Chapitre 8
Synthèse
Symétrie centrale, parallélisme et angles
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66
1. Construire un triangle \mathrm{BAR} tel que \text{BA} = 8\text{ cm}, \text{AR} = 5\text{ cm} et \text{BR} = 4\text{ cm}.
2. Construire son symétrique par rapport à \text{R}.
3. Construire son symétrique par rapport à la droite \text{(AB)}.
2. Construire son symétrique par rapport à \text{R}.
3. Construire son symétrique par rapport à la droite \text{(AB)}.
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67
1. Parmi ces drapeaux, lesquels admettent au moins un axe de symétrie ? Un centre de symétrie ?
2. Créer un drapeau d'un pays imaginaire qui soit rectangulaire, avec un centre de symétrie et aucun axe de symétrie.
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68
1. Construire le rectangle \text{LYNX} tel que {\text{LY} = 6,5\text{ cm}} et {\text{YN} = 4,2\text{ cm}}.
2. Construire son symétrique \text{L'Y'N'X'} par rapport à la droite \text{(XY)}.
3. Construire \text{L''Y''N''X''}, le symétrique de \text{L'Y'N'X'} par rapport au point \text{N}. 4. a. Calculer le périmètre du rectangle \text{LYNX}.
b. En déduire le périmètre de \text{L''Y''N''X''}.
2. Construire son symétrique \text{L'Y'N'X'} par rapport à la droite \text{(XY)}.
3. Construire \text{L''Y''N''X''}, le symétrique de \text{L'Y'N'X'} par rapport au point \text{N}. 4. a. Calculer le périmètre du rectangle \text{LYNX}.
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69
L'image suivante est constituée de neuf bandes empilées.
En utilisant uniquement des mesures d'angles, justifier si les bandes sont parallèles ou non.
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70
PIF est un triangle équilatéral tel que {\text{PI = 6 cm}}.
On note \mathrm{O} le milieu du segment \text{[PF]}.
1. a. Construire la figure.
b. Construire le point \mathrm{A}, symétrique du point \mathrm{I} par rapport à O. 2. a. Quelle est la nature du triangle PAF ? Justifier.
b. Déterminer la mesure des angles \widehat{\text{APF}} et \widehat{\text{PFI}}.
3. Que peut-on dire des droites \text{(IF)} et \text{(PA)} ? Justifier.
On note \mathrm{O} le milieu du segment \text{[PF]}.
1. a. Construire la figure.
b. Construire le point \mathrm{A}, symétrique du point \mathrm{I} par rapport à O. 2. a. Quelle est la nature du triangle PAF ? Justifier.
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71
1. Reproduire en vraie grandeur le triangle ci-contre.
2. a. Construire \text{M}, \text{O} et \text{Z} les symétriques respectifs de \text{R}, \text{E} et \text{A} par rapport à \text{V}.
b. Tracer le triangle \text{VMO}. 3. a. Démontrer que les droites \text{(ER)} et \text{(MO)} sont parallèles.
b. En déduire la mesure de l'angle \widehat{\text{VOM}}.
4. Démontrer que les points \text{M}, \text{O} et \text{Z} sont alignés.
2. a. Construire \text{M}, \text{O} et \text{Z} les symétriques respectifs de \text{R}, \text{E} et \text{A} par rapport à \text{V}.
b. Tracer le triangle \text{VMO}. 3. a. Démontrer que les droites \text{(ER)} et \text{(MO)} sont parallèles.
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72
On considère un triangle \mathrm{ABC} rectangle en \mathrm{A} et \mathrm{D} le milieu de son hypoténuse. \mathrm{E} est le symétrique de \mathrm{A} par rapport à \mathrm{D}.
1. Démontrer que l'angle \widehat{\mathrm{BEC}} est droit.
2. a. Justifier que \widehat{\mathrm{BCE}} = 30^\circ.
b. En déduire la mesure de l'angle \widehat{\mathrm{ACE}}.
3. Démontrer que \widehat{\mathrm{ABE}} = 90^\circ.
4. Quelle est la nature du polygone \mathrm{ABEC} ?
5. Que peut-on dire du point \mathrm{D} par rapport au polygone \mathrm{ABEC} ?
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73
On souhaite démontrer la propriété suivante.
« Si deux angles alternes-internes sont formés par des droites parallèles, alors ils ont la même mesure. »
Commençons par considérer deux droites parallèles (d_1) et (d_2) ainsi qu'une sécante \mathrm{(AB)} comme sur la figure ci-contre.
1. En utilisant les notations de la figure, écrire ce que l'on cherche à démontrer.
2. On note \text{O} le milieu de [\text{AB}].
Que peut-on dire de \text{A} et \text{B} par rapport à \text{O} ?
3. On note \text{E} le symétrique de \text{C} par rapport à \text{O}.
On admet que \text{E} \in (d_2). Justifier que \widehat{\text{ABD}} = \widehat{\text{ABE}}.
4. Quel est le symétrique de l'angle \widehat{\text{BAC}} par rapport à \text{O} ? Conclure.
« Si deux angles alternes-internes sont formés par des droites parallèles, alors ils ont la même mesure. »
Commençons par considérer deux droites parallèles (d_1) et (d_2) ainsi qu'une sécante \mathrm{(AB)} comme sur la figure ci-contre.
