Chapitre 15
Cours
Symétrie axiale
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1Médiatrice d'un segment
Définition
La médiatrice d'un segment est la droite qui est perpendiculaire à
ce segment et qui passe par son milieu.
Propriétés
1. Si un point \text {M} appartient à la médiatrice (d) d'un segment [\mathrm{AB}],
alors il est équidistant (à égale distance) de ses extrémités.
Autrement dit, si \text {M} \in(d) alors \mathrm{MA} = \mathrm{MB}.
2. Si un point n'appartient pas à la médiatrice d'un segment, alors il est plus proche de l'une des extrémités que de l'autre.
Autrement dit, si \text {M} \in(d) alors \mathrm{MA} = \mathrm{MB}.
2. Si un point n'appartient pas à la médiatrice d'un segment, alors il est plus proche de l'une des extrémités que de l'autre.
Exemple :
Le point \text {P} n'appartient pas à la médiatrice de [\mathrm{AB}] : il est
plus proche de \text {B} que de \text {A}.
Version interactive
Propriété
Si un point \text {K} est situé à égale distance de deux points \text {A} et \text {B}, alors
il appartient à la médiatrice (d) du segment [\mathrm{AB}].
Autrement dit, si \mathrm{KA} = \mathrm{KB} alors \mathrm{K} \in(d).
Autrement dit, si \mathrm{KA} = \mathrm{KB} alors \mathrm{K} \in(d).
Propriété caractéristique de la médiatrice
La médiatrice d'un segment est l'ensemble des points équidistants des extrémités de ce segment.
Exemple :
D'après le codage, \text {M}, \text {N}, \text {P} et \text {Q} sont à égale distance de
\text {A} et de \text {B} donc ils appartiennent tous à la médiatrice de
\text {[AB]}, tracés ici en rouge.
- Remarque :
Il est possible de construire la médiatrice d'un segment uniquement à l'aide d'un compas et d'une règle non graduée.
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2Symétrie axiale
Définitions
Deux points \text {A} et \text {B} sont symétriques par rapport à une droite (d) lorsque (d) est la médiatrice du segment [\mathrm{AB}]. Cette symétrie qui transforme \text {A} en \text {B} est appelée symétrie axiale d'axe (d).
Exemple :
La droite (d) passe par le milieu \text {M} de [\mathrm{AB}] et est perpendiculaire à (\text{AB}) : la droite (d) est donc la médiatrice du segment [\mathrm{AB}].
On en déduit que le symétrique du point \text{A} par rapport à la droite (d) est le point \text{B}.
Par ailleurs, la droite (d) passe par le milieu \text {P} de [\mathrm{AC}] mais n'est pas perpendiculaire à [\mathrm{AB}] : la droite (d) n'est donc pas la médiatrice de [\mathrm{AC}].
La droite (d) passe par le milieu \text {M} de [\mathrm{AB}] et est perpendiculaire à (\text{AB}) : la droite (d) est donc la médiatrice du segment [\mathrm{AB}].
On en déduit que le symétrique du point \text{A} par rapport à la droite (d) est le point \text{B}.
Par ailleurs, la droite (d) passe par le milieu \text {P} de [\mathrm{AC}] mais n'est pas perpendiculaire à [\mathrm{AB}] : la droite (d) n'est donc pas la médiatrice de [\mathrm{AC}].
- Remarque : Si un point appartient à la droite (d), alors il est son propre symétrique par rapport à (d).
Propriété
La médiatrice d'un segment est l'axe de symétrie de ce segment.
Propriétés
Soit \text {A}, \text {B} et \text {C} trois points ayant respectivement pour symétriques par rapport à une droite (d) les points \text {A'}, \text {B'} et \text {C'}.
1. Le symétrique du segment [\mathrm{AB}] est le segment [\mathrm{A'B'}] et \mathrm{AB} = \mathrm{A'B'}.
2. Le symétrique de l'angle \widehat{\mathrm{ABC}} est l'angle \widehat{\mathrm{A'B'C'}} et \widehat{\mathrm{ABC}} = \widehat{\mathrm{A'B'C'}}.
3. Si \text {A}, \text {B} et \text {C} sont alignés alors \text {A'}, \text {B'} et \text {C'} sont aussi alignés dans le même ordre.
4. Le symétrique d'un cercle de centre \text {A} est le cercle de centre \text {A'} et de même rayon.
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Propriété
La bissectrice d'un angle est l'axe de symétrie de cet angle.
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