Chapitre 10
Synthèse
Parallélogrammes
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103
Tracer trois parallélogrammes non superposables d'aire 2~400\text{ mm}^2 dont l'un est un rectangle, l'autre un losange, et le troisième ni un rectangle, ni un losange.
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104
Construire un losange dont le périmètre mesure 16\text{ cm} et tel que l'une de ses diagonales mesure 6\text{ cm}.
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105
\mathrm{TRI} est un triangle. Les points \mathrm{O} et \mathrm{P} sont les symétriques respectifs des points \mathrm{T} et \mathrm{R} dans la symétrie centrale de centre \mathrm{I}.
1. Faire une figure. 2. Quelle est la nature de \mathrm{TROP}\,? Justifier.
3. Quelle doit être la nature du triangle \mathrm{TRI} pour que :
a. \mathrm{TROP} soit un losange ?
b. \mathrm{TROP} soit un rectangle ?
c. \mathrm{TROP} soit un carré ?
1. Faire une figure. 2. Quelle est la nature de \mathrm{TROP}\,? Justifier.
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106
Voici le patron d'un prisme droit dont la base est un parallélogramme de côtés 1,1\text{ cm} et 2\text{ cm} et de hauteur 1 \text{ cm}. Calculer l'aire de ce patron.
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107
\mathrm{STAR} est un parallélogramme de centre \mathrm{J}.
1. En utilisant une symétrie centrale, justifier que les angles violets sont égaux.
2. Montrer que \widehat{\mathrm{TAR}} et \widehat{\mathrm{ARS}} sont supplémentaires.
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108
\mathrm{VENT} est un parallélogramme tel que \mathrm{\widehat{VEN} = 60^\circ}.
\mathrm{K} est un point appartenant au segment [\text{VE}].
La droite parallèle à (\text{VT}) passant par le point K coupe le segment [\text{NT}] en \mathrm{I}.
1. Faire une figure.
2. Démontrer que (\text{KI}) // (\text{EN}).
3. Démontrer que \mathrm{ENIK} est un parallélogramme.
4. Quelle est la mesure de l'angle \widehat{\text{KIN}}\,? Justifier.
\mathrm{K} est un point appartenant au segment [\text{VE}].
La droite parallèle à (\text{VT}) passant par le point K coupe le segment [\text{NT}] en \mathrm{I}.
1. Faire une figure.
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109
\mathrm{AHER} est un parallélogramme tel que \mathrm{AH = 5\ cm}, \mathrm{RA = 2\ cm} et \mathrm{\widehat{ARE} = 105^\circ}.
1. Placer le point \mathrm{T}, milieu de \mathrm{[AH]}.
2. Placer les points \mathrm{S} et \mathrm{M} pour que :
a. \mathrm{TRES} soit un parallélogramme ;
b. \mathrm{TERM} soit un parallélogramme. 3. Démontrer que \mathrm{(MT) // (TS)}.
4. Démontrer que \mathrm{MT = TS}.
5. Que peut-on en conclure pour le point \mathrm{T}\,?
1. Placer le point \mathrm{T}, milieu de \mathrm{[AH]}.
2. Placer les points \mathrm{S} et \mathrm{M} pour que :
a. \mathrm{TRES} soit un parallélogramme ;
b. \mathrm{TERM} soit un parallélogramme. 3. Démontrer que \mathrm{(MT) // (TS)}.
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110
\mathrm{TSCU} et \mathrm{TRES} sont deux parallélogrammes.
1. Faire une figure à main levée.
2. Démontrer que \mathrm{CURE} est un parallélogramme.
1. Faire une figure à main levée.
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111
\mathrm{MARS} et \mathrm{SEAU} sont deux parallélogrammes.
\mathrm{I} est le milieu de \mathrm{[SA]}.
1. Justifier que \mathrm{I} est le milieu de \mathrm{[MR]}.
2. Quel est le milieu de \mathrm{[EU]}\,? Justifier.
3. Quelle est la nature de \mathrm{MURE}\,? Justifier.
\mathrm{I} est le milieu de \mathrm{[SA]}.
1. Justifier que \mathrm{I} est le milieu de \mathrm{[MR]}.
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112
\mathrm{ABCD} est un rectangle tel que \mathrm{AB = 5\ cm}\, et \,\mathrm{BC = 2,7 cm}.
On a placé les points \mathrm{E}, \mathrm{F}, \mathrm{G} et \mathrm{H} comme sur la figure ci-dessous.
On a placé les points \mathrm{E}, \mathrm{F}, \mathrm{G} et \mathrm{H} comme sur la figure ci-dessous.
1. Justifier que \mathrm{EFGH} est un parallélogramme.
2. Calculer son aire.
3. En déduire l'aire de la surface rose.
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113
Mélissa confectionne des boucles d'oreilles dont voici deux modèles en forme de parallélogramme. Les parties colorées sont en métal et les parties blanches sont vides.
1. Quelle est la nature du quadrilatère du modèle \mathrm{A}\,? Et celle du modèle \mathrm{B}\,? Justifier.
2. Quelle est la nature des parties blanches dans chacun de ces modèles ? Justifier.
3. Quel modèle nécessite le moins de métal pour être confectionné sachant que les deux modèles sont de la même épaisseur ?
