Double distributivité

On considère la figure ci-dessous où $\text{ABCD}$, $\text{AEOH}$, $\text{EBFO}$, $\text{OFCG}$ et $\text{HOGD}$ sont des rectangles. Soient $x$, $y$, $z$ et $t$ des nombres strictement positifs tels que $\text{AE}=x$, $\text{EB}=y$, $\text{BF}=z$ et $\text{FC}=t$.

1

a. Exprimer, en fonction de $x$ et $y$, la longueur $\text{AB}$.

b. Exprimer, en fonction de $z$ et $t$, la longueur $\text{BC}$.

c. En déduire, en fonction de $x$, $y$, $z$ et $t$, une expression de l'aire du rectangle $\text{ABCD}$.

2

a. Exprimer, en fonction de $x$ et $z$, l'aire du rectangle $\text{AEOH}$.

b. Exprimer, en fonction de $y$ et $z$, l'aire du rectangle $\text{EBFO}$.

c. Exprimer, en fonction de $y$ et $t$, l'aire du rectangle $\text{OFCG}$.

d. Exprimer, en fonction de $x$ et $t$, l'aire du rectangle $\text{HOGD}$.

e. En déduire, en fonction de $x$, $y$, $z$ et $t$, une autre expression de l'aire du rectangle $\text{ABCD}$.

Compléter l'égalité suivante :
$(x+y)\times (z+t)=$

$+$

$+$

$+$

.
Cette propriété mathématique de la distributivité de la multiplication sur l'addition, valable aussi pour des nombres négatifs, est appelée la double distributivité.