Parallélogrammes

On souhaite reproduire le parallélogramme ci-dessous sachant que \mathrm{IK = 8\ cm}.



1. Expliquer pourquoi \mathrm{IB = 4\ cm}.

2. Tracer le segment \mathrm{[IK]}, puis placer le point \mathrm{B}.

3. Construire la demi-droite \mathrm{[B}x) telle que \widehat{\mathrm{IB}x} = 40^\circ.

4. Construire la demi-droite \mathrm{[K}y) telle que \widehat{\mathrm{IK}y} = 15^\circ.

5. Placer le point \mathrm{J} à l'intersection de \mathrm{[B}x) et \mathrm{[K}y) et finir la construction du parallélogramme.

Reproduire le parallélogramme ci-contre sachant que \text{AC = 5,4 cm} et \text{DB = 4,6 cm}.

On a commencé à tracer la figure suivante.


On trace ensuite un arc de cercle de centre \mathrm{P} et de rayon 4\text{ cm} et un autre de centre \mathrm{Y} et de rayon 7\text{ cm}.
On note \mathrm{S} l'intersection de ces deux arcs.

1. Faire une figure à main levée correspondant aux instructions précédentes.
2. Justifier que le quadrilatère \mathrm{PAYS} est un parallélogramme.

Solution

On sait que [\mathrm{MO}] et [\mathrm{NP}] se coupent en leur milieu.
Or, si un quadrilatère a ses diagonales qui se coupent en leur milieu, alors c'est un parallélogramme. On en déduit que \mathrm{MNOP} est un parallélogramme.
De plus, on sait que \mathrm{\widehat{MPO} = 90^\circ}.
Or, si un parallélogramme a deux côtés consécutifs perpendiculaires, alors c'est un rectangle.
On conclut que \mathrm{MNOP} est un rectangle.

Solution

Le segment en bleu est perpendiculaire au côté \mathrm{[RS]}. On peut donc choisir la longueur bleue comme hauteur et le segment \mathrm{[RS]} comme base associée.

\begin{aligned} \text{Aire} &= \text{base} \times \text{hauteur} \\ &= 6,4\text{ cm} \times 2,7\text{ cm} \\ &= 6,4 \times 2,7\text{ cm}^2 \\ &= 17,28\text{ cm}^2 \end{aligned}