Multiplication et division de nombres rationnels

Deux nombres non nuls sont dits inverses l'un de l'autre lorsque leur produit est égal à \text{1}.

2 \times 0,5=1 donc \text{2} et \text{0,5} sont inverses l'un de l'autre.

Soit a et b deux nombres relatifs non nuls.

1. L'inverse du nombre a est le nombre \frac{1}{a}.

2. L'inverse du nombre \frac{a}{b} est le nombre \frac{b}{a} .

1 est son propre inverse, -1 est son propre inverse et 0 est le seul nombre qui n'a pas d'inverse.

L'inverse du nombre \frac{-2}{7} est le nombre \frac{7}{-2} qui s'écrit également -\frac{7}{2}.

En général, on ne laisse jamais de signe \text{-} au dénominateur.

Diviser par un nombre non nul, c'est multiplier par son inverse.
Autrement dit, si a, b, c et d sont quatre nombres relatifs avec b \neq 0, c \neq 0 \text { et } d~\neq~0, alors :

a \div b=a \times \frac{1}{b} et \frac{a}{b} \div \frac{c}{d}=\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}=\frac{a}{b} \times \frac{d}{c}=\frac{a \times d}{b \times c}.

1. \frac{-4}{9} \div \frac{3}{-2}=\frac{\frac{-4}{9}}{\frac{3}{-2}}=\frac{-4}{9} \times \frac{-2}{3}=\frac{-4 \times(-2)}{9 \times 3}=\frac{8}{27}

2. \frac{5}{3} \div 4=\frac{\frac{5}{3}}{4}=\frac{5}{3} \times \frac{1}{4}=\frac{5 \times 1}{3 \times 4}=\frac{5}{12}