Chapitre 9
Synthèse
Triangles et droites remarquables
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83
On considère les triangles \mathrm{GIH} et \mathrm{GJH} ci-dessous tels que \mathrm{IK = JL}.
1. Que représentent les droites \mathrm{(IK)} et \mathrm{(JL)} pour les triangles \mathrm{GIH} et \mathrm{GJH} ?
2. Que peut-on dire des aires de ces deux triangles ? Justifier.
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84
Soit \mathrm{M} le centre du cercle de diamètre \mathrm{[AB]} passant par \mathrm{D}.
On place un point \mathrm{E} à l'extérieur du disque du diamètre \mathrm{[AB]} de telle sorte que les points \mathrm{E}, \mathrm{D} et \mathrm{A} soient alignés.
On place un point \mathrm{E} à l'extérieur du disque du diamètre \mathrm{[AB]} de telle sorte que les points \mathrm{E}, \mathrm{D} et \mathrm{A} soient alignés.
1. Quelle est la nature du triangle \mathrm{ADB} ? Justifier.
2. Que représente la droite \mathrm{(DB)} pour le triangle \mathrm{EBA} ? Justifier.
3. On sait que \mathrm{AD = 2,6\ cm}, \mathrm{ED = 4\ cm} et \mathrm{DB = 5\ cm}.
a. Calculer l'aire des triangles \mathrm{ADB} et \mathrm{EBD}.
b. Calculer de deux façons différentes l'aire du triangle \mathrm{EBA}.
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85
On considère la figure suivante.
1. Calculer la mesure de l'angle \widehat{\mathrm{ACB}}.
2. Que représente le point \mathrm{P} pour le triangle \mathrm{ABC} ? Justifier.
3. Comment sont construits les points \mathrm{D}, \mathrm{E} et \mathrm{F} ?
Bonus : Reproduire la figure et la courbe violette avec GeoGebra.
GeoGebra
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86
Supplément numérique
La figure est .
1. Où doit-on placer cet arrêt de bus ? Justifier.
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87
Un parapluie est constitué de huit triangles isocèles identiques dont la moitié sont verts et les autres blancs, comme le présente la figure ci-contre.
1. Quelles sont les mesures des trois angles d'un de ces triangles ? Justifier.
2. On sait que \mathrm{AC = 65\ cm}, \mathrm{JC = 60\ cm} et \mathrm{AD = 50\ cm}.
Construire le triangle \mathrm{ACD} à l'échelle \frac{1}{10}.
3. Donner l'aire du tissu vert et celle du tissu blanc nécessaires à la conception de ce parapluie au dixième de \text{cm}^2 près.
1. Quelles sont les mesures des trois angles d'un de ces triangles ? Justifier.
Construire le triangle \mathrm{ACD} à l'échelle \frac{1}{10}.
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88
On considère l'hexagone régulier \mathrm{ABCDEF} ci-dessous inscrit dans un cercle de centre \mathrm{M}.
1. Calculer la mesure de l'angle \widehat{\mathrm{ABC}}.
2. En déduire la somme des mesures des angles d'un hexagone régulier.
1. Calculer la mesure de l'angle \widehat{\mathrm{ABC}}.
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89
\text{ABCD} est un rectangle. \text{E} appartient à [\text{AB}] et \text{F} appartient à [\text{AD}]. Les longueurs indiquées sur la figure sont données en cm.
Déterminer l'aire du triangle \text{FEC}.
Déterminer l'aire du triangle \text{FEC}.
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90
1. Placer deux points \text{A} et \text{B} sur une feuille.
2. Tracer en bleu l'ensemble des points se trouvant à égale distance de \text{A} et \text{B}.
3. Placer un troisième point \text{C}, non aligné avec \text{A} et \text{B} tel que \text{AC > BC}.
4. Placer en rouge le point \text{O} se trouvant à égale distance de \text{A}, de \text{B} et de \text{C}.
5. On souhaite placer sur la figure un quatrième point \text{D} se trouvant à la même distance du point \text{O} que les trois points précédents. Tracer les emplacements possibles pour ce point.
