Propriétés des triangles rectangles

Dans un triangle $\text{ABC}$ rectangle en $\text{A}$, $\text{AC = 3 cm}$ et $\widehat{\text{ACB}}=35°$.
Déterminer une valeur approchée de $\text{BC}$ au millimètre près.

• On nomme le triangle rectangle et l'angle droit.
• On repère l'hypoténuse, puis l'angle connu ainsi que son côté adjacent.
• On écrit la formule du cosinus et on remplace les mesures connues avec les données de l'énoncé.
• On calcule la longueur en utilisant la proportionnalité (attention à l'arrondi).

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Dans le triangle $\text{ABC}$ rectangle en $\text{A}$, on a :
$\begin{array}{rl}& \cos (\widehat{\mathrm{ACB}})=\frac{\text{ longueur du coˆteˊ adjacent aˋ l’angle }\widehat{\mathrm{ACB}}}{\mathrm{longueur}\text{ de l’hypoteˊnuse }}\\ & \cos (\widehat{\mathrm{A}\mathrm{C}\mathrm{B}})=\frac{\mathrm{A}\mathrm{C}}{\mathrm{B}\mathrm{C}}\\ & \cos (35)=\frac{3}{\mathrm{BC}}.\end{array}$

On peut écrire $\frac{\cos (35)}{1}=\frac{3}{\text{BC}}$ donc $\mathrm{BC}=\frac{3\times 1}{\cos (35)}.$

À l'aide de la calculatrice, on trouve $\text{BC}\approx 3,7\text{cm}.$
Donc $\text{[BC]}$ mesure environ $\text{3,7 cm}$ au millimètre près.

$\text{RST}$ est un triangle rectangle en $\text{R}$ tel que $\text{RS = 5 cm}$ et $\text{ST = 13 cm}$. Calculer les mesures des angles du triangle (arrondies au degré près si nécessaire).

• On réalise un schéma pour s'aider si nécessaire.
• On repère l'angle aigu dont on connaît la longueur du côté adjacent.
• On écrit la formule du cosinus et on remplace les mesures connues avec les données de l'énoncé.
• On utilise la calculatrice pour déterminer la valeur de l'angle aigu.
• On utilise la propriété de la somme des mesures des angles d'un triangle pour trouver la valeur du dernier angle.

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$\widehat{\text{SRT}}$ est un angle droit donc $\widehat{\text{SRT}}=90°$.
Dans le triangle $\text{RST}$ rectangle en $\text{R}$, on a :
$\begin{array}{rl}& \cos (\widehat{\mathrm{RST}})=\frac{\text{ longueur du coˆteˊ adjacent aˋ l’angle }\widehat{\mathrm{RST}}}{\text{ longueur de l’hypoteˊnuse }}\\ & \cos (\widehat{\mathrm{R}\mathrm{S}\mathrm{T}})=\frac{\mathrm{R}\mathrm{S}}{\mathrm{T}\mathrm{S}}\\ & \cos (\widehat{\mathrm{RST}})=\frac{5}{13}.\end{array}$
À l'aide de la calculatrice, on trouve $\widehat{\text{RST}}\approx 67°.$
Dans un triangle, la somme des mesures des angles est égale à $180°$ donc $\widehat{\mathrm{RST}}+\widehat{\mathrm{SRT}}+\widehat{\mathrm{STR}}=180$ soit $67+90+\widehat{\mathrm{STR}}=180$ donc $157+\widehat{\mathrm{STR}}=180$ et enfin $\widehat{\mathrm{STR}}\approx 23^{\circ }.$