Chapitre 12
Cours
Statistiques et probabilités
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1
Tableaux de données
Définition
La population d'une étude statistique est l'ensemble des choses ou des personnes sur lequel on effectue cette étude.
Remarque : La population ne représente pas forcément des personnes. Ça peut être des parfums, des couleurs, etc.
Définition
Une série statistique est un regroupement de données collectées sur une population. Lors d'une étude statistique, on étudie sur une population un caractère qui peut prendre plusieurs valeurs.
Exemple :
On demande à des collégiens à quel âge ils ont reçu leur premier téléphone portable et on obtient les réponses : \color{#e91e63}11 ; 10 ; 11 ; 9 ; \color{#e91e63} 11 ; 11 ; 10 ; 11 ; \color{#e91e63} 10 ; 12 ; 8 ; 9 ; \color{#e91e63} 10 ; 11 ; 11 ; 12 ;{ \color{#e91e63} 11 ; 11 ; 11 ; 10}.
Pour mieux comprendre et comparer un grand nombre de données, on peut les regrouper dans un tableau. Quand un seul caractère est étudié, on utilise un tableau simple.
Lorsqu'il y a trop de valeurs différentes pour apporter une information utile (par exemple lorsque l'on a des durées), on peut les regrouper autrement.
On demande à des collégiens à quel âge ils ont reçu leur premier téléphone portable et on obtient les réponses : \color{#e91e63}11 ; 10 ; 11 ; 9 ; \color{#e91e63} 11 ; 11 ; 10 ; 11 ; \color{#e91e63} 10 ; 12 ; 8 ; 9 ; \color{#e91e63} 10 ; 11 ; 11 ; 12 ;{ \color{#e91e63} 11 ; 11 ; 11 ; 10}.
Pour mieux comprendre et comparer un grand nombre de données, on peut les regrouper dans un tableau. Quand un seul caractère est étudié, on utilise un tableau simple.
Âge | 8 ans | 9 ans | 10 ans | 11 ans | 12 ans | Total |
|---|---|---|---|---|---|---|
Effectif | 1 | 2 | 5 | 10 | 2 | 20 |
Âge | Entre 7 et 8 ans | Entre 9 et 10 ans | Entre 11 et 12 ans | Total |
|---|---|---|---|---|
Effectif | 1 | 7 | 12 | 20 |
Définition
Lorsque l'on étudie deux caractères, on utilise des tableaux dits à double entrée. Le premier caractère est présenté en ligne, et le second en colonne.
Exemple :
On demande à quelques collégiens leur classe et comment ils viennent au collège.
On demande à quelques collégiens leur classe et comment ils viennent au collège.
6e | 5e | 4e | 3e | Total | |
|---|---|---|---|---|---|
À pied | 10 | 8 | 6 | 12 | 36 |
En bus | 4 | 8 | 9 | 10 | 31 |
En voiture | 6 | 4 | 1 | 2 | 13 |
Total | 20 | 20 | 16 | 24 | 80 |
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2
Diagrammes
Définition
Un diagramme en barres (ou diagramme en bâtons) est composé de plusieurs rectangles de même largeur. La hauteur de chaque rectangle est proportionnelle à l'effectif de la valeur représentée.
Remarque : On utilise un diagramme en barres pour comparer les effectifs des valeurs.
Exemple :
On a représenté le nombre d'élèves en fonction de l'âge auquel ils ont reçu leur premier téléphone portable. On retrouve que dix élèves ont répondu « \mathrm{11} ans ».
On a représenté le nombre d'élèves en fonction de l'âge auquel ils ont reçu leur premier téléphone portable. On retrouve que dix élèves ont répondu « \mathrm{11} ans ».
Définition
Un diagramme circulaire est représenté par un disque partagé en plusieurs secteurs. L'angle de chaque secteur est proportionnel à l'effectif de la valeur qu'il représente.
Remarque : Un diagramme circulaire donne une information sur la répartition d'un caractère, par exemple, pour illustrer les proportions des différents ingrédients dans une recette ou la répartition de tâches ménagères dans la semaine.