6. Parmi tous les emplacements possibles pour \text{D}, indiquer en vert les positions pour lesquelles le triangle \text{ABD} est isocèle en \text{D}.
2. Tracer en bleu l'ensemble des points se trouvant à égale distance de \text{A} et \text{B}.
3. Placer un troisième point \text{C}, non aligné avec \text{A} et \text{B} tel que \text{AC > BC}.
4. Placer en rouge le point \text{O} se trouvant à égale distance de \text{A}, de \text{B} et de \text{C}.
5. On souhaite placer sur la figure un quatrième point \text{D} se trouvant à la même distance du point \text{O} que les trois points précédents. Tracer les emplacements possibles pour ce point.
6. Parmi tous les emplacements possibles pour \text{D}, indiquer en vert les positions pour lesquelles le triangle \text{ABD} est isocèle en \text{D}.
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91
On considère le carré \mathrm{ABCD} dans la configuration donnée par la figure ci-dessous. Les triangles \mathrm{CDE} et \mathrm{BFC} sont équilatéraux. On souhaite démontrer que les points \mathrm{A}, \mathrm{E} et \mathrm{F} sont alignés. Il peut être utile de refaire la figure afin de noter toutes les informations qui seront justifiées dans les questions suivantes.
1. Combien mesurent les angles des triangles \mathrm{CDE} et \mathrm{BFC} ?
2. a. Justifier que \widehat{\mathrm{ECB}} = 30^{\circ}.
b. En déduire la mesure de l'angle \widehat{\mathrm{FCE}}.
c. Quelle est la nature exacte du triangle \mathrm{EFC} ?
d. En déduire la mesure de l'angle \widehat{\mathrm{EFC}}.
3. a. Quelle est la nature du triangle \mathrm{ABF} ?
b. Justifier que \mathrm{\widehat{BFA} = 15^\circ}.
4. a. Justifier que \,\mathrm{\widehat{BFA} + \widehat{AFE} + \widehat{EFC} = \widehat{BFC}}.
b. En déduire la valeur de \mathrm{\widehat{AFE}} et conclure.
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92
On considère la rosace trilobée ci-dessous.
1. En commençant par le triangle \text{RST}, donner un programme de construction qui permet de reproduire cette figure.
2. Reproduire la figure en vraie grandeur sur feuille ou avec un logiciel de géométrie en prenant \text{RS = 6\ cm}.
3. À partir de la figure en vraie grandeur, calculer l'aire du triangle \text{RTS} au \text{cm}^2 près.
1. En commençant par le triangle \text{RST}, donner un programme de construction qui permet de reproduire cette figure.
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93
On rappelle que la bissectrice d'un angle est définie comme la droite coupant cet angle en deux angles adjacents de même mesure.
Dans le triangle \text{ABC} ci-dessus, \text{(AF)}, \text{(BE)} et \text{(CD)} sont les bissectrices respectives des angles \widehat{\text{BAC}}, \widehat{\text{ABC}} et \widehat{\text{ACB}}.
Déterminer la mesure de l'angle \widehat{\text{ABC}}.
Dans le triangle \text{ABC} ci-dessus, \text{(AF)}, \text{(BE)} et \text{(CD)} sont les bissectrices respectives des angles \widehat{\text{BAC}}, \widehat{\text{ABC}} et \widehat{\text{ACB}}.
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Club de maths
Sur un carré \text{ABCD} de côté 36\text{ m}, le point \text{P} est placé sur le segment [\text{AB}] de sorte que \text{AP = 9\ m}.
Où faut-il placer les points \text{Q} et \text{R} respectivement sur les côtés [\text{BC}] et [\text{CD}] pour que le carré \text{ABCD} soit partagé en trois polygones de même aire ?
Où faut-il placer les points \text{Q} et \text{R} respectivement sur les côtés [\text{BC}] et [\text{CD}] pour que le carré \text{ABCD} soit partagé en trois polygones de même aire ?
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Club de maths
Déterminer la mesure de l'angle \widehat{\text{DCB}}.
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