Chapitre 11
Cours
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1
Prisme droit
Définition
Un prisme droit est un solide qui a :
- deux faces polygonales superposables et parallèles appelées bases ;
- des faces latérales rectangulaires.
Remarque : Un pavé droit et un cube sont des prismes droits particuliers dont les bases respectives sont des rectangles (éventuellement carrés) et des carrés.
Propriété
Le volume d'un prisme droit se calcule à l'aide de la formule :
{\text{Volume} = {\mathrm{\color{#8bc34a}aire\, de\, la\, base}} \times {\mathrm{\color{#e91e63}hauteur}}}.Toutes les longueurs doivent être exprimées dans la même unité.
Propriété
Puisque le pavé droit et le cube sont des prismes droits particuliers, on en déduit que :
- le volume d'un pavé droit se calcule à l'aide de la formule :
\text{Volume} = {\color{purple}\text{longueur}} \times {\color{blue}\text{largeur}} \times {\color{#e91e63}\text{hauteur}}\ ; - le volume d'un cube d'arête a se calcule à l'aide de la formule
\text{Volume} = {\color{purple}a} \times {\color{blue}a} \times {\color{#e91e63}a} =a^3.
Définition
Le mètre cube est l'unité de volume qui correspond au volume d'un cube dont l'arête mesure \mathrm{1 m}. Son symbole est : \mathrm{m^3}.
Conséquence : Un cube de côté \mathrm{1\ m} a pour volume \mathrm{1\ m \times 1\ m \times 1\ m = 1\ m^3}.
Or, on sait que \mathrm{1\ m = 10\ dm}, donc le volume est aussi égal à : \mathrm{10\ dm \times 10\ dm \times 10\ dm = 10^3\ dm^3 = 1\ 000\ dm^3}.
De même, puisque \mathrm{1\ m = 100\ cm}, alors le volume est : \mathrm{100\ cm \times 100\ cm \times 100\ cm = 100^3\ cm^3 = 1\ 000\ 000\ cm^3}.
Dans l'autre sens, on a \mathrm{1\ cm^3 = 0,001\ dm^3 = 0,000\ 001\ m^3}.
Définition
Un litre, noté \,\mathrm{L}, est une unité de mesure de volume égale à un décimètre cube : \mathrm{1\ L = 1\ dm^3}.
Exemples
1. \mathrm{1\,738\ cm^3 = 1,738\ dm^3 = 1,738\ L = 1\,738\ mL}
2. \mathrm{25\ L = 25\ dm^3 = 0,025\ m^3 = 25\ 000\ cm^3}
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2
Disque et cylindre de révolution
Propriété
L'aire d'un disque de rayon \mathrm{R} se calcule avec la formule :
\mathrm{Aire = \pi \times R \times R = \pi \times R^2}.
Exemple :
On souhaite calculer l'aire d'un disque de rayon 3\text{ cm}.
\mathrm{Aire= \pi \times R \times R = \pi \times 3^2 = \pi \times 9 = 9\pi}
La valeur exacte de l'aire du disque est 9\pi\text{ cm}^2.
Une valeur approchée au \text{mm}^2 près de l'aire de ce disque est {9 \times 3,14 = 28,26\text{ cm}^2}.
On souhaite calculer l'aire d'un disque de rayon 3\text{ cm}.
\mathrm{Aire= \pi \times R \times R = \pi \times 3^2 = \pi \times 9 = 9\pi}
La valeur exacte de l'aire du disque est 9\pi\text{ cm}^2.
Une valeur approchée au \text{mm}^2 près de l'aire de ce disque est {9 \times 3,14 = 28,26\text{ cm}^2}.
Définitions
Un cylindre de révolution est un solide obtenu en faisant tourner un rectangle autour d'un de ses côtés.
Les deux disques obtenus s'appellent les bases du cylindre.
La hauteur d'un cylindre est la distance entre les centres des deux bases.
Remarque : Un patron d'un cylindre de révolution est composé de deux disques de même rayon et d'un rectangle.
La longueur du rectangle est égale au périmètre des disques.
La longueur du rectangle est égale au périmètre des disques.
Propriété
Le volume d'un cylindre de rayon \mathrm{R} et de hauteur h se calcule avec la formule :
\mathrm{Volume = {\color{#8bc34a}aire\ de\ la\ base} \times {\color{#e91e63}hauteur} = {\color{#8bc34a}\pi \times R^2} \times}\ {\color{#e91e63}h},
où les longueurs \mathrm{R} et h sont exprimées dans la même unité.
Exemple :
Le volume du cylindre ci-contre se calcule avec la formule suivante.
\mathrm{Volume = \pi \times R^2} \times h = \pi \times 3^2 \times 4 = 36\pi
Le volume exact du cylindre est 36\pi\text{ cm}^3.
Une valeur approchée du volume du cylindre, au \text{cm}^3 près, est {36 \times 3,14 = 113\text{ cm}^3.}
Le volume du cylindre ci-contre se calcule avec la formule suivante.
\mathrm{Volume = \pi \times R^2} \times h = \pi \times 3^2 \times 4 = 36\pi
Le volume exact du cylindre est 36\pi\text{ cm}^3.
Une valeur approchée du volume du cylindre, au \text{cm}^3 près, est {36 \times 3,14 = 113\text{ cm}^3.}
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