Exemple :
On a représenté la répartition du temps de travail d'un employé. On lit, par exemple, que la plus grande partie de son travail est en étude de projets et qu'un quart de son temps est consacré aux réunions.
On a représenté la répartition du temps de travail d'un employé. On lit, par exemple, que la plus grande partie de son travail est en étude de projets et qu'un quart de son temps est consacré aux réunions.
Définition
Un graphique cartésien est une représentation qui permet de visualiser comment une grandeur (représentée en ordonnée) varie en fonction d'une autre grandeur (représentée en abscisse).
Exemple :
La courbe suivante représente l'évolution de la hauteur d'une plante en fonction du temps. Par exemple, au mois de mai, la hauteur est de \mathrm{50\ cm}.
La courbe suivante représente l'évolution de la hauteur d'une plante en fonction du temps. Par exemple, au mois de mai, la hauteur est de \mathrm{50\ cm}.
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3
Indicateurs statistiques
Définitions
- L'effectif d'une valeur est le nombre de fois que cette valeur apparaît dans une série de données statistiques.
- L'effectif total est la somme des effectifs de toutes les valeurs.
- La fréquence d'une valeur est la proportion d'apparition de cette valeur dans la série statistique.
\text { Fréquence }=\frac{\text { Effectif de la valeur }}{\text { Effectif total }}
Remarque : La fréquence peut être exprimée sous forme d'une fraction, d'un nombre décimal ou d'un pourcentage. C'est toujours un nombre compris entre \mathrm{0} et \mathrm{1}.
Exemple :
Une enquête est menée auprès d'élèves pour savoir quelle activité ils pratiquent en dehors de l'école. On obtient les réponses suivantes : sport ; arts plastiques ; sport ; musique ; lecture ; sport ; sport ; musique ; musique ; lecture.
Une enquête est menée auprès d'élèves pour savoir quelle activité ils pratiquent en dehors de l'école. On obtient les réponses suivantes : sport ; arts plastiques ; sport ; musique ; lecture ; sport ; sport ; musique ; musique ; lecture.
- Il y a dix réponses au total, on dit que l'effectif total est \mathrm{10}.
- Quatre élèves ont répondu « sport », l'effectif de la valeur « sport » est \mathrm{4}.
- Quatre élèves sur dix font du sport, la fréquence des élèves qui font du sport est \mathrm{\frac{4}{10}}, que l'on peut écrire \mathrm{0,4} ou encore \mathrm{40\,\%}.
Définition
Dans le cas où le caractère étudié contient uniquement les valeurs numériques, la moyenne d'une série statistique est la somme de toutes les valeurs divisée par l'effectif total. Elle correspond à une répartition équitable de la somme des valeurs.
\text { Moyenne }=\frac{\text { Somme des valeurs }}{\text { Effectif total }}
Remarque : La moyenne n'est pas forcément une valeur qui apparaît dans la série de données, mais elle est toujours comprise entre la plus petite et la plus grande valeur.
Exemples
1. Un élève a obtenu les notes suivantes : \mathrm{14\ ;18\ ;12\ ;15\ ;17}.
\mathrm{Moyenne = \frac{14 + 18 + 12 + 15 + 17}{5} = \frac{76}{5} = 15,2}
Cela signifie que, avec le même total de \mathrm{76}, si les notes étaient toutes identiques, elles seraient égales à \mathrm{15,2}.
2. Céleste a couru une distance totale de \mathrm{42,7\ km} en une semaine. On a \mathrm{\frac{42,7\ km}{7\ jours} = 6,1\ km/jour}.
Cela signifie qu'en moyenne, Céleste a couru \mathrm{6,1\ km} par jour.
1. Un élève a obtenu les notes suivantes : \mathrm{14\ ;18\ ;12\ ;15\ ;17}.
\mathrm{Moyenne = \frac{14 + 18 + 12 + 15 + 17}{5} = \frac{76}{5} = 15,2}
Cela signifie que, avec le même total de \mathrm{76}, si les notes étaient toutes identiques, elles seraient égales à \mathrm{15,2}.
