'oral
Compléter les affirmations à partir de la figure ci-dessous.
1. \mathrm{F_4} et \mathrm{F_1} sont symétriques par rapport à.
2. \mathrm{F_3} et \mathrm{F_4} sont symétriques par rapport à.
3. \mathrm{F_3} et sont symétriques par rapport à \mathrm{A}.
4. \mathrm{F_1} et sont symétriques par rapport à (d').
1. \mathrm{F_4} et \mathrm{F_1} sont symétriques par rapport à
2. \mathrm{F_3} et \mathrm{F_4} sont symétriques par rapport à
3. \mathrm{F_3} et
4. \mathrm{F_1} et
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32
À l'oral
Parmi les lettres de l'alphabet suivantes, lesquelles admettent au moins un axe de symétrie ? Un centre de symétrie ?
H K X N O A Q J Z F
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33
Compléter les affirmations à partir de la figure ci-dessous.
1. \text{L} est le symétrique de \text{R} par rapport à.
2. \text{N} et \text{P} sont symétriques par rapport à.
3. \text{O} et sont symétriques par rapport à \text{R}.
4. est le symétrique de \text{S} par rapport à \text{K}.
1. \text{L} est le symétrique de \text{R} par rapport à
2. \text{N} et \text{P} sont symétriques par rapport à
3. \text{O} et
4.
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Toutes les figures à reproduire peuvent être .
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34
Dans la figure ci-dessous, on note \mathrm{[R'O']} le symétrique de \mathrm{[RO]} par rapport à \mathrm{B}.
Ces affirmations sont-elles vraies ? Les corriger si elles sont fausses.
Ces affirmations sont-elles vraies ? Les corriger si elles sont fausses.
1. \mathrm{O} est le milieu de \mathrm{[RR']}.
2. \mathrm{BO = BO'}
3. \widehat{\mathrm{BOO'}} = 180^\circ
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Générateur d'exercices
Dans chaque cas, construire le symétrique du polygone par rapport au point donné.
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36
1. Reproduire la figure ci-dessous.
2. Construire le triangle \text{I'J'K'}, symétrique du triangle \text{IJK} par rapport au point \text{X}.
2. Construire le triangle \text{I'J'K'}, symétrique du triangle \text{IJK} par rapport au point \text{X}.
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37
1. Reproduire la figure ci-dessous.
2. Construire le triangle \text{D'R'U'}, symétrique du triangle \text{DRU} par rapport au point \text{O}.
2. Construire le triangle \text{D'R'U'}, symétrique du triangle \text{DRU} par rapport au point \text{O}.
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38
Reproduire la figure ci-dessous et construire son symétrique par rapport au point \text{H}.
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39
On considère la propriété suivante.
« Si \mathrm{M} et \mathrm{M'} sont symétriques par rapport à \mathrm{O} alors \mathrm{OM = OM'}. »
1. Compléter sa réciproque.
« Si \mathrm{OM = OM'} alors. »
2. Démontrer que cette réciproque est fausse à l'aide d'un contre-exemple.
« Si \mathrm{M} et \mathrm{M'} sont symétriques par rapport à \mathrm{O} alors \mathrm{OM = OM'}. »
1. Compléter sa réciproque.
« Si \mathrm{OM = OM'} alors
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\text{MURE} et \text{STOP} sont symétriques par rapport à un point qui n'est pas représenté.
1. Déterminer les longueurs \text{ST} et \text{SP}.
2. Déterminer la mesure des angles \widehat{\text{SPO}} et \widehat{\text{TSP}}.
1. Déterminer les longueurs \text{ST} et \text{SP}.
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41
On considère la figure ci-dessous.
En utilisant le codage de la figure, justifier les affirmations suivantes.
1. Le triangle \text{ABC} est équilatéral.
2. Les points \text{E} et \text{B} sont symétriques par rapport à \mathrm{D}.
3. Le périmètre du triangle \text{EFG} est 15\text{ cm}.
En utilisant le codage de la figure, justifier les affirmations suivantes.
1. Le triangle \text{ABC} est équilatéral.
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42
On considère la figure ci-contre, constituée de trois demi-cercles.
