Chapitre 9
Applications directes
Triangles et droites remarquables
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Méthode 1
Utiliser la somme des angles d'un triangle
Énoncé
Soit \mathrm{TAG} un triangle tel que \mathrm{\widehat{TAG} = 64^{\circ}} et \ \mathrm{\widehat{GTA} = 37^{\circ}}.
Déterminer la mesure de l'angle \widehat{\mathrm{AGT}}.
Solution
La somme des mesures des trois angles d'un triangle est égale à 180^{\circ}.Dans le triangle \mathrm{TAG}, on a donc :
\widehat{\mathrm{AGT}} + \widehat{\mathrm{TAG}} + \widehat{\mathrm{GTA}} = 180^{\circ}. Ainsi,
\widehat{\mathrm{AGT}} = 180^{\circ} - \widehat{\mathrm{TAG}} - \widehat{\mathrm{GTA}}\\ \phantom{\widehat{\mathrm{AGT}}} = 180^{\circ} - 64^{\circ} - 37^{\circ}\\ \phantom{\widehat{\mathrm{AGT}}} = 79^{\circ}.
Explications
- On utilise la propriété sur la somme des mesures des trois angles d'un triangle.
- On soustrait les mesures des deux angles connus à 180^{\circ} pour déterminer la valeur inconnue.
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19
On considère le triangle \mathrm{HOP} tel que \mathrm{\widehat{HOP} = 45^\circ} et \,\mathrm{\widehat{HPO} = 75^\circ}. On souhaite calculer la mesure de l'angle \widehat{\mathrm{OHP}}.
Recopier et compléter les étapes suivantes.
\widehat{\mathrm{HOP}} + \widehat{\mathrm{HPO}} + \widehat{\;\overset{\;}{\ldots}\;} = \ldots^\circ \\ \widehat{\;\overset{\;}{\ldots}\;} = \ldots - \widehat{\;\overset{\;}{\ldots}\;} - \widehat{\;\overset{\;}{\ldots}\;} \\ \phantom{\widehat{\;\overset{\;}{\ldots}\;}} = \ldots - \ldots - \ldots \\ \phantom{\widehat{\;\overset{\;}{\ldots}\;}} = \ldots
Recopier et compléter les étapes suivantes.
\widehat{\mathrm{HOP}} + \widehat{\mathrm{HPO}} + \widehat{\;\overset{\;}{\ldots}\;} = \ldots^\circ \\ \widehat{\;\overset{\;}{\ldots}\;} = \ldots - \widehat{\;\overset{\;}{\ldots}\;} - \widehat{\;\overset{\;}{\ldots}\;} \\ \phantom{\widehat{\;\overset{\;}{\ldots}\;}} = \ldots - \ldots - \ldots \\ \phantom{\widehat{\;\overset{\;}{\ldots}\;}} = \ldots
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20
On considère le triangle \mathrm{RAP} tel que \widehat{\mathrm{RAP}} = \mathrm{19}^{\circ} et \widehat{\mathrm{RPA}} = \mathrm{27}^{\circ}.
Calculer la mesure du troisième angle de ce triangle.
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21
Dans le triangle \mathrm{RNB}, on a \mathrm{\widehat{RNB} = 110^{\circ}} et \,\mathrm{\widehat{RBN} = 17^{\circ}}.
Calculer la mesure du troisième angle de ce triangle.
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22
Générateur d'exercices
Déterminer la mesure de l'angle \widehat{\mathrm{SKA}}.
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23
Dans chaque cas, déterminer la mesure du troisième angle du triangle \mathrm{DUB}.
\widehat{\text{DUB}} | \widehat{\text{DBU}} | \widehat{\text{UDB}} | |
|---|---|---|---|
Cas n°1 | 28^\circ | 51^\circ | |
Cas n°2 | 39^\circ | 110^\circ | |
Cas n°3 | 106^\circ | 26^\circ |
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24
On considère le triangle \mathrm{MIC} rectangle en \mathrm{I} tel que \mathrm{\widehat{MCI} = \mathrm{35}^{\circ}}.
