Chapitre 13
Cours
Proportionnalité
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1
Calculer des proportions
Définition
La proportion d'une partie d'un ensemble est définie par le quotient suivant.
\text{Proportion} = \frac{\text{Nombre d'éléments de la partie}}{\text{Nombre total d'éléments}}
Exemple :
Dans un collège de \mathrm{200} élèves, \mathrm{40} élèves sont en \mathrm{5^e}. La proportion d'élèves en \mathrm{5^e} est de \,«\ \mathrm{40} sur \mathrm{200\ »,} soit \,\mathrm{\frac{40}{200} = \frac{1}{5} = 0,2}.
Dans un collège de \mathrm{200} élèves, \mathrm{40} élèves sont en \mathrm{5^e}. La proportion d'élèves en \mathrm{5^e} est de \,«\ \mathrm{40} sur \mathrm{200\ »,} soit \,\mathrm{\frac{40}{200} = \frac{1}{5} = 0,2}.
Remarques :
- Une proportion est toujours un nombre compris entre \mathrm{0} et \mathrm{1}.
- Pour exprimer une proportion, on peut utiliser une fraction, un nombre décimal ou un pourcentage.
- La notation a \% correspond à la fraction \frac{a}{100}.
Exemples :
1. Dans l'exemple précédent, on a :
  | ou encore |
  |
2. Sur \mathrm{225} personnes interrogées, \mathrm{54} ont un animal de compagnie. Pour déterminer la proportion sous forme d'un pourcentage de personnes ayant un animal de compagnie, on peut effectuer les calculs suivants :
\begin{aligned} \frac{54}{225} &= 0,24 \\ &= 0,24 \times \frac{100}{100} \\ &= \frac{0,24 \times 100}{100} \end{aligned} \phantom{\frac{54}{225\ }}\mathrm{= \frac{24}{100} = 24 \%}, donc \mathrm{24 \%} des personnes interrogées ont un animal de compagnie.
\begin{aligned} \frac{54}{225} &= 0,24 \\ &= 0,24 \times \frac{100}{100} \\ &= \frac{0,24 \times 100}{100} \end{aligned} \phantom{\frac{54}{225\ }}\mathrm{= \frac{24}{100} = 24 \%}, donc \mathrm{24 \%} des personnes interrogées ont un animal de compagnie.
Propriété
Prendre une proportion d'une quantité revient à multiplier cette quantité par la proportion.
Exemples :
1. Les \,\mathrm{\frac{2}{3}}\, des \,\mathrm{693} habitants d'une commune vont au travail en voiture. Pour déterminer le nombre de personnes que cela représente, on calcule : \,\frac{2}{3} {\color{red}\times} 693 = 2 \times 693 \div 3 = 2 \times 231 = 462.
Ainsi, \mathrm{462} personnes vont au travail en voiture.
2. Pour calculer \mathrm{18\ \%} de \mathrm{65}, on effectue le produit 18\ \% {\color{red}\times} 65 = \frac{18}{100} \times 65 = 0,18 \times 65 = 11,7.
On peut aussi écrire \mathrm{\frac{18 \times 65}{100} = \frac{1\ 170}{100}}.
1. Les \,\mathrm{\frac{2}{3}}\, des \,\mathrm{693} habitants d'une commune vont au travail en voiture. Pour déterminer le nombre de personnes que cela représente, on calcule : \,\frac{2}{3} {\color{red}\times} 693 = 2 \times 693 \div 3 = 2 \times 231 = 462.
Ainsi, \mathrm{462} personnes vont au travail en voiture.
2. Pour calculer \mathrm{18\ \%} de \mathrm{65}, on effectue le produit 18\ \% {\color{red}\times} 65 = \frac{18}{100} \times 65 = 0,18 \times 65 = 11,7.
On peut aussi écrire \mathrm{\frac{18 \times 65}{100} = \frac{1\ 170}{100}}.
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2
Grandeurs proportionnelles
Définitions
Deux grandeurs sont dites proportionnelles lorsque l'on peut passer des valeurs de l'une aux valeurs de l'autre en multipliant par un même nombre non nul, appelé cœfficient de proportionnalité.
Remarque : Pour organiser ces données, on peut utiliser un tableau de proportionnalité, où chaque grandeur est représentée sur une ligne distincte.
Exemples :
1. Un débit internet est constant et égal à \mathrm{500~Mb/s} (mégabits par seconde). Cela représente une situation de proportionnalité car, chaque seconde, la quantité de données transférées est identique. Le tableau suivant est un tableau de proportionnalité.
On remarque que \mathrm{1 \times 500 = 500}, \mathrm{3 \times 500 = 1~500}\, et \,\mathrm{5 \times 500 = 2~500}.
Ainsi, on multiplie les valeurs de la première ligne par \mathrm{500} pour obtenir les valeurs de la deuxième ligne.
2. On note la distance parcourue par un objet en fonction du temps.
\mathrm{\frac{560}{10} = 56}, \mathrm{\frac{851,2}{15,2} = 56} et \,\mathrm{\frac{1~530}{30,6} = 50}.
Les rapports ne sont pas tous égaux : ce n'est donc pas une situation de proportionnalité.
1. Un débit internet est constant et égal à \mathrm{500~Mb/s} (mégabits par seconde). Cela représente une situation de proportionnalité car, chaque seconde, la quantité de données transférées est identique. Le tableau suivant est un tableau de proportionnalité.
| Durée (en s) | 1 | 3 | 5 |   |
|---|---|---|---|---|
| Données transférées (en Mb) | 500 | 1\ 500 | 2\ 500 |
Ainsi, on multiplie les valeurs de la première ligne par \mathrm{500} pour obtenir les valeurs de la deuxième ligne.
2. On note la distance parcourue par un objet en fonction du temps.
| Temps (en min) | 10 | 15,2 | 30,6 |
|---|---|---|---|
| Distance (en m) | 560 | 851,2 | 1\ 530 |
\mathrm{\frac{560}{10} = 56}, \mathrm{\frac{851,2}{15,2} = 56} et \,\mathrm{\frac{1~530}{30,6} = 50}.
Les rapports ne sont pas tous égaux : ce n'est donc pas une situation de proportionnalité.
Remarque : Pour savoir si un tableau est un tableau de proportionnalité, on divise les valeurs de la seconde ligne avec celles de la première ligne et on regarde si on obtient toujours le même résultat.
Propriété
Si deux grandeurs sont proportionnelles, quand l'une d'elles est multipliée par un nombre, l'autre est également multipliée par ce même nombre.
Exemple :
Une voiture roule à une vitesse constante de \mathrm{50~km/h}. Elle parcourt ainsi \mathrm{50~km} en \mathrm{1~h}. C'est une situation de proportionnalité. Si la durée du trajet est multipliée par deux, la distance sera également multipliée par deux. Donc en \mathrm{2~h}, la voiture parcourt \mathrm{2 \times 50~km} soit \mathrm{100~km}.
Une voiture roule à une vitesse constante de \mathrm{50~km/h}. Elle parcourt ainsi \mathrm{50~km} en \mathrm{1~h}. C'est une situation de proportionnalité. Si la durée du trajet est multipliée par deux, la distance sera également multipliée par deux. Donc en \mathrm{2~h}, la voiture parcourt \mathrm{2 \times 50~km} soit \mathrm{100~km}.
Remarques :
- Les relations du type « \mathrm{€/kg} » ou « \mathrm{km/h} » représentent des situations de proportionnalité.
- Graphiquement, les situations de proportionnalité se traduisent par des points alignés avec l'origine du repère. Cette propriété sera abordée plus en détail dans le chapitre suivant.
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