1. a. Reproduire la figure.
b. Construire son symétrique par rapport au point \text{T}. 2. Calculer, en \text{cm}, le périmètre de la figure constituée des trois demi-cercles et de leurs symétriques. Donner la valeur exacte puis la valeur arrondie au dixième.
1. a. Reproduire la figure.
b. Construire son symétrique par rapport au point \text{T}. 2. Calculer, en \text{cm}, le périmètre de la figure constituée des trois demi-cercles et de leurs symétriques. Donner la valeur exacte puis la valeur arrondie au dixième.
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43
Environnement
Afin de protéger son patrimoine naturel, la France a créé \mathrm{169} réserves nationales, \mathrm{11} parcs nationaux et \mathrm{59} parcs naturels régionaux sur l'ensemble du territoire. Parmi ces logos, lequel admet un centre de symétrie ?
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44
Parmi les nombres suivants, quels sont ceux qui possèdent un centre de symétrie ? Un axe de symétrie ?
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45
Le logo suivant possède-t-il un centre de symétrie ? Un axe de symétrie ?
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46
La figure ci-contre possède un centre de symétrie. La reproduire et construire le centre de symétrie.
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47
La figure ci-contre possède un centre de symétrie. La reproduire et construire le centre de symétrie.
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48
Reproduire la figure ci-contre et la compléter pour que le point \text{O} soit le centre de symétrie de la figure coloriée.
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49
À l'oral
Compléter les affirmations à partir de la figure ci-dessous.
1. Les angles 2 et 6 sont.
2. Les angles 1 et 3 sont.
3. Les angles 3 et 5 sont.
4. Les angles 8 et 6 sont.
5. Les angles 4 et 8 sont.
1. Les angles 2 et 6 sont
2. Les angles 1 et 3 sont
3. Les angles 3 et 5 sont
4. Les angles 8 et 6 sont
5. Les angles 4 et 8 sont
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50
À l'oral
Dans la figure ci-dessous, les droites (d_1) et (d_2) sont parallèles. Sans calcul, donner la mesure de chacun des angles indiqués.
1. \widehat{\text{MGJ}} =
2. \widehat{\text{OGJ}} =
2. \widehat{\text{OGJ}} =
3. \widehat{\text{GJP}} =
4. \widehat{\text{BJR}} =
4. \widehat{\text{BJR}} =
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51
Dans chaque cas, déterminer si les droites bleues sont parallèles. Justifier.
1.
2.
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52
1. Peut-on tracer deux angles opposés par le sommet dont l'un est aigu et l'autre est obtus ?
2. Peut-on tracer deux angles correspondants dont les mesures sont \mathrm{120}^{\circ} et \mathrm{130}^{\circ} ?
3. Peut-on tracer deux angles alternes-internes dont les mesures sont \mathrm{45}^{\circ} et \mathrm{54}^{\circ} ?
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53
On considère les quatre droites ci-dessous.
1. Compléter les affirmations.
a. Les angles 14 et 8 sont.
b. Les angles 3 et 7 sont.
c. Les angles 9 et 12 sont.
2. Quels angles sont correspondants avec l'angle 5 ?
3. Quels angles sont alternes-internes avec l'angle 10 ?
a. Les angles 14 et 8 sont
b. Les angles 3 et 7 sont
c. Les angles 9 et 12 sont
2. Quels angles sont correspondants avec l'angle 5 ?
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54
Dans la figure ci-dessous, les droites (\text{BA}) et (\text{FC}) sont parallèles.
Déterminer les mesures manquantes des angles ci-dessous.
Déterminer les mesures manquantes des angles ci-dessous.
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55
Lors d'une évaluation, Tia a écrit sur sa copie : « Si deux angles sont alternes-internes alors ils sont de même mesure. »
Démontrer que cette affirmation est fausse à l'aide d'un contre-exemple.
Démontrer que cette affirmation est fausse à l'aide d'un contre-exemple.
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56
On rappelle la propriété suivante :
« Si deux angles sont opposés par le sommet alors ils sont de même mesure. »
1. Écrire sa réciproque.
