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Thème 2 : Grandeurs et mesures

Thème 3 : Espace et géométrie

Problèmes transversaux
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Thème 1 : Nombres et calculs
Fiche 4

Utiliser les propriétés opératoires pour calculer astucieusement

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Je retiens l'essentiel

Rappel :

Dans une suite d'opérations :
  • les parenthèses renseignent sur les opérations à effectuer en premier ;
  • lorsqu'une opération ne contient que des additions ou que des multiplications, l'ordre des opérations n'a pas d'importance.
  • Remarque :
Si un calcul ne contient que des additions ou que des multiplications, alors on peut permuter l'ordre des termes ou des facteurs. Cela permet de faire des calculs astucieux.

Exemple :

25+{\color{red}4+175}=25+{\color{red}175+4}=200+4=204

Propriété

On peut décomposer un produit pour calculer plus facilement.

Exemples :

1. 21 \times 44=(20 \times 44)+(1 \times 44)=880+44=924
2. 19 \times 26=(20 \times 26)-(1 \times 26)=520-26=494

  • Remarques :
    • Multiplier par 5 revient à multiplier par 10 puis à diviser par 2.
    • Multiplier par 50 revient à multiplier par 100 puis à diviser par 2.
    • Diviser par 4 revient à diviser deux fois par 2.
    • Diviser par 8 revient à diviser trois fois par 2.
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L'anecdote du jour

La légende raconte que le mathématicien Gauss, enfant, a réussi à calculer de tête la somme 1+2+3+... + 100 en utilisant un calcul astucieux.

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Automatismes

1. Le périmètre d'un rectangle de longueur 37 \mathrm{~cm} et de largeur 13 \mathrm{~cm} :


2. 12 \times 10=
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1

On considère le schéma ci-dessous faisant apparaître 27 \times 7 carreaux.

1. Colorier le schéma ci-dessous afin qu'il mette en évidence l'égalité : 27 \times 7=(20 \times 7)+(7 \times 7).


2. En déduire le résultat de 27 \times 7.


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2

On considère le schéma ci-dessous faisant apparaître 17 \times 5 carreaux.

1. Ajouter trois colonnes sur le schéma.


2. En déduire, en détaillant le calcul, le résultat :

17 \times 5 = (
\times
)
- (
\times
)
17 \times 5 =

17 \times 5 =
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3

Compléter les égalités.

1. 98 \times 14 = (98 \times
) + (98 \times 4)

2. 98 \times 14 = (
\times 14) - (2 \times 14)

3. 98 \times 14 = (98 \times 20)
(98 \times
)
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4

Sans utiliser de calculatrice ni poser d'opération, calculer les quantités suivantes.

1. 14\times21 =( 14 \times
) + ( 14 \times
)=
=


2. 38\times 9 =( 38\times
) – ( 38\times
) =
=


3. 101\times23 = (
\times23 ) + (
\times 23 ) =
=


4. 98\times 13 = (
\times 13 ) – (
\times 13 ) =
=
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5

Relier les quantités égales.

  • (27 \times 42)-(5 \times 42)
    •
  • (27 \times 42)+(5 \times 42)
    •
  • (13 \times 42)+(9 \times 42)
    •
  • (22 \times 31)+(22 \times 11)
    •
  • (32 \times 22)+(20 \times 32)
    •

    32 \times 42

    22 \times 42
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    6

    Regrouper les quantités suivantes sous la forme d'un seul produit, puis calculer.

    1. (213 \times 7)+(213 \times 3)=
    2. (25 \times 22)-(2 \times 25)=
     3. (12 \times 28)+(2 \times 12)=
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    7

    La touche 9 d'une calculatrice ne fonctionne plus. Comment néanmoins l'utiliser pour effectuer le calcul 998 × 452 ?
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    8

    Sélectionner le nombre le plus grand. Justifier.
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    9

    Réorganiser les opérations pour calculer astucieusement.

    1. 4,6+3,9+1,4+9,1=
     2. 0,05+0,9+0,75+0,2+1,1=
     3. 25 × 35 × 40 × 2=
     4. 67 × 0,2 × 0,01 × 5=
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    10

    Calculer sans poser les quantités suivantes.

    1. 27 × 5 =
    2. 17 × 50 =
    3. 96 \div 4 =
    4. 124 ÷ 8 =
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    11
    Énigme

    Sans utiliser de calculatrice ni poser d'opération, calculer
    (18 \times 25)+(9 \times 150).
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