1. Quelle est la mesure de l'angle \widehat{\mathrm{MIC}} ?
2. Calculer la mesure de l'angle \widehat{\mathrm{CMI}}.
1. Quelle est la mesure de l'angle \widehat{\mathrm{MIC}} ?
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25
Soit \mathrm{HIP} un triangle tel que \mathrm{\widehat{HIP} = 36^\circ} et \,\mathrm{\widehat{IPH} = 54^\circ.}
Calculer la mesure du troisième angle, puis donner la nature de ce triangle.
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Méthode 2
Construire des triangles
Énoncé
Construire le triangle \mathrm{BRO} isocèle en \mathrm{B} tel que \mathrm{\widehat{RBO} = 108^\circ} et \,\mathrm{RO = 6\ cm}.
Solution
On trace la figure à main levée.
On détermine par le calcul les angles \widehat{\mathrm{BRO}} et \widehat{\mathrm{BOR}}\,: 180^\circ - 108^\circ = 72^\circ et \,72^\circ \div 2 = 36^\circ.
On détermine par le calcul les angles \widehat{\mathrm{BRO}} et \widehat{\mathrm{BOR}}\,: 180^\circ - 108^\circ = 72^\circ et \,72^\circ \div 2 = 36^\circ.
On peut maintenant construire le triangle.
Explications
- On commence par faire une figure à main levée pour avoir une idée de ce que l'on veut.
- On détermine la mesure des angles à la base en utilisant la propriété des angles des triangles isocèles.
- On trace la base de longueur donnée et on utilise un rapporteur pour tracer les deux angles à la base.
- On place le troisième sommet du triangle à l'intersection des deux demi-droites tracées pour construire les angles.
- On code la figure.
Supplément numérique
Retrouvez cette méthode en .
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26
Construire le triangle \text{TRI} en vraie grandeur.
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27
Construire le triangle \text{FUT} en vraie grandeur.
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28
Construire le triangle \text{LTO} en vraie grandeur.
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29
Construire le triangle équilatéral \mathrm{PLI} en vraie grandeur tel que \mathrm{PL = 5\ cm} après avoir fait une figure à main levée.
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30
Construire le triangle \mathrm{BOX} en vraie grandeur tel que \mathrm{BO = 4,6\ cm}, \mathrm{\widehat{OXB} = 102^{\circ}} et \mathrm{\widehat{XBO} = 24^{\circ}} après avoir fait une figure à main levée.
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31
Construire le triangle \mathrm{CUV} en vraie grandeur tel que \mathrm{CU = 6,5\ cm}, \mathrm{\widehat{UCV} = 67^{\circ}} et \mathrm{\widehat{UVC} = 82^{\circ}} après avoir fait une figure à main levée.
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32
Construire le triangle \mathrm{BAC} rectangle en \mathrm{A} en vraie grandeur tel que \mathrm{BA = 6,6\ cm} et \mathrm{\widehat{ACB} = 37^{\circ}} après avoir fait une figure à main levée.
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33
Construire le triangle \mathrm{BOL} isocèle en \mathrm{B} en vraie grandeur tel que \mathrm{\widehat{BLO} = 56^{\circ}} et \mathrm{BL = 7\ cm} après avoir fait une figure à main levée.
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Méthode 3
Connaître les droites remarquables
Énoncé
Dans un triangle \mathrm{BON}, tracer en noir la hauteur (d_1) issue de \mathrm{B}, en vert la médiane (d_2) issue de \mathrm{O} et en rouge la médiatrice (d_3) du segment \mathrm{[BO]}.
Solution
Explications
- Pour tracer une hauteur : on repère le sommet dont elle est issue et on trace une perpendiculaire au côté opposé passant par ce sommet, en prolongeant le côté si besoin.
