1. Le théorème de Thalès

1. Dans la figure, justifier que les droites $(\text{IN})$ et $(\text{AO})$ sont parallèles.

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2. On donne $\mathrm{PA}=38\mathrm{cm},\mathrm{IA}=28,5\mathrm{cm}$ et $\mathrm{IN}=7\mathrm{cm}$. Déterminer les longueurs $\text{PI}$ puis $\text{AO}$.

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42

[Mod.4 - Mod.5 - Rais.3]

Paul tient une règle verticalement et tend son bras en direction d'une grue parfaitement verticale dont il désire connaître la hauteur. On modélise la situation par le schéma suivant, où $\mathrm{S}$ désigne l'œil de Paul, $[\text{AL}]$ désigne sa règle et $[\text{UE}]$ est la grue. Les points $\text{S},\text{A}$ et $\text{U}$ sont alignés, ainsi que les points $\mathrm{S},\mathrm{L}$ et $\mathrm{E}$.

44

[Mod.4 - Rais.4]

D'après Brevet, Nouvelle-Calédonie, 2013
En se retournant lors d'une marche arrière, le conducteur d'une camionnette voit le sol à 6 mètres derrière son camion. Sur le schéma, la zone grisée correspond à ce que le conducteur ne voit pas lorsqu'il regarde en arrière.

D'après Brevet, Nouvelle-Calédonie, 2020
En lien avec le théorème de Pythagore.
Thomas attache son cerf-volant au sol au point $\mathrm{T}$. Il fait $\text{20}$ pas pour parcourir la distance $\text{TH}$. Un pas mesure $\text{0,6}$ mètre. Le schéma illustre la situation. Il n'est pas à l'échelle.

1. Montrer que la hauteur $\mathrm{CH}$ du cerf-volant est égale à $9\mathrm{m}$.

Insérer une formule mathématique

2. Thomas souhaite que son cerf-volant atteigne une hauteur de $13,5\mathrm{m}$. Calculer la longueur $\text{TE}$ de la corde nécessaire.

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46

[Ch.1 - Ch.2 - Rep.6 - Rais.2]

Lors d'une éclipse totale de Soleil, le centre de la Terre, le centre de la Lune et le centre du Soleil sont supposés alignés. On sait que la distance Terre-Lune est égale à $384400\mathrm{km}$, que le rayon de la Lune est égal à $1737\mathrm{km}$ et que celui du Soleil mesure $696340\text{ km}$.
Sachant que le disque lunaire recouvre exactement le disque solaire, calculer la distance Terre-Soleil au moment de cette éclipse.

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47

[Ch.2 - Com.4 - Rais.4]

La piscine d'un centre de vacances a construit un nouveau plongeoir. On sait que $\mathrm{BD}=1,5\mathrm{m}$, $\mathrm{BA}=4\mathrm{m},\mathrm{BE}=1,9\mathrm{m}$ et $\mathrm{BC}=5\mathrm{m}.$
Montrer que ce plongeoir n'est pas parallèle à la surface de l'eau.

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48

[Ch.2 - Rais.2 - Com.4]

Une croix de bûcheron est un outil en forme de T, symbolisé dans la figure ci-dessous par les deux segments $\text{[OB]}$ et $\text{[AC]}$ perpendiculaires et de même longueur. Le point $\text{O}$ représente l'œil d'un observateur. L'observateur place la croix de bûcheron devant son œil de manière à recouvrir exactement la hauteur d'un arbre avec le segment $\text{[AC]}$ tout en ayant la droite $(\mathrm{OB})$ parallèle au sol.

Dans la figure ci-dessous, on sait que $(\text{IO})$ et $(\text{FN})$ sont parallèles et que toutes les longueurs sont données en centimètres.

1. Démontrer que la droite $\text{(IA)}$ n'est pas parallèle à la droite $\text{(BN)}$.

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2. Le quadrilatère $\text{FIOA}$ est-il un parallélogramme ?

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Le professeur de Bastien donne l'exercice suivant.
$\mathrm{ABC}$ est un triangle tel que $\mathrm{AB}=12\mathrm{cm},\mathrm{BC}=7,5\mathrm{cm}$ et $\mathrm{AC}=16\mathrm{cm}$.
$\text{M}$ est un point de $\text{[AB]}$ tel que $\text{AM}=8\mathrm{cm}$ et $\mathrm{N}$ est un point de $[\mathrm{AC}]$ tel que $\mathrm{AN}=10\mathrm{cm}$.
De plus, on sait que $\text{MN}=5\mathrm{cm}$.

Quelle erreur a-t-il commise ? Corriger sa copie.

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51

[Rais.4 - Com.4]

Pour vérifier une construction, un maçon plante un bâton de $60\mathrm{cm}$ perpendiculairement au sol, à $30\mathrm{m}$ du mur d'une maison qu'il vient de construire. Il sait que le mur de la maison mesure $10\mathrm{m}$ de hauteur et qu'en se positionnant à $2\mathrm{m}$ du bâton, alors les points $\mathrm{A},\mathrm{T}$ et $\mathrm{S}$ sont alignés.

Démontrer que le mur de la maison n'est pas perpendiculaire au sol.

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On donne $\mathrm{AK}=10,1\mathrm{cm},\mathrm{AD}=23,2\mathrm{cm}$, $\mathrm{AN}=13,4\mathrm{cm},\mathrm{NY}=17,4\mathrm{cm},\mathrm{KN}=6,4\mathrm{cm}$ et $\mathrm{DY}=14,7\mathrm{cm}$.
Les droites $\text{(KN)}$ et $\text{(DY)}$ sont-elles parallèles ?

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