Symétrie centrale, parallélisme et angles

L'image suivante est constituée de neuf bandes empilées.


En utilisant uniquement des mesures d'angles, justifier si les bandes sont parallèles ou non.

On considère un triangle $\mathrm{ABC}$ rectangle en $\mathrm{A}$ et $\mathrm{D}$ le milieu de son hypoténuse. $\mathrm{E}$ est le symétrique de $\mathrm{A}$ par rapport à $\mathrm{D}$.

On souhaite démontrer la propriété suivante.
« Si deux angles alternes-internes sont formés par des droites parallèles, alors ils ont la même mesure. »

Commençons par considérer deux droites parallèles $(d_1)$ et $(d_2)$ ainsi qu'une sécante $(\mathrm{AB})$ comme sur la figure ci-contre.


1. En utilisant les notations de la figure, écrire ce que l'on cherche à démontrer.

2. On note $\text{O}$ le milieu de $[\text{AB}]$.
Que peut-on dire de $\text{A}$ et $\text{B}$ par rapport à $\text{O}$ ?

3. On note $\text{E}$ le symétrique de $\text{C}$ par rapport à $\text{O}$.
On admet que $\text{E}\in (d_2)$. Justifier que $\widehat{\text{ABD}}=\widehat{\text{ABE}}$.

4. Quel est le symétrique de l'angle $\widehat{\text{BAC}}$ par rapport à $\text{O}$ ? Conclure.

On souhaite démontrer la propriété suivante.
« Si deux angles correspondants sont formés par des droites parallèles, alors ils ont la même mesure. »
On considère la figure suivante où les droites $(d_1)$ et $(d_2)$ sont parallèles.



Compléter la démonstration en trois étapes.
1. D'une part, les angles … sont alternes-internes formés par … .
Or, si deux angles alternes-internes sont formés par des droites parallèles, alors … .
On a donc $\widehat{{}^{\prime }...{}^{\prime }}=\widehat{{}^{\prime }...{}^{\prime }}$.

2. D'autre part, les angles $\widehat{\mathrm{AEC}}$ et $\widehat{\mathrm{DEF}}$ sont … .
Or, si deux angles sont … alors ils sont de même mesure.
En conséquence, … .

3. Finalement, on conclut que … .

Dans le rectangle ABDC ci-dessous, les droites $(\mathrm{EF}),(\mathrm{AD})$ et $(\mathrm{HG})$ sont parallèles.


1. Compléter les affirmations suivantes et les justifier.
2. Déterminer en justifiant la mesure de chacun des angles suivants.

Dans la figure ci-dessous, les droites $(\text{RS})$ et $(\text{TU})$ sont parallèles.


Calculer la mesure de l'angle $\widehat{\text{UMS}}$.

Dans la figure ci-dessous, les droites $(\text{KL})$ et $(\text{MN})$ sont parallèles.


Calculer la mesure de l'angle $\widehat{\text{LAM}}$.

On considère la figure faite à main levée ci-dessous.

Dans le rectangle $\text{AGCD}$, les points $\text{H}$ et $\text{E}$ appartiennent respectivement aux segments $[\text{DC}]$ et $[\text{AG}]$ de sorte que $(\text{AH})\parallel (\text{EC})$ et $(\text{DE})\parallel (\text{HG})$.



Déterminer la mesure de chacun des angles du triangle $\text{CIG}$.

On considère la figure suivante. Les droites $(\text{KL})$ et $(\text{EF})$ sont sécantes en $\text{J}$.


Comment déterminer la mesure de l'angle $\widehat{\text{EJK}}$ sans prolonger le segment $[\text{EF}]$ ?

La figure représente un carré et un triangle équilatéral.


Calculer la valeur de $x$.