2. Céleste a couru une distance totale de \mathrm{42,7\ km} en une semaine. On a \mathrm{\frac{42,7\ km}{7\ jours} = 6,1\ km/jour}.
Cela signifie qu'en moyenne, Céleste a couru \mathrm{6,1\ km} par jour.
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Probabilités
Définitions
- Une expérience aléatoire est une expérience dont on connaît tous les résultats possibles, appelés issues, mais dont on ne peut pas prévoir le résultat.
- Un événement est un ensemble constitué d'une ou plusieurs issues.
Exemple :
Dans une urne opaque, il y a trois boules indiscernables au toucher, numérotées de \mathrm{1} à \mathrm{3}. L'expérience consiste à tirer au hasard une boule et à noter le numéro. Il y a trois issues possibles : \mathrm{1}, \mathrm{2} et \mathrm{3}.
L'événement « obtenir un nombre impair » est constitué des issues \mathrm{1} et \mathrm{3}. On dit que ces deux issues réalisent cet événement.
Dans une urne opaque, il y a trois boules indiscernables au toucher, numérotées de \mathrm{1} à \mathrm{3}. L'expérience consiste à tirer au hasard une boule et à noter le numéro. Il y a trois issues possibles : \mathrm{1}, \mathrm{2} et \mathrm{3}.
L'événement « obtenir un nombre impair » est constitué des issues \mathrm{1} et \mathrm{3}. On dit que ces deux issues réalisent cet événement.
Définitions
- La probabilité d'un événement est un nombre qui mesure la « chance » que cet événement se produise. Elle est toujours comprise entre \mathrm{0} et \mathrm{1}.
- Quand toutes les issues ont la même probabilité, on parle de situation d'équiprobabilité. Dans ce cas, la probabilité d'un événement est le quotient du nombre d'issues favorables par le nombre total d'issues.
\mathrm{Probabilité = \frac{Nombre\ d'issues\ favorables}{Nombre\ total\ d'issues}}
Exemple :
Un dé à \color{red}6 faces contient \color{blue}2 multiples de \mathrm{3} (le \mathrm{3} et le \mathrm{6}). La probabilité de l'événement « obtenir un multiple de \mathrm{3} » est donc égal à \mathrm{\frac{\color{blue}2}{\color{red}6}}.
Un dé à \color{red}6 faces contient \color{blue}2 multiples de \mathrm{3} (le \mathrm{3} et le \mathrm{6}). La probabilité de l'événement « obtenir un multiple de \mathrm{3} » est donc égal à \mathrm{\frac{\color{blue}2}{\color{red}6}}.
Propriété
Plus on répète la même expérience aléatoire un grand nombre de fois et plus la fréquence à laquelle un événement se produit se rapproche de sa probabilité.
Exemple :
On considère l'expérience suivante : on lance un dé équilibré à six faces numérotées de \mathrm{1} à \mathrm{6}. On simule, à l'aide d'un tableur, vingt lancers de ce dé, puis mille.
D'après la définition d'une probabilité, on sait que chaque issue a une probabilité de \mathrm{\frac{1}{6} \approx 0,167} de se réaliser. On constate que la fréquence calculée est une approximation de cette probabilité de plus en plus précise au fur et à mesure que l'on augmente le nombre de lancers.
On considère l'expérience suivante : on lance un dé équilibré à six faces numérotées de \mathrm{1} à \mathrm{6}. On simule, à l'aide d'un tableur, vingt lancers de ce dé, puis mille.
D'après la définition d'une probabilité, on sait que chaque issue a une probabilité de \mathrm{\frac{1}{6} \approx 0,167} de se réaliser. On constate que la fréquence calculée est une approximation de cette probabilité de plus en plus précise au fur et à mesure que l'on augmente le nombre de lancers.
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