Chapitre 10
Cours
Parallélogrammes
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1
Définitions et propriétés
Définition
Un parallélogramme est un quadrilatère dont les côtés opposés sont deux à deux parallèles.
Propriétés
Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors :
- ses diagonales se coupent en leur milieu : c'est le centre de symétrie du parallélogramme ;
- ses côtés opposés sont deux à deux de la même longueur ;
- ses angles opposés ont la même mesure.
Exemple :
Le quadrilatère \mathrm{ABCD} ci-contre est un parallélogramme.
On en déduit que :
On en déduit que :
- \mathrm{O} est le milieu de \mathrm{[AC]} et de \mathrm{[BD]}, donc \mathrm{OD = OB}\, et \,\mathrm{OA = OC}\,;
- \mathrm{AB = CD}\, et \,\mathrm{BC = AD}\,;
- \mathrm{\widehat{DAB} = \widehat{BCD}}\, et \,\mathrm{\widehat{ABC} = \widehat{CDA}}.
Propriétés
1. Si un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leur milieu, alors c'est un parallélogramme.
2. Si un quadrilatère a ses côtés opposés deux à deux de même longueur, alors c'est un parallélogramme.
3. Si un quadrilatère a deux côtés opposés parallèles et de même longueur, alors c'est un parallélogramme.
Exemples :
\mathrm{O} est le point d'intersection des diagonales.
Comme \mathrm{OB = OD} et \mathrm{OA = OC}, alors \mathrm{ABCD} est un parallélogramme.
Comme \mathrm{AB = CD}\, et \,\mathrm{AD = BC}, alors \mathrm{ABCD} est un parallélogramme.
Comme \mathrm{AD = BC}\, et \,\mathrm{(AD) // (BC)}, alors \mathrm{ABCD} est un parallélogramme.
\mathrm{O} est le point d'intersection des diagonales.
Comme \mathrm{OB = OD} et \mathrm{OA = OC}, alors \mathrm{ABCD} est un parallélogramme.
Comme \mathrm{AB = CD}\, et \,\mathrm{AD = BC}, alors \mathrm{ABCD} est un parallélogramme.
Comme \mathrm{AD = BC}\, et \,\mathrm{(AD) // (BC)}, alors \mathrm{ABCD} est un parallélogramme.
Remarque :
Attention, \mathrm{(AB) // (CD)} ne suffit pas à avoir un parallélogramme. Il faut soit ajouter que \mathrm{AB = CD}, soit ajouter que \mathrm{(AD) // (BC)}.
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2
Parallélogrammes particuliers
Définition
Un rectangle est un parallélogramme qui a un angle droit.
Propriété
Les quatre angles d'un rectangle sont des angles droits.
Propriété
Si un quadrilatère est un rectangle, alors ses diagonales :
- ont la même longueur ;
- se coupent en leur milieu.
Propriétés
1. Si un parallélogramme a ses diagonales de même longueur, alors c'est un rectangle.2. Si un parallélogramme a deux côtés consécutifs perpendiculaires, alors c'est un rectangle.
Remarque : Si on sait qu'un parallélogramme possède un angle droit, alors c'est forcément un rectangle.
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Définition
Un losange est un parallélogramme qui a deux côtés consécutifs de même longueur.
Propriété
Les quatre côtés d'un losange sont de la même longueur.
Propriété
Si un quadrilatère est un losange, alors ses diagonales :
- se coupent en leur milieu ;
- sont perpendiculaires.
Propriétés
1. Si un parallélogramme a ses diagonales perpendiculaires, alors c'est un losange.2. Si un parallélogramme a deux côtés consécutifs de même longueur, alors c'est un losange.
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Définition
Un carré est à la fois un losange et un rectangle.
Remarque : Un carré est donc aussi un parallélogramme.
Propriétés
Un carré a quatre angles droits.
Les quatre côtés d'un carré sont de la même longueur.
Propriétés
1. Si un quadrilatère est un carré, alors ses diagonales :
- sont perpendiculaires ;
- se coupent en leur milieu ;
- sont de la même longueur.
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Synthèse
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3
Aire d'un parallélogramme
Définitions
Dans un parallélogramme, une hauteur est une droite qui est perpendiculaire à l'un de ses côtés que l'on appelle alors base.
Le mot hauteur s'utilise indifféremment pour désigner la droite, le segment ou sa longueur.
Remarque : La hauteur peut être tracée à l'extérieur du parallélogramme.
Propriété
On considère un parallélogramme :
- de hauteur h ;
- dont la longueur de la base associée est b.
\text{Aire} = \text{base} \times \text{hauteur} = b \times h.
Exemple :
\mathrm{ABCD} est un parallélogramme.
Dans \mathrm{ABCD}, on peut choisir \mathrm{EF} comme hauteur et \mathrm{[AB]} comme base associée à cette hauteur.
Ainsi, \mathrm{Aire = AB \times EF = 6 \times 4,5 = 27}.
L'aire du parallélogramme est \mathrm{27~cm^2}.
\mathrm{ABCD} est un parallélogramme.
Dans \mathrm{ABCD}, on peut choisir \mathrm{EF} comme hauteur et \mathrm{[AB]} comme base associée à cette hauteur.
Ainsi, \mathrm{Aire = AB \times EF = 6 \times 4,5 = 27}.
L'aire du parallélogramme est \mathrm{27~cm^2}.
Remarque : Attention, pour calculer une aire, il faut toujours que les longueurs soient exprimées dans la même unité.
Propriété
Si \mathrm{ABCD} est un parallélogramme, alors les deux triangles \mathrm{ABC} et \mathrm{ACD} ont la même aire.
Remarque : Cette propriété est démontrée dans l'exercice .
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