1. En utilisant les notations de la figure, écrire ce que l'on cherche à démontrer.
Que peut-on dire de \text{A} et \text{B} par rapport à \text{O} ?
On admet que \text{E} \in (d_2). Justifier que \widehat{\text{ABD}} = \widehat{\text{ABE}}.
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74
On souhaite démontrer la propriété suivante.
« Si deux angles correspondants sont formés par des droites parallèles, alors ils ont la même mesure. »
On considère la figure suivante où les droites (d_1) et (d_2) sont parallèles.
Compléter la démonstration en trois étapes.
1. D'une part, les angles … sont alternes-internes formés par … .
Or, si deux angles alternes-internes sont formés par des droites parallèles, alors … .
On a donc \widehat{\ldots}=\widehat{\ldots}.
2. D'autre part, les angles \mathrm{\widehat{AEC}} et \mathrm{\widehat{DEF}} sont … .
Or, si deux angles sont … alors ils sont de même mesure.
En conséquence, … .
3. Finalement, on conclut que … .
« Si deux angles correspondants sont formés par des droites parallèles, alors ils ont la même mesure. »
On considère la figure suivante où les droites (d_1) et (d_2) sont parallèles.
Compléter la démonstration en trois étapes.
1. D'une part, les angles … sont alternes-internes formés par … .
Or, si deux angles alternes-internes sont formés par des droites parallèles, alors … .
On a donc \widehat{\ldots}=\widehat{\ldots}.
Or, si deux angles sont … alors ils sont de même mesure.
En conséquence, … .
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75
Dans le rectangle ABDC ci-dessous, les droites \mathrm{(EF), (AD)} et \mathrm{(HG)} sont parallèles.
1. Compléter les affirmations suivantes et les justifier.
2. Déterminer en justifiant la mesure de chacun des angles suivants.
1. Compléter les affirmations suivantes et les justifier.
a. \mathrm{C} et \mathrm{B} sont symétriques par rapport à .
b. Le symétrique de \mathrm{D} par rapport à \mathrm{M} est .
c. Le symétrique du triangle \mathrm{LCG} par rapport à \mathrm{K} est .
d. Le symétrique de \mathrm{\widehat{KIF}} par rapport à K est .
a. \mathrm{\widehat{EIB}}
b. \mathrm{\widehat{KIF}}
c. \mathrm{\widehat{IBF}}
d. \mathrm{\widehat{HCL}}
e. \mathrm{\widehat{HLK}}
f. \mathrm{\widehat{JKI}}
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Dans la figure à main levée suivante, \mathrm{B} est le point d'intersection des droites \mathrm{(AF)} et \mathrm{(EC)}.
1. a. Calculer la mesure de l'angle \widehat{\mathrm{ABC}}.
b. En déduire la mesure de l'angle \widehat{\mathrm{EBF}}.
2. Calculer la mesure de \widehat{\mathrm{BEF}}.
3. Les droites \mathrm{(AC)} et \mathrm{(EF)} sont-elles parallèles ? Justifier.
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77
Dans la figure ci-dessous, les droites (\text{RS}) et (\text{TU}) sont parallèles.
Calculer la mesure de l'angle \widehat{\text{UMS}}.
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78
Dans la figure ci-dessous, les droites (\text{KL}) et (\text{MN}) sont parallèles.
Calculer la mesure de l'angle \widehat{\text{LAM}}.
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79
On considère la figure faite à main levée ci-dessous.
1. a. Justifier que les droites \mathrm{(DP)} et \mathrm{(KB)} sont symétriques par rapport à \mathrm{R}.
b. Que peut-on en déduire sur ces deux droites ?
c. En déduire la mesure de l'angle \widehat{\mathrm{KCP}}.
2. a. En utilisant une symétrie, déterminer la mesure de l'angle \widehat{\mathrm{BKP}}.
b. En déduire alors la mesure des angles suivants dans l'ordre : \widehat{\mathrm{CKP}}, \widehat{\mathrm{KPC}} et \widehat{\mathrm{PCE}}.
3. a. Justifier que les droites \mathrm{(DB)} et \mathrm{(EC)} sont parallèles.
b. Quelle est la mesure de l'angle \widehat{\mathrm{DBC}} ?
c. Que peut-on en déduire sur le quadrilatère \mathrm{DECB} ?
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80
Dans le rectangle \text{AGCD}, les points \text{H} et \text{E} appartiennent respectivement aux segments [\text{DC}] et [\text{AG}] de sorte que {(\text{AH}) \parallel (\text{EC})} et {(\text{DE}) \parallel (\text{HG})}.
Déterminer la mesure de chacun des angles du triangle \text{CIG}.
Déterminer la mesure de chacun des angles du triangle \text{CIG}.
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81
Club de maths
On considère la figure suivante. Les droites (\text{KL}) et (\text{EF}) sont sécantes en \text{J}.
Comment déterminer la mesure de l'angle \widehat{\text{EJK}} sans prolonger le segment [\text{EF}] ?
Comment déterminer la mesure de l'angle \widehat{\text{EJK}} sans prolonger le segment [\text{EF}] ?
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82
Club de maths
La figure représente un carré et un triangle équilatéral.
Calculer la valeur de x.
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j'ai une idée !
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