Chapitre 10
Activités
Découvrir le chapitre : Proportionnalité
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Histoire des maths
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Les proportions
L'approche que nous avons de nos jours de la proportionnalité est avant tout une approche fonctionnelle : tableaux de proportionnalité ou représentations graphiques. Cependant, avant cette approche, il est évident que l'on avait besoin d'utiliser ou de trouver des grandeurs proportionnelles. Euclide (environ 300 av. J.-C.) consacre tout le livre V de ses Éléments aux proportions et on peut encore aujourd'hui utiliser ses résultats. Avec les notations actuelles, voici une propriété que l'on peut y trouver : quatre nombres non nuls a, b, c et d définissent une
proportion lorsque \frac{a}{b}=\frac{c}{d}.
Dès lors que l'on a cette proportion, on a aussi, par exemple, les proportions suivantes : {\frac{a}{c}=\frac{b}{d}} , {\frac{b}{a}=\frac{d}{c}} , {\frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}~,} a d=b c , \frac{a-b}{b}=\frac{c-d}{d} , \frac{a}{b}=\frac{a+c}{b+d} ou encore {\frac{a}{b}=\frac{a-c}{b-d}}.
Dès lors que l'on a cette proportion, on a aussi, par exemple, les proportions suivantes : {\frac{a}{c}=\frac{b}{d}} , {\frac{b}{a}=\frac{d}{c}} , {\frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}~,} a d=b c , \frac{a-b}{b}=\frac{c-d}{d} , \frac{a}{b}=\frac{a+c}{b+d} ou encore {\frac{a}{b}=\frac{a-c}{b-d}}.
Au XIXe siècle, en reprenant les propositions du livre V des Éléments, le mathématicien Karl Weierstrass réussit à donner à l'analyse toute la rigueur dont elle avait besoin. Il a été le professeur de grands mathématiciens comme Georg Cantor, Felix Klein, Sophus Lie, Hermann Minkowski et Sofia Kovalevskaya.
En se servant des propriétés d'Euclide ci-dessus, trouver deux nombres dont la différence est 12 et le quotient \frac{11}{5}.
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Activité 1Produits en croix
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Chez le fromager, 300 g de raclette coûtent 5,55 €. John en achète 420 g. On sait que le prix est proportionnel à la masse achetée.
| Masse de fromage en gramme | 300 | 1 | 200 | 420 |
|---|---|---|---|---|
| Prix en euro | 5,55 | x | y | z |
1
Calculer le prix x d'un gramme de fromage.2
Comment peut-on trouver le prix y de 200 g de fromage ?3
Calculer le prix z payé par John pour l'achat de son fromage.Bilan
Comment peut-on retrouver le prix de 420 g de fromage sans calculer le prix de
1 g de fromage, ni celui de 200 g ? Recopier et compléter cette égalité :
z=\frac{.... \times ....}{.... }.
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Activité 2Caractérisation graphique de la proportionnalité
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Pauline souhaiterait pratiquer de la zumba. Elle a trouvé trois clubs proposant chacun un tarif différent.
ZumbaFun
| Nombre de mois | 3 | 6 | 9 | 12 |
|---|---|---|---|---|
| Prix en € | 90 | 180 | 270 | 360 |
KaZumba
| Nombre de mois | 3 | 6 | 9 | 12 |
|---|---|---|---|---|
| Prix en € | 120 | 180 | 240 | 300 |
ZumbaFamily
| Nombre de mois | 3 | 6 | 9 | 12 |
|---|---|---|---|---|
| Prix en € | 120 | 240 | 360 | 450 |
1
Parmi ces trois tableaux, lequel est un tableau de proportionnalité ? Justifier.2
Placer dans un même repère les points associés à chacun des trois tableaux. On indiquera en abscisse (sur l'axe horizontal) le nombre de mois en prenant 1 cm pour un mois et en ordonnée (sur l'axe vertical) le prix en euro en prenant
1 cm pour 30 €.
GeoGebra
Bilan
Quelles semblent être les conditions pour qu'un graphique représente une situation de proportionnalité ?
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Activité 3Agrandissement et réduction
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Soit \text{ABCD} un rectangle de longueur 4,5 cm et de largeur 3 cm.
1
Parmi ces cinq autres rectangles (toutes les mesures sont en cm), lesquels ont
des dimensions proportionnelles à celles de \text{ABCD} ? Justifier la réponse.
2
On dit que l'on effectue un agrandissement ou une réduction d'une figure lorsque l'on multiplie toutes les longueurs d'une figure par un même nombre k > 0. En revanche, les mesures des angles restent inchangées. Parmi les rectangles précédents, lesquels sont un agrandissement ou une réduction du rectangle \text{ABCD} ? Indiquer la valeur de k pour chacun de ces rectangles.3
Que se passerait-il si les longueurs de \text{ABCD} étaient multipliées par un coefficient k égal à 1 ?Bilan
Comment peut-on reconnaître un agrandissement ou une réduction à partir du coefficient multiplicateur k appliqué à la figure initiale ?Une erreur sur la page ? Une idée à proposer ?
Nos manuels sont collaboratifs, n'hésitez pas à nous en faire part.
j'ai une idée !
Oups, une coquille