- Pour tracer une médiane : on repère le sommet dont elle est issue et on trace la droite passant par ce sommet et le milieu du côté opposé.
- Pour tracer la médiatrice d'un segment : on trace la droite perpendiculaire à ce segment passant par son milieu.
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La figure ci-dessous est utilisée pour les exercices 34 à 36.
Elle peut être .
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34
Reproduire le triangle \mathrm{ABC}, puis tracer les trois médianes de ce triangle.
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35
Reproduire le triangle \mathrm{ABC}, puis tracer les trois médiatrices de ce triangle.
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36
Reproduire le triangle \mathrm{ABC}, puis tracer les trois hauteurs de ce triangle.
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37
Construire un triangle quelconque \mathrm{TOP}.
Tracer en rouge la hauteur issue de \mathrm{T}.
Tracer en bleu la médiane issue de \mathrm{P}.
Tracer en vert la médiatrice du côté \mathrm{[OT]}.
Tracer en rouge la hauteur issue de \mathrm{T}.
Tracer en bleu la médiane issue de \mathrm{P}.
Tracer en vert la médiatrice du côté \mathrm{[OT]}.
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38
Que représentent les droites (\text{CD}) et (\text{AE}) dans le triangle ci-dessous ? Justifier.
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39
On considère un triangle \mathrm{DEF} et on note \mathrm{M} le milieu du segment \mathrm{[DE]}.
1. Comment est définie la médiatrice du segment \mathrm{[DE]} ?
2. Comment est définie la médiane issue de \mathrm{F} ?
3. Comment est définie la hauteur issue de \mathrm{F} ?
1. Comment est définie la médiatrice du segment \mathrm{[DE]} ?
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Méthode 4
Calculer l'aire d'un triangle
Énoncé
Calculer l'aire des triangles \mathrm{RIZ} et \mathrm{BLE}.
Solution
- Dans le triangle \mathrm{RIZ}, [\mathrm{RA}] est la hauteur issue de \mathrm{R} et la base associée est [\mathrm{IZ}].
\text{Aire (RIZ)} = \frac{10,5\text{ cm} \times 4,2\text{ cm}}{2}
\text{Aire (RIZ)} = 22,05\text{ cm}^2 - Dans le triangle \mathrm{BLE}, [\mathrm{LH}] est la hauteur issue de \mathrm{L} et la base associée est [\mathrm{BE}].
\text{Aire (BLE)} = \frac{8,2\text{ cm} \times 3,2\text{ cm}}{2}
\text{Aire (BLE)} = 13,12\text{ cm}^2
Explications
- On repère une hauteur et la base associée.
- On calcule l'aire d'un triangle à l'aide de la formule \frac{b \times h}{2}, en remplaçant par les valeurs adéquates.
Supplément numérique
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40
On considère un triangle \mathrm{ABC} tel que \mathrm{BC = 12\ cm}. La hauteur issue de \mathrm{A} coupe le côté \mathrm{[BC]} en \mathrm{H} telle que \mathrm{AH = 9\ cm}.
1. Faire une figure à main levée.
2. Calculer l'aire du triangle \mathrm{ABC}.
1. Faire une figure à main levée.
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41
Déterminer l'aire du triangle \text{ABC}.
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42
Générateur d'exercices
Déterminer l'aire du triangle \text{ABC}.
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41
Déterminer l'aire du triangle \text{ABC}.
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44
On considère le carré \mathrm{RSTU} de côté \mathrm{8\ cm}.
Calculer l'aire du triangle \mathrm{RST}.
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45
Quelle est l'aire d'un triangle \mathrm{OUI} rectangle en \mathrm{U} tel que \mathrm{OI = 10\ hm}, \mathrm{OU = 8\ hm} et \mathrm{UI = 6\ hm} ?
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j'ai une idée !
Oups, une coquille