2. Prouver que cette réciproque est fausse à l'aide d'un contre-exemple.
« Si deux angles sont opposés par le sommet alors ils sont de même mesure. »
1. Écrire sa réciproque.
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57
Copie d'élève
On cherche à déterminer la mesure de l'angle \mathrm{\widehat{TVU}}.
Corriger la rédaction de Nour et Inès.
Corriger la rédaction de Nour et Inès.
Voici la copie de Nour.
Les angles \mathrm{TVU} et \mathrm{SUV} sont correspondants.
Si deux angles sont correspondants alors ils sont de même mesure. Donc \mathrm{TVU = 150}.
Si deux angles sont correspondants alors ils sont de même mesure. Donc \mathrm{TVU = 150}.
Voici la copie d'Inès.
\mathrm{\widehat{TVU} = 150^\circ} car \mathrm{(SQ)} est parallèle à \mathrm{(TW)}.
Si deux angles sont formés par des droites parallèles alors ils ont la même mesure.
Si deux angles sont formés par des droites parallèles alors ils ont la même mesure.
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58
Dans la figure suivante, les droites (\text{CH}) et (\text{ZA}) sont parallèles.
Nils affirme que l'angle \widehat{\text{AZG}} est droit.
Est-ce vrai ? Justifier.
Nils affirme que l'angle \widehat{\text{AZG}} est droit.
Est-ce vrai ? Justifier.
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59
On souhaite construire deux droites parallèles à l'aide de la règle et du rapporteur.
1. Tracer une droite \mathrm{(AB)} et placer un point \mathrm{C} tel que \mathrm{C \in [AB]}.
2. Construire la droite \mathrm{(CD)} tel que \widehat{\mathrm{BCD}} = 50^{\circ}.
3. Construire la droite \mathrm{(DE)} telle que les angles \widehat{\mathrm{CDE}} et \widehat{\mathrm{BCD}} soient alternes-internes et de même mesure. 4. Justifier cette construction.
1. Tracer une droite \mathrm{(AB)} et placer un point \mathrm{C} tel que \mathrm{C \in [AB]}.
2. Construire la droite \mathrm{(CD)} tel que \widehat{\mathrm{BCD}} = 50^{\circ}.
3. Construire la droite \mathrm{(DE)} telle que les angles \widehat{\mathrm{CDE}} et \widehat{\mathrm{BCD}} soient alternes-internes et de même mesure. 4. Justifier cette construction.
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Dans un quadrilatère \mathrm{ABCD}, la diagonale \mathrm{(AC)} est à la fois la bissectrice de l'angle \widehat{\mathrm{DAB}} et \widehat{\mathrm{BCD}}.
Les droites \mathrm{(AB)} et \mathrm{(CD)} sont-elles toujours parallèles ? Justifier.
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61
Générateur d'exercices
Dans la figure ci-dessous, les droites \mathrm{(BD)} et \mathrm{(EG)} sont-elles parallèles ?
Justifier.
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62
1. Dans la figure ci-dessus, prouver que les droites (\text{JI}) et (\text{LM}) sont parallèles.
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63
Dans la figure ci-dessous, les points \text{T, P, C} et \text{F} sont alignés.
1. Calculer la mesure de l'angle \widehat{\text{PCI}}.
2. Les droites \text{(OP)} et \text{(IC)} sont-elles parallèles ? Justifier.
3. Prouver que \text{TIC} est un triangle rectangle.
1. Calculer la mesure de l'angle \widehat{\text{PCI}}.
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On souhaite démontrer la propriété suivante : « Si deux droites sont perpendiculaires à une même droite, alors elles sont parallèles entre elles ».
Compléter la démonstration. Les angles \widehat{IMN} et \widehat{KNP} mesurent et ils sont . Or, si deux angles sont de même mesure alors .
On peut donc conclure que .
Compléter la démonstration. Les angles \widehat{IMN} et \widehat{KNP} mesurent
On peut donc conclure que
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65
1. En utilisant uniquement une règle et une équerre, construire deux droites parallèles.
2. Écrire un court texte pour justifier pourquoi la méthode utilisée fonctionne.
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