Chapitre 9
Cours
Triangles et droites remarquables
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1
Construction de triangle
Propriété
Dans un triangle, la somme des mesures des trois angles est égale à \mathrm{180}^{\circ}.
Propriétés
1. Dans un triangle rectangle, la somme des mesures des deux angles aigus est égale à \mathrm{90}^{\circ}.
2. Dans un triangle équilatéral, chacun des trois angles mesure \mathrm{60}^{\circ}.
3. Dans un triangle isocèle, les deux angles à la base ont la même mesure.
Exemples :
Le triangle \mathrm{DFE} est rectangle en \mathrm{D} et on a \mathrm{\widehat{DFE} + \widehat{DEF} = 59^{\circ} + 31^{\circ} = 90^{\circ}}.
Le triangle \mathrm{JKL} est équilatéral et on a \widehat{\mathrm{KLJ}} = \widehat{\mathrm{LJK}} = \widehat{\mathrm{JKL}} = \mathrm{60}^{\circ}.
Le triangle \mathrm{HIG} est isocèle en \mathrm{I} et on a \widehat{\mathrm{IGH}} = \widehat{\mathrm{GHI}} = \mathrm{71}^{\circ}.
Le triangle \mathrm{DFE} est rectangle en \mathrm{D} et on a \mathrm{\widehat{DFE} + \widehat{DEF} = 59^{\circ} + 31^{\circ} = 90^{\circ}}.
Le triangle \mathrm{JKL} est équilatéral et on a \widehat{\mathrm{KLJ}} = \widehat{\mathrm{LJK}} = \widehat{\mathrm{JKL}} = \mathrm{60}^{\circ}.
Le triangle \mathrm{HIG} est isocèle en \mathrm{I} et on a \widehat{\mathrm{IGH}} = \widehat{\mathrm{GHI}} = \mathrm{71}^{\circ}.
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2
Droites remarquables
Propriétés
1. Dans un triangle, les trois médiatrices sont concourantes, c'est-à-dire qu'elles se coupent en un seul point.
2. Le point de concours des trois médiatrices est situé à égale distance de chacun des sommets du triangle.
3. Le point de concours des trois médiatrices est le centre du cercle circonscrit au triangle.
Propriétés
1. Dans un triangle rectangle, le centre du cercle circonscrit est le milieu de l'hypoténuse.
2. Réciproquement, si le centre du cercle circonscrit à un triangle est le milieu d'un côté, alors ce triangle est rectangle et le côté où se trouve le centre du cercle est l'hypoténuse.
Définition
Dans un triangle, la hauteur issue d'un sommet est la droite qui passe par ce sommet et qui est perpendiculaire au côté opposé à ce sommet.
Remarques :
1. Selon le contexte, le mot hauteur désigne une droite, un segment ou la longueur de ce segment.
2. Il existe trois hauteurs dans un triangle, qui sont concourantes. Le point de concours des trois hauteurs est nommé l'orthocentre du triangle. Il se situe à l'extérieur du triangle lorsque le triangle possède un angle obtus.
1. Selon le contexte, le mot hauteur désigne une droite, un segment ou la longueur de ce segment.
2. Il existe trois hauteurs dans un triangle, qui sont concourantes. Le point de concours des trois hauteurs est nommé l'orthocentre du triangle. Il se situe à l'extérieur du triangle lorsque le triangle possède un angle obtus.
Définition
Dans un triangle, la médiane issue d'un sommet est la droite passant par ce sommet et par le milieu du côté opposé à ce sommet.
Remarque : Un triangle compte trois médianes, qui sont concourantes. Le point de concours des trois médianes s'appelle le centre de gravité du triangle.
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3
Aire d'un triangle
Propriété
L'aire d'un triangle peut se calculer à l'aide de la formule
\mathrm{Aire = {\color{purple}{longueur\ d'une\ base}} \times {\color{red}{hauteur\ associée}} \div 2}, les longueurs étant exprimées dans la même unité.
On note généralement : \mathrm{Aire} = \frac{{\color{purple}{b}} \times {\color{red}{h}}}{2}.
On note généralement : \mathrm{Aire} = \frac{{\color{purple}{b}} \times {\color{red}{h}}}{2}.
Exemple :
Dans un triangle \mathrm{DFE}, on a \mathrm{EF = 6\ cm}. La hauteur associée est \mathrm{DH = 1,5\ cm}.
L'aire du triangle \mathrm{DFE} est donc de \mathrm{6\ cm \times 1,5\ cm \div 2 = 4,5\ cm^2}.
Dans un triangle \mathrm{DFE}, on a \mathrm{EF = 6\ cm}. La hauteur associée est \mathrm{DH = 1,5\ cm}.
L'aire du triangle \mathrm{DFE} est donc de \mathrm{6\ cm \times 1,5\ cm \div 2 = 4,5\ cm^2}.
Propriété
Une médiane partage un triangle en deux triangles d'aires égales.
Remarque : Cette propriété est démontrée dans l'exercice .
Exemple :
Dans le triangle \mathrm{ABC} ci-contre, \mathrm{R} est le milieu de \mathrm{[AC]} donc la droite \mathrm{(BR)} est la médiane issue de \mathrm{B}.
Ainsi,
Dans le triangle \mathrm{ABC} ci-contre, \mathrm{R} est le milieu de \mathrm{[AC]} donc la droite \mathrm{(BR)} est la médiane issue de \mathrm{B}.
Ainsi,
\text{Aire de ABR}
=\, \text{Aire de BCR}
.
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