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114
On considère le parallélogramme \text{QUAI} de centre \text{H} ci-dessous tel que \text{IH = 4,4\ cm}\, et \,\text{AU = 4\ cm}.
1. En considérant que l'aire du triangle \text{AHU} est \,6,52\text{ cm}^2, calculer la longueur \text{GH}.
2. Calculer alors l'aire du parallélogramme \text{QUAI}.
1. En considérant que l'aire du triangle \text{AHU} est \,6,52\text{ cm}^2, calculer la longueur \text{GH}.
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115
On considère la figure suivante réalisée à partir de quatre parallélogrammes identiques.
1. Quelle est la nature du quadrilatère blanc ?
2. La longueur du segment en pointillé est \mathrm{2\ cm}. La longueur d'un côté du quadrilatère blanc est \mathrm{2,5\ cm}.
Quelle est l'aire de la surface colorée ?
1. Quelle est la nature du quadrilatère blanc ?
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116
\mathrm{TIGE} est un carré de centre \mathrm{O} et de côté \mathrm{6\ cm}.
On place un point \mathrm{R} sur le segment \mathrm{[GI]} et un point \mathrm{A} sur le segment \mathrm{[ET]} tels que \mathrm{GR = TA.}
1. a. Montrer que \mathrm{TRGA} est un parallélogramme.
b. Quel est le milieu du segment \mathrm{[RA]\,?} Justifier.
2. Quelle est la nature de \mathrm{AIRE\,?} Justifier.
3. On suppose que \mathrm{GR = TA = 4\ cm.}
a. Calculer l'aire de \mathrm{TRGA.}
b. Calculer l'aire de \mathrm{AIRE.}
4. On note maintenant x la longueur \mathrm{GR.}
a. Exprimer l'aire de \mathrm{TRGA} en fonction de x.
b. Exprimer l'aire de \mathrm{AIRE} en fonction de x.
On place un point \mathrm{R} sur le segment \mathrm{[GI]} et un point \mathrm{A} sur le segment \mathrm{[ET]} tels que \mathrm{GR = TA.}
1. a. Montrer que \mathrm{TRGA} est un parallélogramme.
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117
Théa a commencé son exercice en plaçant les points \text{A, B, V} et \text{E} comme sur la figure ci-dessous.
1. Reproduire la figure. 2. Théa a oublié de placer les points \text{O} et \text{L} mais elle se rappelle que :
3. Construire le rectangle \text{VERS} de centre \text{I} tel que \text{I} \in (\text{AB}).
1. Reproduire la figure. 2. Théa a oublié de placer les points \text{O} et \text{L} mais elle se rappelle que :
- \text{O} \in [\text{AB}] et
- \text{VELO} est un losange.
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118
1. Construire un losange \text{PAIR} de centre \text{O} et noter \text{J} le milieu de \text{[RI]}.
2. a. Tracer la droite (d_1) parallèle à la droite \text{(RA)} passant par le point \text{I}.
b. Tracer la droite (d_2) parallèle à la droite \text{(PI)} passant par le point \text{R}. (d_1) et (d_2) sont sécantes en \text{S}. 3. Justifier que \text{ROIS} est un rectangle.
4. En déduire que \mathrm{OJ = \frac{AI}{2}}.
2. a. Tracer la droite (d_1) parallèle à la droite \text{(RA)} passant par le point \text{I}.
b. Tracer la droite (d_2) parallèle à la droite \text{(PI)} passant par le point \text{R}. (d_1) et (d_2) sont sécantes en \text{S}. 3. Justifier que \text{ROIS} est un rectangle.
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119
On souhaite démontrer la propriété du cours : « Si un quadrilatère est un parallélogramme, alors ses diagonales se coupent en leur milieu. »
Pour cela, on considère un parallélogramme \mathrm{ABCD} tel que \mathrm{O} est le milieu de \mathrm{[AC]}.
1. Démontrer que \mathrm{(BC)} est le symétrique de \mathrm{(AD)} par la symétrie centrale de centre \mathrm{O}.
2. De même, démontrer que \mathrm{(AB)} est le symétrique de \mathrm{(CD)} par la symétrie centrale de centre \mathrm{O}.
3. Démontrer la propriété énoncée.
Pour cela, on considère un parallélogramme \mathrm{ABCD} tel que \mathrm{O} est le milieu de \mathrm{[AC]}.
1. Démontrer que \mathrm{(BC)} est le symétrique de \mathrm{(AD)} par la symétrie centrale de centre \mathrm{O}.
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120
Club de maths
\text{ABCD} est un parallélogramme tel que \text{AD = 9\ cm} et \text{CH = 6\ cm}.
Calculer l'aire de la surface bleue.
Calculer l'aire de la surface bleue.
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121
Club de maths
On considère la figure suivante. Les points \text{S, T} et \text{H} sont alignés.
Quelle est la longueur du segment \text{[TS]}\,?
Quelle est la longueur du segment \text{[TS]}\,?
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